421直線與圓的位置關(guān)系

1、4.2 直線、圓的位置關(guān)系4.2.1 直線與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程分別是什么？分別是什么？ 222()()xaybr22220(40)xyDxEyFDEF0022|AxByCdAB 一艘輪船在沿直線返回一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西船正西70 km70 km處，受影響的范處，受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為圍是半徑長(zhǎng)為30km30km的圓形區(qū)域的圓形區(qū)域. . 已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km40 km處，如果這

2、艘輪船處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？輪船輪船港口港口臺(tái)風(fēng)臺(tái)風(fēng)下面我們以太陽的起下面我們以太陽的起落為例落為例.以藍(lán)線為水平以藍(lán)線為水平線線,圓圈為太陽圓圈為太陽!注意觀察注意觀察!1.1.理解直線與圓的位置的種類理解直線與圓的位置的種類. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2.2.利用平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離公式求圓心利用平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離公式求圓心 到直線的距離到直線的距離. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）3.3.會(huì)用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系會(huì)用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系. . （難點(diǎn)）（難點(diǎn)）4.4.會(huì)用代數(shù)

3、的方法來判斷直線與圓的位置關(guān)系會(huì)用代數(shù)的方法來判斷直線與圓的位置關(guān)系 （難點(diǎn)）（難點(diǎn)）1.1.直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn), ,叫做叫做直線和圓相切直線和圓相切. .2.2.直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn), ,叫做叫做直線和圓相交直線和圓相交. .3.3.直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí), ,叫做叫做直線和圓相離直線和圓相離. .一、直線與圓的位置關(guān)系一、直線與圓的位置關(guān)系o圓心圓心O O到直線到直線l的距離的距離d dl半徑半徑r r1.1.直線直線l和和O O相離相離, ,此時(shí)此時(shí)d d與與r r大小關(guān)系為大小關(guān)系為_drdrlo圓心圓心O O到直線到直線

4、l的距離的距離d d半徑半徑r r2.2.直線直線l和和O O相切相切, ,此時(shí)此時(shí)d d與與r r大小關(guān)系為大小關(guān)系為_ld=rd=ro圓心圓心O O到直線到直線l的距離的距離d d半徑半徑r r3.3.直線直線l和和O O相交相交, ,此時(shí)此時(shí)d d與與r r大小關(guān)系為大小關(guān)系為_ldrd rd = rd 0)(r0)2.2.利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷：利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷：2220()()設(shè)設(shè)方方程程組組消消元元所所得得一一元元二二次次方方程程的的解解的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為AxByCxaybrn 直線與圓相離直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相切直線與圓相交直線與圓相交n=

5、0n=1n=20例例1.1.如圖，已知直線如圖，已知直線l:3x+y-6=0:3x+y-6=0和圓心為和圓心為C C的圓的圓x x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0，判斷直線，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo). .xyOCABl分析：分析：方法二方法二:可以依據(jù)圓心到直線可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系，的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系方法一方法一:判斷直線判斷直線l與圓的位置關(guān)系，與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的就是看由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解、有幾組實(shí)數(shù)解；方

6、程組有無實(shí)數(shù)解、有幾組實(shí)數(shù)解；解法一：解法一：由直線由直線l與圓的方程，得與圓的方程，得22360,240.xyxyy 消去，得消去，得y2320 xx因?yàn)橐驗(yàn)?( 3)4 2 110, 所以所以, ,直線直線l與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)解法二：解法二：圓為22222222x +y -2y-4=0可x +y -2y-4=0可化化x +(y-1) =5,x +(y-1) =5,其圓心其圓心C C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（0,10,1），半徑長(zhǎng)為），半徑長(zhǎng)為5，點(diǎn)點(diǎn)C C（0,10,1）到直線）到直線l的距離的距離223 0 1 6551031d 所以，直線所以，直線l與圓相交，有兩個(gè)

7、公共點(diǎn)與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)由由2320,xx解得解得122,1.xx把把x x1 1=2=2代入方程，得代入方程，得y y1 1=0=0；把；把x x2 2=1=1代入方程代入方程, ,得得y y2 2=3.=3.所以，直線所以，直線l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是A A（2,02,0）,B,B（1,31,3）. .1.1.設(shè)直線過點(diǎn)設(shè)直線過點(diǎn)(0(0，a)a)，其斜率為，其斜率為1,1,且與圓且與圓x x2 2+y+y2 2=2=2相切，則相切，則a a的值為的值為( )( )A.A. B. B.2 C.2 C.2 D.2 D.4 4【解析解析】選選B.B

8、.由已知可知直線方程為由已知可知直線方程為y=y=x+ax+a, ,即即x-y+a=0 x-y+a=0，所以有，所以有 得得a=a=2.2.220-0+a0-0+a=2,=2,2 2【變式練習(xí)變式練習(xí)】例例2 2 已知過點(diǎn)已知過點(diǎn)M M（-3-3，-3-3）的直線）的直線l被圓被圓x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為所截得的弦長(zhǎng)為 ，求直線，求直線l的方程的方程. .4 5解：解：將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=25,=25,所以，圓心的坐標(biāo)是（所以，圓心的坐標(biāo)是（0 0，-2-2）, ,半徑長(zhǎng)

