探究四點共圓的條件--教學(xué)設(shè)計（宋德雨）

1、.數(shù)學(xué)活動探究四點共圓的條件 吉林省延吉市第六中學(xué) 宋德雨一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容四點共圓的條件2內(nèi)容解析四點共圓的條件是在學(xué)生學(xué)習(xí)了經(jīng)過一個點的圓、經(jīng)過兩個點的圓、經(jīng)過不在同一直線的三個點的圓、三角形與圓的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形后，對經(jīng)過任意三點都不在同一直線上的四點共圓的條件的探究圓內(nèi)接四邊形對角互補，相應(yīng)地，對角互補的四邊形的四個頂點共圓在四點共圓的條件的探究過程中，通過對特殊的四邊形平行四邊形、矩形、等腰梯形的四個頂點組成的四邊形等四邊形的探究，發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓，表達(dá)了特殊到一般的思想同時，在研究的過程中，類比將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形來研究，從三點共圓入手探

2、究四點共圓的條件，表達(dá)了轉(zhuǎn)化的思想和方法另外，學(xué)生經(jīng)歷探究四點共圓的條件這一數(shù)學(xué)活動的全過程，在“做的過程和“考慮的過程中積淀，有利于數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷的積累基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：四點共圓的條件的探究二、目的和目的解析1目的1理解過某個四邊形的四個頂點能作一個圓的條件2通過四點共圓的條件的探究和猜測的證明，體會由特殊到一般、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)歷2目的解析達(dá)成目的1的標(biāo)志是：知道對角互補的四邊形的四個頂點共圓的結(jié)論，會應(yīng)用反證法證明這一結(jié)論，能應(yīng)用對角互補的四邊形四個頂點共圓判斷給定的四邊形的四個頂點是否可以作一個圓達(dá)成目的2的標(biāo)志是：通過畫圖、觀察、測量、比較、分析平行四

3、邊形、矩形、菱形、等腰梯形的四個頂點組成的四邊形等特殊的四邊形的四個頂點能否共圓，得到對角互補的四邊形四個頂點共圓的更一般的結(jié)論；將證明四點共圓的問題轉(zhuǎn)化為不共線的三點可以確定的圓與第四個頂點的關(guān)系，并應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形對角互補獲得證明；在解決問題的過程中，積極考慮，勇于質(zhì)疑，體會發(fā)現(xiàn)問題，解決問題、有效地呈現(xiàn)活動結(jié)果等過程是數(shù)學(xué)活動的根本過程三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題的階段可能會受過任意一個三角形的三個頂點作一個圓的影響，去判斷第四個頂點是否在這個圓上解決這一問題的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生從圓的定義或特殊的四邊形出發(fā)，從特殊到一般來探究問題通過分析平行四邊形、矩形、菱形獲得四邊形的四個頂點共圓與

4、四邊形的邊長無關(guān)的猜測，通過對等腰梯形的探究獲得四邊形的四個頂點共圓與四邊形的內(nèi)角是否是直角無關(guān)，通過對四點不共圓的菱形四個頂點的探究獲得四邊形的四個頂點共圓與四邊形是否存在一組對邊平行無關(guān)，進(jìn)而聯(lián)想圓內(nèi)接四邊形對角互補，獲得猜測另外，猜測的證明要用到反證法，學(xué)生可能不知如何入手，猜測的證明對學(xué)生來說是難點，關(guān)鍵是從過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓入手，把四點共圓問題轉(zhuǎn)化成點與圓的關(guān)系，再由圓內(nèi)接四邊形對角互補得到證明方法本節(jié)課的教學(xué)難點是：對角互補的四邊形四個頂點共圓的證明四、教學(xué)過程設(shè)計1創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題引入 延吉一市民想在自家農(nóng)場建了個農(nóng)家樂,為使游客漫步、乘涼方便同時又不失美觀，

