有限元分析綜合

1、有限元復習寶典 重點掌握一般問題的描述、模型簡化、有限元的基本思想及分析原理、位移法求解基本過程、位移函數(shù)構(gòu)造、單元特性、有限元計算的具體操作（單元剛陣形成、總綱陣組裝）、邊界條件處理（載荷等效/邊界約束施加）、有限元分析的具體操作一基本概念1. 平面應(yīng)力/平面應(yīng)變問題；空間問題/軸對稱問題；板殼問題；桿梁問題；溫度場；線性問題/非線性問題（材料非線性/幾何非線性）等平面應(yīng)力問題（1） 均勻薄板（2）載荷平行于板面且沿厚度方向均勻分布在六個應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個應(yīng)力分量，即 （）。一般，并不一定等于零，但可由及求得，在分析問題時不必考慮。于是只需要考慮三個應(yīng)變分量即

2、可。平面應(yīng)變問題（1） 縱向很長，且橫截面沿縱向不變。（2）載荷平行于橫截面且沿縱向均勻分布只剩下三個應(yīng)變分量。也只需要考慮三個應(yīng)力分量即可軸對稱問題物體的幾何形狀、約束情況及所受外力都對稱于空間的某一根軸軸對稱單元的特點（與平面三角形單元的區(qū)別）：軸對稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相連接；節(jié)點力與節(jié)點載荷是施加于節(jié)圓上的均布力；單元邊界是一回轉(zhuǎn)面；板殼問題一個方向的尺寸比另外兩個方向尺寸小很多，且能承受彎矩的結(jié)構(gòu)稱為板殼結(jié)構(gòu)，并把平分板殼結(jié)構(gòu)上下表面的面稱為中面。如果中面是平面或平面組成的折平面，則稱為平板；反之，中面為曲面的稱為殼。桿梁問題桿梁結(jié)構(gòu)是指長度遠大于其橫斷面尺寸的構(gòu)件組成的

3、系統(tǒng)。在結(jié)構(gòu)力學中常將承受軸力或扭矩的桿件成為桿，而將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁。線性問題/非線性問題線性問題：基于小變形假設(shè)他，應(yīng)力與應(yīng)變，應(yīng)力與位移，平衡方程都是線性的。非線性問題：材料非線性(非線性彈性、非線性彈塑性)，幾何非線性（大變形大應(yīng)變?nèi)缃饘傧鹉z，小應(yīng)變大位移如薄壁結(jié)構(gòu)）空間問題、溫度場問題，略2. 不同類型單元的節(jié)點自由度的理解和不同單元連接的處理不同類型單元的節(jié)點自由度：單元類型節(jié)點數(shù)節(jié)點自由度桿單元21梁單元23平面單元32平面四邊形42軸對稱問題32板殼單元43四面體單元43不同單元連接的處理如果兩相鄰單元在連接處節(jié)點重合且節(jié)點自由度相同，可直接連接，則此時不同單元的剛

4、度矩陣可類似單一單元分析一樣直接組集。如果兩相鄰單元在連接處節(jié)點不重合、或節(jié)點自由度不同則要特別處理，處理的基本條件是保證相鄰單元的連接節(jié)點的自由度相容，相鄰單元在連接的交界面上的位移協(xié)調(diào)。(1) 節(jié)點不重合的單元連接（單元類型相同節(jié)點不重合）略。(2) 節(jié)點自由度不同的連接（單元類型不同）桿-梁連接 將桿單元節(jié)點自由度擴展，或引入特殊單元梁-平面單元連接 人為將梁單元延伸一段 或人為建立平面單元上s、m處的位移與梁單元A節(jié)點位移的約束關(guān)系3. 有限元法的基本思想（二次近似）與有限元分析的基本步驟（5步）有限元法的基本思想：先將求解域離散為有限個單元，單元與單元只在節(jié)點相互連接-即原始連續(xù)求解

5、域用有限個單元的集合近似代替（第一次近似）；對每個單元選擇一個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物理量來表示-通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)（第二近似）；基于問題的基本方程，建立單元節(jié)點的平衡方程（即單元剛度方程）；借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組。有限元分析的基本步驟：數(shù)學建模（問題分析），結(jié)構(gòu)離散（第一次近似），單元分析（位移函數(shù)，單剛方程）（第二次近似），整體分析與求解（總剛方程，引入約束，解方程組求節(jié)點位移，根據(jù)節(jié)點位移求應(yīng)力），結(jié)果分析及后處理。4. 里茲法的

