一道高考題的課堂探究性教學

1、 一道高考題的課堂探究性教學在高三總復習課上，我選講了一道高考題題目：（2013年山東高考數學理科第22題）橢圓：的左、右焦點分別是,離心率為 ，過且垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.  ()求橢圓的方程； （）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接,設的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍； （）在（）的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點， 設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值. 解：(1)橢圓方程為：(3)由題意可知，為橢圓的在點處的切線，由導數法可求得，切線方程為：，所以，而，代入中得：為定值.當我講完這道題

2、準備講下一題時，我發(fā)現一名學生在下面嘀咕什么，于是我叫他起來問是不是有其他的解法，因為在班級教學中，我很重視學生的想法，并鼓勵他們積極說出自己的想法.于是他說如果把上述橢圓改為雙曲線時，是否也為定值呢？這時另一個同學也主動站起來說：“作為一般形式的橢圓以及雙曲線，是否也為定值呢？”愛因斯坦曾說：“提出問題比解決問題更重要.”作為同學們思維智慧的火花，于是我決定不按照設計好的教學，而是改變原定計劃與同學們一起來探討這個問題.探究1：橢圓：的左、右焦點分別是，點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點， 設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并

3、求出這個定值.解：設，由導數法可求得，橢圓在點處的切線的方程為：，所以，而，代入中得：.命題1：橢圓：的左、右焦點分別是，點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點， 設直線的斜率分別為，若，則.探究2：雙曲線：的左、右焦點分別是，點是雙曲線上除長軸端點外的任一點，連接，過點作斜率為的直線，使得與雙曲線有且只有一個公共點， 設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值.解：設，由導數法可求得，雙曲線在點處的切線其方程為：，所以，而，代入中得：.命題2：雙曲線：的左、右焦點分別是，點是雙曲線上除長軸端點外的任一點，連接，過點

4、作斜率為的直線，使得與雙曲線有且只有一個公共點， 設直線的斜率分別為，若，則.盡管命題1和命題2所得的結論并不是定值，但是其結果都是.探究3：圓：，點在圓上，點是圓上除外的任一點，連接，過點作斜率為的直線，使得與圓有且只有一個公共點， 設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值.解：設，由導數法可求得，圓在點處的切線其方程為：，所以，而代入中得：為定值.命題3：圓：，點在圓上，點是圓上除外的任一點，連接，過點作斜率為的直線，使得與圓有且只有一個公共點，設直線的斜率分別為，若，試證明=-2.探究4：拋物線：的焦點為，點是拋物線上除頂點外的任一點，準線與橫軸的交點為,連接，過點作斜率為的直線，使得與拋物線相切， 設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值.解：設，由導數法可求得，拋物線在點處的切線的斜率而，代入中得：.命題4：拋物線：的焦點為，點是拋物線上除頂點外的任一點，準線與橫軸的交點為,連接，過點作斜率為的直線，使得與拋物線相切， 設直線的斜率分別為，若，則=1.特級教師任勇曾說：“他很難完成事先設計的一節(jié)課，