機(jī)械優(yōu)化設(shè)計題目答案

1、1-1.簡述優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。答：優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是實際優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計問題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式。求設(shè)計變量向量使且滿足約束條件利用可行域概念，可將數(shù)學(xué)模型的表達(dá)進(jìn)一步簡練。設(shè)同時滿足和的設(shè)計點集合為R，即R為優(yōu)化問題的可行域，則優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可簡練地寫成 求使 符號“”表示“從屬于”。 在實際優(yōu)化問題中，對目標(biāo)函數(shù)一般有兩種要求形式：目標(biāo)函數(shù)極小化或目標(biāo)函數(shù)極大化。由于求的極大化與求的極小化等價，所以今后優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)一律采用目標(biāo)函數(shù)極小化形式。 1-2.簡述優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法。（不要抄書，要歸納） 答：

2、求解優(yōu)化問題可以用解析解法，也可以用數(shù)值的近似解法。解析解法就是把所研究的對象用數(shù)學(xué)方程（數(shù)學(xué)模型）描述出來，然后再用數(shù)學(xué)解析方法（如微分、變分方法等）求出有化解。但是，在很多情況下，優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有時對象本身的機(jī)理無法用數(shù)學(xué)方程描述，而只能通過大量試驗數(shù)據(jù)用插值或擬合方法構(gòu)造一個近似函數(shù)式，再來求其優(yōu)化解，并通過試驗來驗證；或直接以數(shù)學(xué)原理為指導(dǎo)，從任取一點出發(fā)通過少量試驗（探索性的計算），并根據(jù)試驗計算結(jié)果的比較，逐步改進(jìn)而求得優(yōu)化解。這種方法是屬于近似的、迭代性質(zhì)的數(shù)值解法。數(shù)值解法不僅可用于求復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化解，也可以用于處理沒有數(shù)

3、學(xué)解析表達(dá)式的優(yōu)化問題。因此，它是實際問題中常用的方法，很受重視。其中具體方法較多，并且目前還在發(fā)展。但是，應(yīng)當(dāng)指出，對于復(fù)雜問題，由于不能把所有參數(shù)都完全考慮并表達(dá)出來，只能是一個近似的最后的數(shù)學(xué)描述。由于它本來就是一種近似，那么，采用近似性質(zhì)的數(shù)值方法對它們進(jìn)行解算，也就談不到對問題的精確性有什么影響了。不管是解析解法，還是數(shù)值解法，都分別具有針對無約束條件和有約束條件的具體方法。可以按照對函數(shù)倒數(shù)計算的要求，把數(shù)值方法分為需要計算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)和零階導(dǎo)數(shù)（即只要計算函數(shù)值而不需計算其導(dǎo)數(shù)）的方法。2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對優(yōu)化設(shè)計有何意義？答：二元函數(shù)f(x1,x2)在x0

4、點處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫成下面的形式令并稱它為函數(shù)f（x1，x2）在x0點處的梯度。假設(shè)為D方向上的單位向量，則有 即函數(shù)f（x1，x2）在x0點處沿某一方向d的方向?qū)?shù)等于函數(shù)在該點處的梯度與d方向單位向量的內(nèi)積。 梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，而梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向為等值面的法線方向。梯度方向為函數(shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負(fù)梯度-方向為函數(shù)變化率最小方向，即最速下降方向。2-2.求二元函數(shù)在處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。解；由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的方向，這里用單位向量p表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時梯度的模。求f

5、（x1，x2）在x0點處的梯度方向和數(shù)值，計算如下： = 2-3.試求目標(biāo)函數(shù)在點X0=1,0T 處的最速下降方向，并求沿著該方向移動一個單位長度后新點的目標(biāo)函數(shù)值。解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 則函數(shù)在X0=1,0T處的最速下降方向是 這個方向上的單位向量是： 新點是 新點的目標(biāo)函數(shù)值 2-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？（要求配圖）一個點集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點x1、x2的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點集為凸集，否則為非凸集。函數(shù)f(x）為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對任何的及凸集域內(nèi)的任意兩點x1、x2，存在如下不等式： 稱f（x）是定義在圖集上的一個凸函數(shù)。對于約束優(yōu)化問題若 都是凸函

