新建模過(guò)程與幾何相似性建模講義版概況

1、第1講 建模過(guò)程與幾何相似性建模1、數(shù)學(xué)模型1.1 數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程為了解數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，考慮圖1所示的兩個(gè)世界。假設(shè)我們要了解現(xiàn)實(shí)世界中的某些行為和現(xiàn)象，以便對(duì)該行為的未來(lái)作出預(yù)測(cè)并分析各種情境對(duì)該行為的影響?，F(xiàn)實(shí)世界 數(shù)學(xué)世界模型數(shù)學(xué)運(yùn)算及法則數(shù)學(xué)結(jié)論系統(tǒng)觀察到的行為或現(xiàn)象 圖1 現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界例如，當(dāng)研究?jī)蓚€(gè)相互作用的物種的種群量時(shí)，我們需要知道在它們的環(huán)境中物種能否共存，或者是一個(gè)物種最終占支配地位而迫使另一個(gè)物種滅絕；在用藥管理中，要知道正確的劑量以及保持在血液中藥物的安全與有效水平的劑量之間的時(shí)間。怎樣構(gòu)建數(shù)學(xué)世界中的數(shù)學(xué)模型并利用數(shù)學(xué)模型幫助我們更好地了解現(xiàn)實(shí)世界中的系統(tǒng)呢

2、？在討論怎樣把兩個(gè)世界聯(lián)系起來(lái)之前，先考慮什么是現(xiàn)實(shí)世界中的系統(tǒng)以及我們?yōu)槭裁磳?duì)構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型感興趣。一個(gè)系統(tǒng)就是由一些有規(guī)律的相互作用或內(nèi)在的依賴關(guān)系聯(lián)結(jié)在一起的對(duì)象的集合體。建模者希望了解一個(gè)特定的系統(tǒng)是怎樣工作的，是什么造成了系統(tǒng)的變化以及系統(tǒng)對(duì)某些變化有多敏感。建模者還希望預(yù)測(cè)系統(tǒng)會(huì)發(fā)生什么樣的變化以及何時(shí)發(fā)生變化。怎樣獲取這些信息呢？例如，假定目標(biāo)是要從現(xiàn)實(shí)世界所觀察到的現(xiàn)象中得出結(jié)論。一種方法就是對(duì)某些實(shí)際行為做試驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)，然后觀察它們對(duì)實(shí)際行為的影響。如圖2所示。實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)實(shí)際行為模型模型 觀察 簡(jiǎn)化 簡(jiǎn)化 試驗(yàn) 分析 驗(yàn)證 分析實(shí)際的預(yù)測(cè)或解釋現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論數(shù)學(xué)的結(jié)論數(shù)

3、學(xué)的結(jié)論 解釋 解釋 闡明 圖2 獲取有關(guān)系統(tǒng)的行為結(jié)論 圖3 作為封閉系統(tǒng)的建模過(guò)程盡管這種過(guò)程可能降低由不那么直接的方法所引起的保真性的喪式，但是某些情況下我們不希望遵循這種過(guò)程。例如，在諸如決定藥物的致命溶度水平或者研究核電廠故障對(duì)附近人口密集地區(qū)的輻射影響時(shí)，即使是單個(gè)試驗(yàn)的成本也可能高得令人不敢問(wèn)津。或者，研究有人操縱的宇宙飛船的熱屏蔽不同設(shè)計(jì)的時(shí)，我們甚至可能不愿意接受單次試驗(yàn)的失敗。此外，在研究電離層組成的特殊的變化及其對(duì)極地冰帽相應(yīng)的影響時(shí)，甚至不可能做實(shí)驗(yàn)。對(duì)圖2的考察提示獲取有關(guān)現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論的另一種方法，首先對(duì)所研究的行為做特定的觀察并識(shí)別看來(lái)是有關(guān)聯(lián)的因素。通常不可能考

4、慮，或者甚至是識(shí)別行為所有有關(guān)聯(lián)的因素，所以做出消去某些因素的假設(shè)。例如，當(dāng)研究來(lái)自核電廠故障造成的輻射影響時(shí)，至少開始時(shí)可以選擇忽略濕度。其次，猜測(cè)所選擇的因素之間的一些暫時(shí)的關(guān)系，從而創(chuàng)建一個(gè)有關(guān)該行為的粗略的模型。有了所建立的模型，應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)分析來(lái)導(dǎo)出有關(guān)該模型的結(jié)論。注意這些結(jié)論只屬于該模型，而不屬于所研究的真正的實(shí)際系統(tǒng)?？紤]到在構(gòu)建模型時(shí)做了某些簡(jiǎn)化以及基于該模型的觀察誤差和局限總是會(huì)有的，因此，在做出有關(guān)實(shí)際行為的任何推斷之前，必須仔細(xì)考慮這些異常。綜上所述，就得到如下粗略的建模步驟：（1）通過(guò)觀察，識(shí)別有關(guān)實(shí)際行為的主要因素，可能要做些簡(jiǎn)化；（2）猜測(cè)因素之間的暫時(shí)的關(guān)系；

