李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

1、第六章 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 在反饋控制系統(tǒng)的分析設(shè)計中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是首先需要考慮的問題之一。因為它關(guān)系到系統(tǒng)是否能正常工作。經(jīng)典控制理論中已經(jīng)建立了勞斯判據(jù)、Huiwitz穩(wěn)定判據(jù)、Nquist判據(jù)、對數(shù)判據(jù)、根軌跡判據(jù)等來判斷線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但不適用于非線性和時變系統(tǒng)。分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性及自振的描述函數(shù)法，則要求系統(tǒng)的線性部分具有良好的濾除諧波的性能；而相平面法則只適合于一階、二階非線性系統(tǒng)。1892年俄國學(xué)者李雅普諾夫（Lyapunov）提出的穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般的理論，它采用狀態(tài)向量來描述，不僅適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)，還適用于多變量、非線性、時變系統(tǒng)。 &

2、#167;6-1 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有輸入輸出描述（即外部描述）和狀態(tài)空間描述（即內(nèi)部描述），相應(yīng)的穩(wěn)定性便分為外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性。一、外部穩(wěn)定性1、定義（外部穩(wěn)定性）： 若系統(tǒng)對所有有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)的輸出是有界的，則稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。(外部穩(wěn)定性也稱為BIBO（Bounded Input Bounded Output）穩(wěn)定性)說明：（1） 所謂有界是指如果一個函數(shù)，在時間區(qū)間中，它的幅值不會增至無窮，即存在一個實常數(shù)，使得對于所有的，恒有成立。（2） 所謂零狀態(tài)響應(yīng)，是指零初始狀態(tài)時非零輸入引起的響應(yīng)。2、系統(tǒng)外部穩(wěn)定性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

3、 當(dāng)且僅當(dāng)極點都在s的左半平面內(nèi)時，系統(tǒng)才是外部穩(wěn)定（或BIBO穩(wěn)定）的。【例6.1.1】已知受控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為 ， 試分析系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)為SISO系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為 由于傳遞函數(shù)的極點位于s左平面，故系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。二、內(nèi)部穩(wěn)定性對于線性定常系統(tǒng)，如果外部輸入，初始條件為任意，且由引起的零輸入響應(yīng)為滿足則稱系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。說明：線性定常系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定與經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性一致。【例6.1.】已知受控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為 ， 試分析系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其特征方程為：于是系統(tǒng)的特征值為，故系統(tǒng)不是內(nèi)部穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）的。三、內(nèi)

4、部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性的關(guān)系、若系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）的，則一定是外部穩(wěn)定（BIBO穩(wěn)定）的。2、若系統(tǒng)是外部穩(wěn)定（BIBO穩(wěn)定）的，且又是可控可觀測的，則系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）的。此時內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定是等價的。§6-2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本概念一、自治系統(tǒng)沒有外界輸入作用的系統(tǒng)叫自治系統(tǒng)。自治系統(tǒng)可用如下的顯含時間的狀態(tài)方程來描述 ， ， (6-1)其中為維狀態(tài)向量。為線性或非線性、定常或時變的維向量函數(shù)。假定方程的解為，式中和分別為初始狀態(tài)向量和初始時刻，那么初始條件必滿足。 如果系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，則(6-1)方程中的為的線性向量函數(shù)，或按習(xí)慣表示為： ， ， (6-2)

5、二、平衡狀態(tài)設(shè)控制系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為： ， ，對于所有，如果存在某個狀態(tài)，滿足： 則稱為系統(tǒng)的一個平衡點或平衡狀態(tài)。 平衡狀態(tài)的各分量相對時間不再發(fā)生變化。若已知系統(tǒng)狀態(tài)方程，令所求得的解，便是平衡狀態(tài)。在大多數(shù)情況下，（狀態(tài)空間原點）為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。當(dāng)然，系統(tǒng)也可以有非零平衡狀態(tài)。如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間中表現(xiàn)為彼此分隔的孤立點，則稱其為孤立平衡狀態(tài)。對于孤立平衡狀態(tài)，總是可以通過移動坐標(biāo)系而將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間的原點，所以在下面的討論中，假定原點即為平衡狀態(tài)。所謂系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運動，能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到平衡狀態(tài)