6、數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。3-1.簡述一維搜索區(qū)間消去法原理。（要配圖）答：搜索區(qū)間（a，b）確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間（a，b）內(nèi)任取兩點a1，b1 ，a1b1，并計算函數(shù)值f（a1），f（b1）。將有下列三種可能情形；1）f（a1）f（b1）由于函數(shù)為單谷，所以極小點必在區(qū)間（a，b1）內(nèi)2）f（a1）f（b1），同理，極小點應(yīng)在區(qū)間（a1，b）內(nèi)3）f（a1）=f（b1），這是極小點應(yīng)在（a1，b1）內(nèi)3-2.簡述黃金分割法中0.618的來由，搜索過程及程序框圖。黃金分割法適用于區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問題。對函數(shù)除要求“單谷”外不作其

7、他要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應(yīng)面相當(dāng)廣。黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎(chǔ)上的試探方法，即在搜索區(qū)間內(nèi)適當(dāng)插入兩點、，并計算其函數(shù)值。、將區(qū)間分成三段。應(yīng)用函數(shù)的單谷性質(zhì)，通過函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段，使搜索區(qū)間得以縮短。然后再在保留下來的區(qū)間上作同樣的處置，如此迭代下去，使搜索區(qū)間無限縮小，從而得到極小點的數(shù)值近似解。黃金分割法要求插入點、的位置相對于區(qū)間兩端點具有對稱性，即 其中，為待定常數(shù)。圖a除對稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來的區(qū)間內(nèi)再插入一點所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。設(shè)原區(qū)間長度為1，如圖a所示，保留下來的區(qū)間長度為，區(qū)間縮

8、短率為。為了保持相同的比例分布，新插入點應(yīng)在位置上，在原區(qū)間的位置應(yīng)相當(dāng)于在保留區(qū)間的位置。故有取方程正數(shù)解，得若保留下來的區(qū)間為，根據(jù)插入點的對稱性，也能推得同樣的值。所謂“黃金分割”是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段長度的比值，即同樣算得?？梢婞S金分割法能使相鄰兩次搜索區(qū)間都具有相同的縮短率0.618，所以黃金分割法又被稱作0.618法。圖 b黃金分割法的搜索過程是：（1） 給出初始搜索區(qū)間及收斂精度，將賦以0.618。（2） 按坐標(biāo)點計算公式、計算和，并計算其對應(yīng)的函數(shù)值，。（3） 根據(jù)區(qū)間消去法原理縮短搜索區(qū)間。為了能用原來的坐標(biāo)點計算公式，需進(jìn)行

9、區(qū)間名稱的代換，并在保留區(qū)間中計算一個新的試驗點及其函數(shù)值。（4） 檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足夠近，如果條件不滿足則返回到步驟（2）。（5） 如果條件滿足，則取最后兩試驗點的平均值作為極小點的數(shù)值近似解。（6）黃金分割法的程序框圖如圖b所示。3-3.對函數(shù)，當(dāng)給定搜索區(qū)間時，寫出用黃金分割法求極小點的前三次搜索過程。（要列表）解；此時的a=-5，b=5。首先插入兩點a1和a2?？傻胊1=b-=-1.18 , a2=a+=1.18再計算相應(yīng)插入點的函數(shù)值，得y1=f（a1）=-0.9676，y2=f（a2）=3.7524因為y2>y1，所以消去區(qū)間a2,b，則新的搜索區(qū)間a,

10、b的端點a=-5不變，而端點b=a2=1.18第一次迭代；此時插入點a1=b-=-2.639，a2=-1.181。相應(yīng)插入點的函數(shù)值y1=f（a1）=1.686，y2=f（a2）=-0.967，由于y1>y2,故消去區(qū)間a，a1,新的搜索區(qū)間為-2.639,1.18，如此繼續(xù)迭代下去列出前三次迭代結(jié)果黃金分割法的搜索過程迭代序號aa1a2bY1比較Y20-5-1.181.185-0.9676<3.75241-5-2.639-1.1811.181.686>-0.9672-2.639-1.18-0.2791.18-0.9676<-0.483-2.639-1.737-1.18

11、1-0.279-0.457>-0.4823-4.使用二次插值法求f(x)=sin(x)在區(qū)間2,6的極小點，寫出計算步驟和迭代公式，給定初始點x1=2，x2=4，x3=6， =10-4。解： 1234x1244.554574.55457x244.554574.736564.72125x36664.73656y10.909297-0.756802-0.987572-0.987572y2-0.756802-0.987572-0.999708-0.999961y3-0.279415-0.279415-0.279415-0.999708xp4.554574.736564.721254.71236

12、yp-0.987572-0.999708-0.999961-1迭代次數(shù)K= 4 ，極小點為 4.71236 ，最小值為 -1 ，收斂的條件： 4-1.簡述無約束優(yōu)化方法中梯度法、共軛梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。答：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)相互垂直即是相鄰兩個搜索方向相互垂直。這就是說在梯度法中，迭代點向函數(shù)極小點靠近的過程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過程互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠(yuǎn)離極小點的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降。可是在接近極小點的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而

