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1、專題三 遞推數(shù)列求通項(xiàng)題型歸類歸法四川省雙流縣中學(xué) 王 林2015-5-11各種數(shù)列問題在很多情形下,就是對數(shù)列通項(xiàng)公式的求解(如教材P69B組5、6)。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中,數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸前期學(xué)習(xí)中總結(jié)表明:轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想是求復(fù)雜問題的主導(dǎo),序號處理是易錯點(diǎn)下面總結(jié)出幾種常見類型遞推公式下求解相應(yīng)數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法,希望大家落實(shí)過手類型一 方 法累加法(逐差相加法)把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累加法(逐差相加法)求解.【例1】已知數(shù)列滿足,求解:由條件知:,分別令,代入上式得個等式累加之,即,所以,【變式】已知數(shù)列滿足,求【提升】已知數(shù)列中,
2、且,其中1,2,3,.(1)求;(2)求的通項(xiàng)公式類型二 方法累乘法(逐商相乘法)把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累乘法(逐商相乘法)求解【例2】已知數(shù)列滿足,求解:由條件知,分別令,代入上式得個等式累乘之,即又,規(guī)律:【變式】已知數(shù)列,滿足a1=1, (n2),求數(shù)列的通項(xiàng)公式【提升】1、已知數(shù)列滿足,求2、正項(xiàng)數(shù)列中,求類型三一級線性遞推:(其中p,q均為常數(shù),)方法1構(gòu)造輔助數(shù)列法用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,即把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:,其中,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解方法2構(gòu)造輔助數(shù)列法求出的通項(xiàng)用累加法求(轉(zhuǎn)化為類型1)比較以上兩種方法,用解法1快捷。【例3】已知數(shù)列中,求【提升】已知數(shù)列滿足(
3、)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)若數(shù)列bn滿足證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列;()證明:類型四 (其中p均為常數(shù),)方 法輔助數(shù)列法用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,即令,與已知遞推式比較,解出,從而轉(zhuǎn)化為是公式為的等比數(shù)列(前提是首項(xiàng)不為0)【例4】設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式類型五 (其中p,q均為常數(shù),)方法1輔助數(shù)列法一般地,先在遞推公式兩邊同除以,得,引入輔助數(shù)列(其中),得,轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列求解。方法2輔助數(shù)列法在遞推公式兩邊同除以,得,引入輔助數(shù)列(其中),得,再用累加法求解【例5】已知數(shù)列中,,,求【提升】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和,()求首項(xiàng)與通項(xiàng);()設(shè),證明: 類型六二階線性遞推:(其中均為常
4、數(shù))方 法輔助數(shù)列法用待定系數(shù)法,把遞推關(guān)系式變形為,其中滿足,化歸為等比數(shù)列問題,再應(yīng)用前面類型的方法求解。項(xiàng)不為0)【例6】(06福建)已知數(shù)列滿足(I)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(II)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;解:(I)證明:是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列 (II)解:由(I)得 類型七遞推公式為與的關(guān)系式(或)方 法消“元”轉(zhuǎn)化法一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解【例6】已知數(shù)列前n項(xiàng)和.(1)求與的關(guān)系; (2)求通項(xiàng)公式.【變式】數(shù)列的前項(xiàng)的和為滿足,.(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式.【提升】(2013江西(理)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明:對于任意的,都有解析:(1)解:由,得. 由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以. 于是時(shí),. 綜上,數(shù)列的通項(xiàng). (2)證明:由于. 則. 【提升】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.() 求的值;() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;() 證明:對一切正整數(shù),有.(2013廣東(理)解析:(1) 解: ,. 當(dāng)時(shí), ,又, (2)解: ,. 當(dāng)時(shí), 由 ,得 數(shù)列是以首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列. 當(dāng)時(shí),上
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