6、，或者限制在平衡狀態(tài)的附近。線性定常系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)滿足，只要A非奇異，系統(tǒng)只有唯一的零解，即存在一個位于狀態(tài)空間原點的平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣時，有無數(shù)解，也就是系統(tǒng)有無數(shù)個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，的解可能有多個，由系統(tǒng)狀態(tài)方程決定。三、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)為球心、半徑為的閉球域內(nèi)，即 若能使系統(tǒng)方程的解在的過程中，都位于以為球心、任意規(guī)定的半徑為的閉球域內(nèi)，即 則稱該是穩(wěn)定的，通常稱為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。以二維系統(tǒng)為例，上述定義的平面幾何表示如圖6-1所示。- 初始狀態(tài)- 平衡狀態(tài)圖6-1 二維空間李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性的幾何解釋示意圖 式中稱為向

7、量的范數(shù)，其幾何意義是空間距離的尺度。如表示狀態(tài)空間中至點之間的距離的尺度，其數(shù)學(xué)表達式為 在上述穩(wěn)定性的定義中，如果只依賴于而和初始時刻的選取無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。對于定常系統(tǒng)，的穩(wěn)定等價于一致穩(wěn)定。但對于時變系統(tǒng)，的穩(wěn)定并不意味著其為一致穩(wěn)定。 要注意到，按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運動時，將在平面描繪出一條封閉曲線，但只要不超過，則認為穩(wěn)定，這同經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義是有差異的。四、漸近穩(wěn)定設(shè)是系統(tǒng)， ，的一個孤立平衡狀態(tài)，如果（1）是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的；- 初始狀態(tài)- 平衡狀態(tài)圖6-2 二維空間漸近穩(wěn)定性的幾何解釋示意圖（2）則稱此

8、平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 實際上，漸近穩(wěn)定即為工程意義下的穩(wěn)定，也就是經(jīng)典控制理論中所討論的穩(wěn)定性。當(dāng)與無關(guān)時，稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。五、大范圍（全局）漸近穩(wěn)定當(dāng)初始條件擴展到整個狀態(tài)空間，且具有漸近穩(wěn)定性時，稱此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 對于嚴格線性系統(tǒng)，如果它是漸近穩(wěn)定的，必具有大范圍漸近穩(wěn)定性，這是因為線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān)。一般非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件的大小密切相關(guān)，其總是有限的，故通常只能在小范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。當(dāng)與無關(guān)時，稱平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定。六、不穩(wěn)定 不管把域取得多么小，也不管把域取得如何的大，只要在內(nèi)存在一個非零初始狀態(tài)，使得有出發(fā)的運動軌跡超出

9、域以外，則稱平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，只說明存在局部發(fā)散的軌跡，至于是否趨于無窮遠，要看域外是否存在其它平衡狀態(tài)，若存在，如有極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 下面介紹李雅普諾夫理論中判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。§6-3 李雅普諾夫穩(wěn)定性判別方法 一、李雅普諾夫第一法（間接法） 這是利用狀態(tài)方程解的特性來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線性定常、線性時變以及非線性函數(shù)可線性化的情況。由于本章主要研究線性定常系統(tǒng)，所以在此僅介紹線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)。線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)：對于線性定常系統(tǒng)，有 （1）系統(tǒng)的平衡狀

10、態(tài)是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件是，的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為的最小多項式的單根。 （2）系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，的所有特征值均具有負實部。二、李雅普諾夫第二法（直接法） 根據(jù)古典力學(xué)中的振動現(xiàn)象，若系統(tǒng)能量（含動能與位能）隨時間推移而衰減，系統(tǒng)遲早回到達平衡狀態(tài)，但要找到實際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達式并非易事。李雅普諾夫提出，可虛構(gòu)一個能量函數(shù)（后來被稱為李雅普諾夫函數(shù)），一般它與及有關(guān)，記為。若不顯含，則記為。它是一個標(biāo)量函數(shù)，考慮到能量函數(shù)總是大于零，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用或表示。李雅普諾夫第二法利用及的符號特征，直接對平衡