6、基本思想及與有限元法區(qū)別里茲法的基本思想：先根據(jù)描述問題的微分方程和相應(yīng)定解條件構(gòu)造等價的泛函變分形式，然后在整個求解區(qū)域上假設(shè)一個試探函數(shù)（或近似函數(shù)），通過求解泛函極值來獲得原問題的近似解。與有限元法的區(qū)別：里茲法是整體場函數(shù)用近似函數(shù)代替，有限元法是離散求解域，分片連續(xù)函數(shù)來近似整體未知場函數(shù)。5. 有限元法的基本定義（節(jié)點、單元、節(jié)點力、節(jié)點載荷）單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域節(jié)點：單元與單元間的連接點。節(jié)點力：單元與單元間通過節(jié)點的相互作用力節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載（等效）。6. 位移函數(shù)的構(gòu)造方法及基本條件構(gòu)造方法：（1）廣義坐標法，按照帕斯卡三

7、角形選擇多項式，項數(shù)多少由單元的自由度數(shù)決定。（2）插值函數(shù)法，表示為形函數(shù)和節(jié)點位移的乘積表示?；緱l件：（1）位移函數(shù)在單元節(jié)點的值應(yīng)等于節(jié)點位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）；（2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實解。7. 位移函數(shù)的收斂性條件（協(xié)調(diào)元、非協(xié)調(diào)元）及單元協(xié)調(diào)性的判斷位移函數(shù)的收斂性條件（1）位移函數(shù)應(yīng)包含剛體位移（2）位移函數(shù)應(yīng)包含常量應(yīng)變（反映單元的常應(yīng)變狀態(tài)）（3）位移函數(shù)在單元內(nèi)連續(xù)，在單元之間的邊界上要協(xié)調(diào)滿足1和2稱為完備單元，滿足1，2，3稱為協(xié)調(diào)單元。單元協(xié)調(diào)性的判斷以3節(jié)點三角形單元為例，位移分量在每個單元中都是坐標的線性函數(shù)的話，在公共邊界上也會是線性變

8、化的，那么相鄰單元在公共邊界上的任意一點都具有相同的位移，也就是協(xié)調(diào)單元。8. 有限元解的性質(zhì)有限元解具有下限性質(zhì)，即有限元的解小于實際的精確解。這是因為實際結(jié)構(gòu)本來是具有無限自由度的，當用有限元求解時，結(jié)構(gòu)被離散為有限個單元的集合后，便只有有限個自由度了。由無限自由度變?yōu)橛邢拮杂啥瓤梢哉J為是對真實位移函數(shù)增加了約束，限制了結(jié)構(gòu)的變形能力，從而導致結(jié)構(gòu)的剛度增大、計算的位移減小。9. 彈性力學的幾個基本概念（位移、應(yīng)力、應(yīng)變等）位移，變形后位置；應(yīng)變，變形程度；應(yīng)力，受力狀態(tài)。10. 彈性力學的基本方程（平衡方程、幾何方程、物理方程）（注意基本假設(shè)/與非線性對比），彈性力學基本方程的求解方法基

9、本假設(shè)：物質(zhì)是連續(xù)，均勻，完全彈性，各向同性，小變形平衡方程：幾何方程：物理方程：11. 虛功原理、最小勢能原理及變分法（里茲法）虛功原理：在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的虛剛體位移時，體系上所有的主動力在虛位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒等于零。最小勢能原理：表明在滿足位移邊界條件的所有可能位移中，實際發(fā)生的位移使彈性體的勢能最小。12. 形函數(shù)特性1)形函數(shù)Ni 為x、y 坐標的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。2)形函數(shù)Ni 在i 節(jié)點處的值等于1，而在其他節(jié)點上的值為0。3)單元內(nèi)任一點的形函數(shù)之和恒等于1。4)形函數(shù)的值在0-1 間變化。13.

10、 單元剛度矩陣的性質(zhì)及元素的物理意義單元剛度矩陣的性質(zhì)：(1)對稱性（2）奇異性，|K|=0（3）主對角線元素恒為正值（4）奇偶行元素之和分別為零（各行或各列元素之和為零）物理意義：單元剛陣K的物理意義是單元受節(jié)點力作用后抗變形的能力。其中分塊矩陣Kij的物理意義為：當在j節(jié)點處產(chǎn)生單位位移而其他節(jié)點位移為零時，在i節(jié)點上需要作用力的大小。其中元素Kij表示在第j號自由度上產(chǎn)生單位位移時，其他自由度位移為零時，在i號自由度上所需要施加的力的大小。單元剛度矩陣的元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標方向發(fā)生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或

