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1、專轉(zhuǎn)本專題知識(shí)點(diǎn)-無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義1 設(shè)給定一個(gè)數(shù)列則和式 (11.1)稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù),簡(jiǎn)記為,即=其中,第項(xiàng)稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或者通項(xiàng)。式(11.1)的前項(xiàng)和稱為式(11.1)的前項(xiàng)部分和。當(dāng)依次取1,2,3,.時(shí),部分和構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列,數(shù)列也稱為部分和數(shù)列定義2 若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限S ,則稱級(jí)數(shù)收斂,稱S是級(jí)數(shù)的和,即 如果部分和數(shù)列沒(méi)有極限,則稱為級(jí)數(shù)發(fā)散數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)(1) 若級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)都收斂,它們的和分別為和,則級(jí)數(shù)也收斂,且其和為(2) 若級(jí)數(shù)收斂,且其和為S,則它的每一項(xiàng)都乘以一個(gè)不為零的常數(shù)k,所得到的級(jí)數(shù)也收斂,且其和為kS(3) 在一個(gè)級(jí)數(shù)前面加上(或去
2、掉)有限項(xiàng),級(jí)數(shù)的斂散性不變(4) 若級(jí)數(shù)收斂,則將這個(gè)級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后,所成的級(jí)數(shù)也收斂,且與原級(jí)數(shù)有相同的和(5) (級(jí)數(shù)收斂的必要條件)若級(jí)數(shù)收斂,則綜上所述,幾何級(jí)數(shù)的斂散性 調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性 發(fā)散數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性研究對(duì)象:正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù):若級(jí)數(shù)=滿足條件,則稱此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列有界定理2 (比較判別法)若級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),且,那么:(1) 若級(jí)數(shù)收斂時(shí),級(jí)數(shù)也收斂(2) 若級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)也發(fā)散那么的斂散性是定理3(達(dá)朗貝爾比值判別法)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)()滿足條件 則(1) 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂(2) 當(dāng)時(shí)
3、,級(jí)數(shù)發(fā)撒(3) 當(dāng)時(shí),無(wú)法判斷此級(jí)數(shù)的斂散性2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)()稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)定理4(萊布尼茲判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)()滿足下列條件(1)(2)則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,其和其余項(xiàng)的絕對(duì)值3 絕對(duì)收斂和條件收斂若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù),則稱級(jí)數(shù)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)定義 如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)收斂,則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;如果發(fā)散,而收斂,則稱級(jí)數(shù)條件收斂定理5 如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù)必收斂定理6 如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足條件 (1)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂(2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)撒冪級(jí)數(shù)定義1 如果是定義在某個(gè)區(qū)間I上的函數(shù),則稱函數(shù) (11.4)為區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義2 形如(11.5)的級(jí)數(shù)稱為的冪級(jí)數(shù),其中均為常數(shù)
4、,稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)(11.6)稱為x的冪級(jí)數(shù)定義 3 對(duì)于形如式(11.6)的冪級(jí)數(shù)若設(shè),則 根據(jù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法可知:(1) 當(dāng)時(shí),若,即,式(11.6)絕對(duì)收斂若,即,式(11.6)發(fā)散若,即,則比值判別法失效,式(11.6)可能收斂也可能發(fā)散(2) 當(dāng),由于,式(11.6)對(duì)任何x都收斂稱為冪級(jí)數(shù)式(11.6)的收斂半徑定理1 如果冪級(jí)數(shù) 的系數(shù)滿足條件,則(1) 當(dāng)時(shí),(2) 當(dāng)時(shí),(3) 當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別是與(與均不為0),它們的和函數(shù)分別為與1. (加法與減法運(yùn)算) 所得的冪級(jí)數(shù)仍收斂,且收斂半徑是與中較小的一個(gè)2. (乘法運(yùn)算)兩冪級(jí)數(shù)相乘所得的冪級(jí)數(shù)仍收斂,且收斂半徑是與中較小的一個(gè)3. (微分運(yùn)算)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R,則在(-R,R)內(nèi)和函數(shù)S(x)可導(dǎo),且有 且求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R4. (積分運(yùn)算)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R,則和函數(shù)S(x)在該區(qū)間內(nèi)可積,且有且求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)仍收斂,且收斂半徑仍為R函數(shù)展成
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