5、他經(jīng)過空地內(nèi)的四棵樹，在其內(nèi)側(cè)鋪一條圓形的石子路，同學(xué)們知道他是如何做成的嗎？他是怎么知道經(jīng)過這四棵樹一定能鋪成一條圓形的石子路呢?問題1為理解決這個問題，我們回憶一下都儲藏了哪些有關(guān)的知識，過一點A可以作圓嗎？能做幾個？圖11；經(jīng)過兩點A，B可以作圓嗎？能做幾個？圖12；經(jīng)過不在同一直線的三個點A，B，C可以作圓嗎？能幾個圓？圖13 1 2 3圖1老師追問：經(jīng)過四棵樹鋪設(shè)石子路這一現(xiàn)實生活中遇到的問題，可以轉(zhuǎn)化為一個什么樣的數(shù)學(xué)問題呢？師生活動：老師提出問題，學(xué)生考慮，答復(fù)以下問題設(shè)計意圖：從經(jīng)過一個點的圓、經(jīng)過兩個點的圓、經(jīng)過不在同一直線的三個點圓、三角形與圓的關(guān)系入手，由經(jīng)過三角形三個頂

6、點可以作一個圓想到經(jīng)過四邊形的四個頂點是否可以作一個圓，從學(xué)生已有的知識經(jīng)歷出發(fā)，獲得探究問題的方向同時也浸透將探究四點共圓問題轉(zhuǎn)化成三點共圓的問題為后繼猜測的證明作適當(dāng)?shù)闹R準(zhǔn)備將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.2合作探究獲得猜測問題1.為理解決這一問題，課前，我們給同學(xué)們布置了作業(yè)，嘗試著過給出的四個四邊形的頂點做圓，結(jié)果如何呢？1 2 3 4 圖2 師生活動:在學(xué)生說出結(jié)果后，老師通過多媒體展示結(jié)果.老師追問1:怎么判斷這四點共圓或不共圓呢？師生活動:老師提出問題,學(xué)生獨立考慮后答復(fù).設(shè)計意圖: 在答復(fù)以下問題的過程中,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)能找到一點圓心到四頂點間隔 相等，那么可

7、斷定四點共圓,這是判斷n個點是否共圓的重要根據(jù);也可以判斷第四點在不在其他三點確定的圓上來確定四點是否共圓。 問題2:看來，有些四邊形的四個頂點可以共圓，有些卻不行，滿足什么條件的四邊形的四個頂點會共圓呢？你能借助這幾幅圖說說你的想法嗎？師生活動：學(xué)生分成小組，共同探究老師提出的問題過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎，學(xué)生代表展示小組討論的過程與結(jié)果老師重點關(guān)注學(xué)生自主探究的步驟和方法老師針對學(xué)生的不同方法、不同的表達(dá)形式給出指導(dǎo).這一環(huán)節(jié)學(xué)生思維比較發(fā)散，探究角度較多。有些學(xué)生會從定義的角度出發(fā),應(yīng)給予肯定；有些學(xué)生會從圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理的角度出發(fā)，想到性質(zhì)定理的逆命題可能斷定四點共

8、圓，這是我們研究幾何的思路；還有些學(xué)生會從特殊圖形的角度出發(fā)，分析矩形，等腰梯形，平行四邊形等特殊圖形，老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生尋找不同圖形的共性因素；還有些學(xué)生會從四邊形的主要特征邊、角、對角線入手，在不斷的尋找否決再尋找再否決的活動過程中，挑選獲得真正的核心條件。有些學(xué)生可能會答錯，在互相糾錯的過程中恰能表達(dá)學(xué)生的思維過程，同時或許也可引出新的考慮角度。學(xué)生從多個角度探究找到了一個猜測：對角互補的四邊形，四個頂點在同一個圓上。設(shè)計意圖：讓學(xué)生學(xué)會利用載體去對問題進(jìn)展研究，在經(jīng)歷觀察、作圖、測量、猜測、比照、驗證等活動感受從特殊到一般的研究問題方法，一步一步地向探究的目的靠近在探究過程中學(xué)生會發(fā)現(xiàn)有的

9、四邊形的四個頂點能共圓，有的卻不行，引導(dǎo)學(xué)生從多個角度去猜測、探究有利于學(xué)生在“做數(shù)學(xué)的過程中考慮、積淀，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)歷問題3.通過合作交流，同學(xué)們推測出了四邊形的四個頂點共圓的條件，可這只是我們通過觀察、度量、推測出的猜測，要想使之成為定理，作為今后四點共圓判斷的根據(jù)，還需要證明，那如何證明呢？師生活動：老師展示問題，師生共同寫出、求證即：在四邊形ABCD中，BD180º求證：過點A，B，C，D可作一個圓學(xué)生考慮并嘗試答復(fù)學(xué)生可能聯(lián)想需要找到一點O，滿足OAOBOCOD老師追問2：如何找到這個點？師生活動：要證明的是四邊形的對角互補，這和找到點O并證明OAOBOCOD沒有聯(lián)絡(luò)，