11、狀態(tài)穩(wěn)定性作出判斷，無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故稱直接法。用此方法解決了一些用其它穩(wěn)定性判據(jù)難以解決的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，遺憾的是對一般非線性系統(tǒng)仍未形成構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法。對于線性系統(tǒng)，通常用二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)。1、標(biāo)量函數(shù)符號性質(zhì)的幾個定義（1）正定性- 初始狀態(tài)圖6-3 二維空間不穩(wěn)定的幾何解釋示意圖 標(biāo)量函數(shù)在域中對所有非零狀態(tài)（）有且，則稱在域內(nèi)正定。如是正定的。（2）負定性 標(biāo)量函數(shù)在域中對所有非零狀態(tài)（）有且，則稱在域內(nèi)負定。如是正定的。（3）正半定性 ，且標(biāo)量函數(shù)在域內(nèi)某些非零狀態(tài)處有，而在其它非零狀態(tài)處有且，則稱在域內(nèi)正半定。如，當(dāng)時有；當(dāng)時有，故為正

12、半定。（4）負半定性 ，且標(biāo)量函數(shù)在域內(nèi)某些狀態(tài)處有，而在其它狀態(tài)處有且，則稱在域內(nèi)負半定。如是負半定的。（5）不定性 標(biāo)量函數(shù)在域內(nèi)可正可負，則稱不定。如是不定的。2、標(biāo)量函數(shù)取二次型時的符號 式中為對稱矩陣，有。顯然滿足。當(dāng)陣的每一個元都為實數(shù)時，稱作實二次型。 實二次型是正定的充要條件是矩陣的各順序主子行列式均大于零（賽爾維斯特準(zhǔn)則），即 ，則正定，且稱為正定矩陣。 當(dāng)矩陣的各順序主子行列式負、正相間時，即 ，則負定，且稱為負定矩陣。 若矩陣的各順序主子行列式含有等于零的情況，則為正半定或負半定。不屬于以上所有情況的，為不定。【例6.3.1】證明下列的二次型是正定的 證明：上式用矩陣形式

13、表示為 由于 所以，是正定的。3、李雅普諾夫第二法定理1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 如果存在一個標(biāo)量函數(shù)，它有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，而且滿足：（1）是正定的；（2）是負定的，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。【例6.3.2】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 試分析系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定的。解：令及，解得，故原點為平衡狀態(tài)，且只有一個平衡狀態(tài)。 設(shè)，則顯然，對于存在以及，故是負定的。又由于是正定的，所以該系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的。因為只有一個平衡狀態(tài)，故該系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。【例6.3.4】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 試分析系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定的。解：這個系統(tǒng)的平衡點是。（1）先猜想一

14、個能代表系統(tǒng)能量的正定函數(shù)則：由原狀態(tài)方程知：，代入上式得它是不定的，因而無法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）重新構(gòu)造正定函數(shù)：因此：它是負半定的。但是因為不恒為零，所以可知該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。是李亞普諾夫函數(shù)。（3）再取函數(shù)因此：是負定的。且：，故是大范圍漸近穩(wěn)定。從上述例子可以看出，找到一個系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)證明系統(tǒng)是穩(wěn)定時，則系統(tǒng)必定是穩(wěn)定的；反之，如果用李亞普諾夫第二法不能判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定時，并不能得出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。4.3 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常系統(tǒng)可以應(yīng)用各種方法，諸如勞斯霍爾維茨，奈奎斯特法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李亞普諾夫直接法也提供了一種穩(wěn)定性判據(jù)的方法。在上一節(jié)的例4-3中，

15、我們用猜想和試探、驗證的方法來找李亞普諾夫函數(shù)，這是很費時的，對于高階的系統(tǒng)尤其費時，有時甚至是困難的。在本節(jié)中，采用二次型函數(shù)來判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，這種方法較為簡捷，并且還可以利用這種方法作為基礎(chǔ)來解參數(shù)最優(yōu)問題以及某些控制系統(tǒng)的設(shè)計問題。設(shè)線性定常系統(tǒng)為 (4-18)式中x是n維狀態(tài)向量。如果采用二次型函數(shù)作為李亞普諾夫函數(shù)，即 （4-19）式中 P是正定的實對稱矩陣。那么對上式求導(dǎo)得 （4-20）將式（4-18）代入（4-20）式得 （4-21）令 （4-22）代入式（4-21）得 （4-23）從上式可以看出，為了判定是否負定，只需要判定Q是否正定。因此，判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性可如下進行：選定一個正定實對稱矩陣P，按式（4-22）計算Q，如果Q是正定的，則式（4-19）所表達的李亞普諾夫函數(shù)證明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。實際應(yīng)用這個方法時，常不是先假定P，