13、收斂速度減慢。這種情況似乎與“最速下降”的名稱矛盾，其實不然，這是因為梯度是函數(shù)的局部性質(zhì)。從局部上看，在一點附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。共軛梯度法是共軛方向法中的一種，因為在該方法中每一個共軛的量都是依賴于迭代點處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來的，所以稱作共軛梯度法。該方法的第一個搜索方向取作負(fù)梯度方向，這就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個角度，也就是對負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共軛梯度法實質(zhì)上是對最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共軛方向的一種共軛方向法，這種方法是在研究其有正定矩陣G的二次函數(shù)的

14、極小化問題時形成的。其基本思想是在不用導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造G的共軛方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點和終點所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個向量，而不管它的“好壞”，這是產(chǎn)生向量組線性相關(guān)的原因所在。因此在改進(jìn)的算法中首先判斷原向量組是否需要替換。如果需要替換，還要進(jìn)一步判斷原向量組中哪個向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個最壞的向量，以保證逐次生成共軛方向。4-2.如何確定無約束優(yōu)化問題最速下降法的搜索方向？答：優(yōu)化設(shè)計是追求目標(biāo)函數(shù)值最小，因此搜所方向d取該點的負(fù)梯度方向-。使函數(shù)值在該點附近的范圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法（k=0，1,2，）

15、由于最速下降法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法 為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向-能獲得最大的下降值，其步長因子應(yīng)取一維搜索的最佳步長。即有根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得；或?qū)懗捎纱丝芍谧钏傧陆捣ㄖ?，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰的兩個搜索方向相互垂直。這就是說在最速下降法中，迭代點向函數(shù)極小點靠近的過程。4-3. 給定初始值x0=-7,11T，使用牛頓法求函數(shù)的極小值點和極小值。解： 梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為 （2分） （4分）假設(shè)初始值x0=-7,11T則 （1分） （2分）則 （1分）x1滿足極值的必要條件，

16、海賽矩陣是正定的，所以是極小點。 （2分）4-4.以二元函數(shù)為例說明單形替換法的基本原理。答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個點x1，x2，x3，以它們?yōu)轫旤c組成一單純形。計算各頂點函數(shù)值，設(shè)f（x1）>f（x2）>f（x3），這說明x3點最好，x1點最差。為了尋找極小點，一般來說。應(yīng)向最差點的反對稱方向進(jìn)行搜索，即通過x1并穿過x2x3的中點x4的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點x5使 x5=x4+（x4-x1）x5稱作x1點相對于x4點的反射點，計算反射點的函數(shù)值f（X5），可能出現(xiàn)以下幾種情形；1）f（x5）<f（x3）即反射點比最好點好要好，說明搜索方向正確，可以

17、往前邁一步，也就是擴(kuò)張。2）f（x3）<f（x5）<f（x2）即反射點比最好點差，比次差點好，說明反射可行，一反射點代替最差點構(gòu)成新單純形3）f（x2）<f（x5）<f(x1)，即反射點比次差點差，比最差點好，說明x5走的太遠(yuǎn)，應(yīng)縮回一些，即收縮。4) f(x5)>f(x1)，反射點比最差點還差，說明收縮應(yīng)該多一些。將新點收縮在x1x4之間5) f(x)>f(x1)，說明x1x4方向上所有點都比最差點還要差，不能沿此方向進(jìn)行搜索。5-1.簡述約束優(yōu)化方法的分類。（簡述約束優(yōu)化問題的直接解法、間接解法的原理、特點及主要方法。） 答: 直接解法通常適用于僅含不等

18、式約束的問題，它的基本思路是在m個不等式約束條件所確定的可行域內(nèi)選擇一個初始點，然后決定可行搜索方向d，且以適當(dāng)?shù)牟介L沿d方向進(jìn)行搜索，得到一個使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點，即完成一個迭代。再以新點為起點，重復(fù)上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計點沿該方向作微量移動時，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。直接解法的原理簡單，方法實用。其特點是：1）由于整個求解過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此迭代計算不論何時終點，都可以獲得一個比初始點好的設(shè)計點。2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域為凸集，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點不相同時，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內(nèi)選擇幾個差別較大的初始點分別進(jìn)行計算，以便從求得多個局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。3）要求可行域為有界的非空集，即在有界可行域內(nèi)存在滿足全部約束條件的點，且目標(biāo)函數(shù)有定義。直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡約梯度法等。間接解法有不同的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化計算，從而間接地搜索到原約束問題