10、讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直接證明很困難，學(xué)生自然轉(zhuǎn)換思路說出反證法。老師追問3：反證法的一般步驟是什么？如何用反證法進(jìn)展證明？師生活動：回憶反證法的證明步驟，同時引導(dǎo)學(xué)生將四邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形來研究，不在同一條直線上的三點是共圓的，我們可以作出過三點的圓，第四點不能確定是否共圓，但其中的三點是可以保證共圓的，再考慮余下的點是否在過三點的圓上并能提出假設(shè)。老師追問4：假設(shè)點D不在過三點A，B，C的圓上，會出現(xiàn)哪些情況？你能對它們進(jìn)展證明嗎？師生活動：師生共同分析點D在圓外的情況，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補進(jìn)展證明證明：如圖4，假設(shè)過A，B，C，D四點不能作一個圓過A，B，C三點作圓，假設(shè)點D在圓外設(shè)AD與圓

11、相交于點E，連接CE，那么BAEC180º而BD180º，所以AECD而AEC是CED的外角，AECD，出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立因此點D在過A，B，C三點的圓上 圖4 圖5老師追問5：如圖5，對于點D點在圓內(nèi)情況，您能自己完成證明嗎？設(shè)計意圖：在學(xué)生動手活動的過程中，通過交流和溝通，讓學(xué)生明確一個問題的解決方案，在推測之后要進(jìn)行驗證，通過證明，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受到數(shù)學(xué)結(jié)論確實定性和證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生推理才能問題4 如今你知道農(nóng)家樂的設(shè)計者是如何判斷這四棵樹是否在同一個圓上了嗎？四個點以畫出，請同學(xué)們動手量一量、算一算，這四個點是否真的在同一個圓上。設(shè)計意圖：運用

12、已學(xué)知識解決問題，不僅考察了學(xué)生，同時讓學(xué)生通過學(xué)以致用感受到快樂，老師積極的評價及和諧的討論氣氛讓學(xué)生體會到自己的社會參與價值和自信心的提升！3.變式探究、拓展思維問題1：經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)這四棵樹的位置還具有這樣的一種特殊的關(guān)系，相等，恰好是90°圖6，運用之前的知識我們能否判斷這四個點是否在同一個圓上呢？為什么？ 圖6師生活動：學(xué)生可運用原有知識解決問題，圓心為AB的中點。設(shè)計意圖：引起學(xué)生興趣，引出后續(xù)探究。老師追問1：假如改變這兩個三角形的形狀，但始終保證有一條公共邊，并且這條邊所對的兩個角相等的話圖7，這四個點還會在一個圓上嗎？圖7師生活動：一些學(xué)生會想到，四個點在同一個圓上，

13、個別學(xué)生會嘗試說出理由。老師追問2：通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你打算如何探究這個問題呢？說說你的想法。師生活動：學(xué)生考慮結(jié)果與證明方法，課上討論時間不夠。余下的證明可留作今天作業(yè)。設(shè)計意圖：受時間限制，課上只能讓學(xué)生簡單表達(dá)思路，為課下繼續(xù)探究開個頭。讓學(xué)生明確解決問題方法的多樣性的同時體會創(chuàng)新方法帶給自己的信心與快樂；通過模擬再次運用轉(zhuǎn)化的解決問題方法積累自己的學(xué)習(xí)。4歸納反思，總結(jié)提升老師與學(xué)生一起回憶本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并答復(fù)以下問題：1本節(jié)課你學(xué)到了什么知識？學(xué)到的知識能解決什么問題？2回憶本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，你是怎么得到上述的知識的？你還有什么收獲？設(shè)計意圖：通過小結(jié)使學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)到的知識、技能、研究方法并關(guān)注不同層次的學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解和掌握培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)才能和對數(shù)學(xué)的積極情感五、目的檢測設(shè)計可當(dāng)作業(yè)處理1如圖，DCE是四邊形ABCD的一個外角，假如DCEA，那么同時過點A，B，