11、坐標軸的平行移動而改變。14. 常用單元的特性（如單元內(nèi)部邊界位移/應(yīng)變/應(yīng)力分布，相鄰單元邊界的協(xié)調(diào)性分析）（常應(yīng)變單元三角形/四面體；矩形單元；等參四邊形單元；矩形板單元）三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應(yīng)變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應(yīng)變單元，位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，在相鄰單元邊界處為連續(xù)。常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)變矩陣B為常量矩陣，說明在該單元上的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)槌Ｖ?，在相鄰單元的邊界處，?yīng)變及應(yīng)力不連續(xù)，有突變。矩形單元：4 節(jié)點8自由度矩形單元。位移函數(shù)u=1+ 2 x+3 y+4 xyv=5+6 x+7 y+8 xy滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)單元。應(yīng)變矩陣B

12、是x,y的函數(shù)，應(yīng)力也是隨x，y線性變化的，應(yīng)力和應(yīng)變在相鄰單元邊界處為連續(xù)。15. 等參單元定義、存在條件及特性等參單元定義：即以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進行坐標變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。存在的充要條件：|J|0附，為了保證能進行等參變換(即總體坐標與局部坐標一一對應(yīng))，通常要求總體坐標系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。特性：等參單元為協(xié)調(diào)元，滿足有限元解收斂的充要條件。等參單元的優(yōu)點是當單元邊界呈二次以上的曲線時，容易

13、用很少的單元去逼近曲線邊界。16. 邊界條件處理（載荷等效移置 集中力/均布力/線性分布力 邊界位移約束處理 固定/指定位移等）載荷等效移置連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點移置(分解)，而成為節(jié)點載荷。載荷移置的原則：能量等效（或靜力等效原則），即單元的實際載荷與移置后的節(jié)點載荷在相應(yīng)的虛位移上所做的虛功相等。集中力，移置到兩端節(jié)點，使得F1 L1 =F2 L 2，F(xiàn)1 +F2=F均布力，移置到兩端節(jié)點，F(xiàn)1 =F2=0.5qL線性分布力， F1=1/3 0.5qL ，F(xiàn)2=2/3 0.5qL邊界位移約束一絕對位移約束剛性支座（活動鉸支，固定

14、鉸支，固接支座） 固定位移彈性支座（線彈性制作，非線性支座） 可變位移強迫約束 指定位移 用載荷等效，裝配應(yīng)力+整體應(yīng)力二相對位移約束 （如兩接觸面）1.約束等式2.耦合約束（連接重合節(jié)點，模擬滑動邊界連接，施加周期對稱邊界條件）常見的位移約束問題處理約束不足的處理(1)利用對稱性引進約束（取1/n后，在對稱面上施加位移約束）(2)轉(zhuǎn)換載荷為位移約束（受平衡載荷作用，將一部分載荷用位移約束代替）(3)人為增加約束（約束點應(yīng)盡量遠離重要部位，約束點變形要相對?。┢渌?，桿離散為多個桿單元時，須在連接節(jié)點增加約束，只允許產(chǎn)生軸向位移。軸對稱結(jié)構(gòu)，施加軸向約束。過約束的處理有時需要施加過約束，有時需要

15、釋放過約束。17. 總體剛度矩陣組裝原則及總剛陣特點總體剛度矩陣組裝原則：1.在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)點處所有單元在該節(jié)點上有相同位移。2.整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個節(jié)點的所有單元作用其上的節(jié)點力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點上的節(jié)點載荷Ri?？倓傟囂攸c：除了具有單元剛陣的特點外，還有1.稀疏性，是指總剛矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零子塊只占一小部分。2.帶狀性，是指總剛矩陣中非零子塊集中在主對角線兩側(cè)，呈帶狀分布。（附，半帶寬B=（相關(guān)節(jié)點號最大差值+1）*節(jié)點自由度數(shù)）18. 固有頻率與特征向量（振型）定義及理解、振型特性動力方程廣義

16、特征值問題（K-2M）0=0特征方程K-2M=0的n個根稱為特征值，它們的平方根成為系統(tǒng)的固有頻率。由每個固有頻率r,求得的一組節(jié)點振幅不全為0的向量0(r)稱為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；一個特征值可對應(yīng)有多個特征向量，但一個特征向量只對應(yīng)一個特征值。振型的正交性，任意兩個特征值對應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。0sTM0s=0,rs二計算與證明1、 等效載荷計算2、 單元剛陣計算三節(jié)點等厚三角形單元，節(jié)點坐標分別為（xi,yi）,（xj,yj）,（xm,ym）求出bi=yj-ym,ci=xm-xjbj=ym-yi,cj=xx-xmbm=y

