專題三遞推數(shù)列求通項(xiàng)題型歸類歸法

1、專題三 遞推數(shù)列求通項(xiàng)題型歸類歸法四川省雙流縣中學(xué) 王 林2015-5-11各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項(xiàng)公式的求解（如教材P69B組5、6）。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸前期學(xué)習(xí)中總結(jié)表明：轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想是求復(fù)雜問題的主導(dǎo)，序號處理是易錯點(diǎn)下面總結(jié)出幾種常見類型遞推公式下求解相應(yīng)數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，希望大家落實(shí)過手類型一 方 法累加法(逐差相加法)把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解.【例1】已知數(shù)列滿足，求解：由條件知：，分別令，代入上式得個等式累加之，即，所以，【變式】已知數(shù)列滿足，求【提升】已知數(shù)列中，

2、且，其中1,2,3,.（1）求；（2）求的通項(xiàng)公式類型二 方法累乘法(逐商相乘法)把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解【例2】已知數(shù)列滿足，求解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，規(guī)律：【變式】已知數(shù)列，滿足a1=1， (n2)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【提升】1、已知數(shù)列滿足，求2、正項(xiàng)數(shù)列中，求類型三一級線性遞推：（其中p，q均為常數(shù)，）方法1構(gòu)造輔助數(shù)列法用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解方法2構(gòu)造輔助數(shù)列法求出的通項(xiàng)用累加法求（轉(zhuǎn)化為類型1）比較以上兩種方法，用解法1快捷。【例3】已知數(shù)列中，求【提升】已知數(shù)列滿足（

3、）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列bn滿足證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（）證明：類型四 （其中p均為常數(shù)，）方 法輔助數(shù)列法用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出，從而轉(zhuǎn)化為是公式為的等比數(shù)列（前提是首項(xiàng)不為0）【例4】設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式類型五 （其中p，q均為常數(shù)，）方法1輔助數(shù)列法一般地，先在遞推公式兩邊同除以，得，引入輔助數(shù)列（其中），得，轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列求解。方法2輔助數(shù)列法在遞推公式兩邊同除以，得，引入輔助數(shù)列（其中），得，再用累加法求解【例5】已知數(shù)列中，,，求【提升】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明： 類型六二階線性遞推：（其中均為常

4、數(shù)）方 法輔助數(shù)列法用待定系數(shù)法，把遞推關(guān)系式變形為，其中滿足，化歸為等比數(shù)列問題，再應(yīng)用前面類型的方法求解。項(xiàng)不為0）【例6】（06福建）已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：（I）證明：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 （II）解：由（I）得 類型七遞推公式為與的關(guān)系式(或)方 法消“元”轉(zhuǎn)化法一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解【例6】已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系； （2）求通項(xiàng)公式.【變式】數(shù)列的前項(xiàng)的和為滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.【提升】（2013江西（理）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明:對于任意的,都有解析：(1)解:由,得. 由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以. 于是時(shí),. 綜上,數(shù)列的通項(xiàng). (2)證明:由于. 則. 【提升】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.() 求的值;() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;() 證明:對一切正整數(shù),有.（2013廣東（理）解析：(1) 解: ,. 當(dāng)時(shí), ，又, (2)解: ,. 當(dāng)時(shí), 由 ,得 數(shù)列是以首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列. 當(dāng)時(shí),上