9、半徑長(zhǎng)r=5.r=5. 如圖，因?yàn)橹本€如圖，因?yàn)橹本€l被圓所截得被圓所截得的弦長(zhǎng)是的弦長(zhǎng)是 ，所以弦心距為，所以弦心距為即圓心到所求直線即圓心到所求直線l的距離為的距離為 . .4 5224 55()525 因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€l過點(diǎn)過點(diǎn)M M（-3-3，-3-3），所以可設(shè)所求直），所以可設(shè)所求直線線l的方程為的方程為y+3=k(x+3),y+3=k(x+3),即即kx-y+3k-3=0.kx-y+3k-3=0. 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得到圓心到直線根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得到圓心到直線l的距離的距離因此，因此，2233.1kdk22335.1kk即即 兩邊平方，并整理得到兩邊平方，并整理得到

10、 2k2k2 2-3k-2=0,-3k-2=0,解得解得k= k= ，或，或k=2.k=2. 所以，所求直線所以，所求直線l有兩條，它們的方程分別為有兩條，它們的方程分別為y+3= (x+3),y+3= (x+3),或或 y+3=2(x+3).y+3=2(x+3).即即x+2y+9=0,x+2y+9=0,或或2x-y+3=0.2x-y+3=0.23155,kk1212判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的方程組成的方程組是否有解判斷直線與圓的方程組成的方程組是否有解a a、有解、有解, ,直線與圓有公共點(diǎn)直線與圓有公共點(diǎn). .有一組有一組, ,則相切則相切; ;有兩組有兩組

11、, ,則相交則相交. .b b、無解、無解, ,則直線與圓相離則直線與圓相離. .【提升總結(jié)提升總結(jié)】直線直線x+ y=0 x+ y=0繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)3030所得所得直線與圓直線與圓x x2 2+y+y2 2-4x+1=0-4x+1=0的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( )( )A.A.直線與圓相切直線與圓相切B.B.直線與圓相交但不過圓心直線與圓相交但不過圓心C.C.直線與圓相離直線與圓相離D.D.直線過圓心直線過圓心3【變式練習(xí)變式練習(xí)】A A解：解：選選A.A.因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€x+ y=0 x+ y=0的傾斜角為的傾斜角為150150, ,所以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所以順時(shí)

12、針方向旋轉(zhuǎn)3030后的傾斜角為后的傾斜角為120120, ,所以旋轉(zhuǎn)后的直線方程為所以旋轉(zhuǎn)后的直線方程為 x+yx+y=0.=0.將圓的方程化為將圓的方程化為(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3,=3,所以圓心的坐標(biāo)為所以圓心的坐標(biāo)為(2(2，0)0)，半徑為，半徑為 , ,圓心到直線圓心到直線 x+yx+y=0=0的距離為的距離為 = =圓的半徑，圓的半徑，所以直線和圓相切所以直線和圓相切. .332 32 3d =3d =32 2331.1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用幾何法，其一般步判斷直線與圓的位置關(guān)系常用幾何法，其一般步驟分別為：驟分別為：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的圓心坐

13、標(biāo)和把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑半徑r.r.利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離d.d.判斷：當(dāng)判斷：當(dāng)d dr r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=rd=r時(shí)，直時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)線與圓相切；當(dāng)d dr r時(shí)，直線與圓相交時(shí)，直線與圓相交. .【提升總結(jié)提升總結(jié)】2.2.已知直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法將已知直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d d與半徑與半徑r r的的大小關(guān)系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍大小關(guān)系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍. .1.O

14、1.O的半徑為的半徑為3 ,3 ,圓心圓心O O到直線到直線l的距離為的距離為d,d,若直線若直線l與與O O沒有公共點(diǎn)，則沒有公共點(diǎn)，則d d為（為（ ） A Ad d 3 B3 Bd3 Cd3 Cd 3 Dd 3 Dd =3d =32.2.圓心圓心O O到直線的距離等于到直線的距離等于O O的半徑，則直線和的半徑，則直線和O O的位置關(guān)系是（）的位置關(guān)系是（） A A相離相離 B.B.相交相交 C.C.相切相切 D.D.相切或相交相切或相交 A AC CA A5.5.直線直線x+2y-1=0 x+2y-1=0和圓和圓x x2 2-2x+y-2x+y2 2-y+1=0-y+1=0的位置關(guān)系是

15、的位置關(guān)系是_._.相交相交4.4.直線直線x-y-2=0 x-y-2=0與圓與圓(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1的位置關(guān)系為的位置關(guān)系為_._.相離相離6.6.圓心為圓心為M(3,-5)M(3,-5)，且與直線，且與直線x-7y+2=0 x-7y+2=0相切的圓的方相切的圓的方程為程為 . .(x-3)(x-3)2 2+(y+5)+(y+5)2 2=32=32解：解：方程方程 經(jīng)過配方，得經(jīng)過配方，得7.7.判斷直線判斷直線 與圓與圓 的位的位置關(guān)系置關(guān)系 2220 xyx342 0 xy因?yàn)橐驗(yàn)閐=rd=r，所以直線，所以直線3x3x4y4y2 2與圓相切與圓相切22(1)1xy|3+0+2|3+0+2|d =1d =15 52222x +yx +y2x =02x =0圓心坐標(biāo)是（，），半徑圓心坐標(biāo)是（，），半徑r=1r=1圓心到直線圓心到直線x xy y的距離的距離直線直線Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同時(shí)為零不同時(shí)為零) )和圓和圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,則圓心則圓心(a,b)(a,b)到此直線的距離為到此直線的距離為22|AaBbCdABdrdrdrd d與與r r2 2個(gè)個(gè)1 1個(gè)個(gè)0 0個(gè)個(gè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)圖形圖形相交相交相