17、i-yj,cm=xj-xi求得應(yīng)變矩陣B=12Abi0bj0bm00ci0cj0cmcibicjbjcmbm對于平面應(yīng)力問題有，彈性矩陣D=E1-21010001-2則單元剛度矩陣Ke=BTDBtA對于下圖所示的直角等邊三角形單元，3、 總體剛度矩陣及載荷向量組裝，約束條件的引入、整體方程的求解（包括約束反力計算）1） 結(jié)構(gòu)中的節(jié)點編碼稱為節(jié)點的總碼，各個單元的三個節(jié)點又按逆時針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點的局部碼。在單元剛度矩陣中，把節(jié)點的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。得到擴大的單元剛度方程2）據(jù)節(jié)點力平衡，各個單元相應(yīng)節(jié)點力疊加=節(jié)點載荷：3）整理可得整體平衡方程：，

18、其中K為將各單元的擴大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣約束反力計算約束反力只有在由引入約束的整體方程求出所有節(jié)點位移分量以后，然后回代到?jīng)]有引入約束條件的整體方程的相應(yīng)方程中才能求出。4、 單元形函數(shù)特性及單元協(xié)調(diào)性證明5、 振型正交性證明 略三建模與結(jié)果分析1. 影響有限元分析精度和成本的因素影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函數(shù)誤差分析精度：A、單元階次B、單元數(shù)量C、劃分形狀規(guī)則的單元D、建立與實際相符的邊界條件E、減小模型規(guī)模F、避免出現(xiàn)“病態(tài)”方程組，當總剛矩陣元素中各行或各列的值相差較大時，則總剛近似奇異。2. 有限元模型的基本構(gòu)成（節(jié)點數(shù)據(jù)、單元數(shù)據(jù)、邊界條件等）節(jié)點數(shù)據(jù)：節(jié)

19、點編號、坐標值、坐標參考系代碼、位移參考系代碼、節(jié)點數(shù)量、單元編號單元數(shù)據(jù)：單元節(jié)點、編號單元、材料特性碼、單元物理特性值碼、單元截面特性、相關(guān)幾何數(shù)據(jù)邊界條件數(shù)據(jù)：位移約束數(shù)據(jù)、載荷條件數(shù)據(jù)、熱邊界條件數(shù)據(jù)、其他邊界條件數(shù)據(jù)3. 有限元建模的常用方法理解及應(yīng)用（如細節(jié)處理、分步計算、局部計算、子結(jié)構(gòu)法、對稱性簡化等）細節(jié)處理也稱為小特征處理，即刪除或抑制對結(jié)構(gòu)力學性能影響不大的細小結(jié)構(gòu)。分步計算，如果結(jié)構(gòu)的局部存在相對尺寸非常小的細節(jié)，且又不能進行細節(jié)處理，可采用分步計算來控制有限元模型的規(guī)模。局部處理就是從所建立的力學模型中抽取一部分出來進行分析，該部分通常是研究者最關(guān)心的的危險區(qū)域。子結(jié)

20、構(gòu)法是先將大型結(jié)構(gòu)分解為若干個結(jié)構(gòu)區(qū)域，每個區(qū)域作為一個子結(jié)構(gòu)。子結(jié)構(gòu)被進一步細分為單元，并人為地將子結(jié)構(gòu)上的節(jié)點劃分為邊界節(jié)點和內(nèi)部節(jié)點兩類.對稱性簡化，對稱性分為反射對稱和周期對稱（1）反射對稱，受對稱載荷作用則對稱面上的位移條件為垂直于對稱面的移動位移分量為零。繞平行于對稱面的兩相互垂直的軸的轉(zhuǎn)動位移分量均為零。（2）反射對稱，受反對稱載荷作用則對稱面上的位移條件為平行于對稱面的移動位移分量為零；繞方向矢量垂直于對稱面的軸的轉(zhuǎn)動位移分量為零。（3）對稱結(jié)構(gòu)受任意載荷作用（迭加原理）（4）周期對稱的位移條件，周期對稱邊界上的對應(yīng)點有相同的位移狀態(tài)4. 邊界約束條件的處理（見前）。5. 不同求解方案正確性或優(yōu)劣的判斷 略6. 單元類型選擇的一般原則選擇原則：同一問題所選單元應(yīng)使計算精度高、收斂速度快、計算量小。1、桿系結(jié)構(gòu)：a、鉸接連接時，選桿單元b、剛性連接時，選剛架單元2、平面結(jié)構(gòu)：a、外載平行于平面內(nèi)，選平面單元b、外載不在