5、（3）將數(shù)學(xué)分析用于所得到的模型；（4）借助實(shí)際問(wèn)題來(lái)解釋數(shù)學(xué)結(jié)論。1.2 數(shù)學(xué)模型的概念與性質(zhì)數(shù)學(xué)模型是為了研究特定的實(shí)際系統(tǒng)或現(xiàn)象而設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，包括圖示、符號(hào)模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)等。數(shù)學(xué)模型可以進(jìn)以步加以區(qū)分。有些現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型與某個(gè)特定的實(shí)際現(xiàn)象是一致的，從而可以用來(lái)研究該現(xiàn)象。有些數(shù)學(xué)模型是專門來(lái)構(gòu)建并研究一種特定的現(xiàn)象的。圖4說(shuō)明了模型之間的這種區(qū)分。從某個(gè)實(shí)際現(xiàn)象出發(fā)，可以通過(guò)構(gòu)建一個(gè)新的模型或選擇一個(gè)現(xiàn)有的模型數(shù)學(xué)地表示該現(xiàn)象。另一方面，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)或模擬來(lái)重復(fù)該現(xiàn)象。圖4 模型的類型行為重復(fù)有直接重復(fù)與間接重復(fù)之分。直接重復(fù)就是通過(guò)做各種實(shí)驗(yàn)性的實(shí)驗(yàn)來(lái)直接地重復(fù)該行為。從這些試驗(yàn)

6、中收集數(shù)據(jù)并以某種方式分析數(shù)據(jù)（如統(tǒng)計(jì)的方法、曲線擬合的方法等），從而得出某些結(jié)論。例如，預(yù)測(cè)種群的相互作用、資源的利用以及污染的全局影響等。間接重復(fù)就是試圖間接地重復(fù)該行為，可以利用諸如對(duì)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行建模的電流模擬器、風(fēng)洞中縮小了尺寸的超因素飛機(jī)模型那樣的縮微模型，或者試圖利用計(jì)算機(jī)重復(fù)一種行為，例如計(jì)算機(jī)模擬種群的相互作用、資源的利用以及污染的全局影響或早上高峰期電梯系統(tǒng)的運(yùn)行等。圖4所示的各種模型之間的區(qū)別只是為了易于討論而做的，現(xiàn)實(shí)中一個(gè)主要的模型可以從現(xiàn)有的模型、模擬和實(shí)驗(yàn)中選取若干模型作為子模型。通過(guò)對(duì)比這些類型的模型并比較它們描繪現(xiàn)實(shí)世界的各種能力可以提供有益的信息。模型具有以下

7、性質(zhì)：（1）保真性：模型表示現(xiàn)實(shí)的精確性。為了證明最大的保真性，我們會(huì)期望來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界的直接觀察，即使會(huì)產(chǎn)生某種檢驗(yàn)的偏差和測(cè)量的誤差。我們會(huì)期望實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ途哂袃H次于現(xiàn)實(shí)的保真性，因?yàn)樾袨槭窃谥T如實(shí)驗(yàn)室那樣得到更好控制的環(huán)境下直接觀察到的。由于模擬融入了間接的觀察，所以進(jìn)一步失去了保真性。只要構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型、簡(jiǎn)化了現(xiàn)實(shí)世界的條件，結(jié)果就會(huì)失去更多的保真性。最后，任何選擇的模型都是基于附加的簡(jiǎn)化，而這些簡(jiǎn)化甚至不適合特定的問(wèn)題，從而意味著還會(huì)進(jìn)一步失去保真性?？梢?jiàn)保真性的次序如下：實(shí)際觀察實(shí)驗(yàn)?zāi)M構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型選擇的數(shù)學(xué)模型。（2）成 本：建模過(guò)程的總費(fèi)用。一般地，我們期望所選擇的模型成本最小。構(gòu)

8、建數(shù)學(xué)模型要簡(jiǎn)化所研究的現(xiàn)象，就要承擔(dān)相應(yīng)的附加費(fèi)用。實(shí)驗(yàn)的確立和操作通常是昂貴的。模擬要用到研制起來(lái)十分昂貴的間接設(shè)備，而且要包括大量的計(jì)算機(jī)空間、時(shí)間和維護(hù)費(fèi)用。可見(jiàn)成本的次序如下：實(shí)際觀察模擬實(shí)驗(yàn)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型選擇的數(shù)學(xué)模型。（3）靈活性：當(dāng)收集到了所需要的數(shù)據(jù)時(shí)，改變和控制影響該模型的諸多條件的能力。構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型通常是最靈活的，因?yàn)榭梢韵鄬?duì)容易地選擇的建設(shè)和條件；選擇的模型是不那么靈活的，因?yàn)樗鼈兪窃谔囟ǖ臈l件下研制的。不過(guò)，特定的條件常常可以在廣泛的范圍內(nèi)變化。為了略微改變假設(shè)和條件，模擬通常需要研發(fā)一些另外的設(shè)備。實(shí)驗(yàn)就更不靈活了，因?yàn)槟承┮蛩卦诔^(guò)特定條件時(shí)是很難控制的?？梢?jiàn)靈

9、活性的次序如下：構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型選擇的數(shù)學(xué)模型模擬實(shí)驗(yàn)實(shí)際觀察。1.3 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，一般有如下幾個(gè)步驟：（1）甄別問(wèn)題 這一步通常是困難的，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中，沒(méi)有人會(huì)只是簡(jiǎn)單地給你一個(gè)有待解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。通常你必須從大量的數(shù)據(jù)中搜索和甄別所研究問(wèn)題的某些特定的方面。此外，考慮到要把描述問(wèn)題的口頭陳述翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)表示，因此在闡明問(wèn)題時(shí)要足夠精確，重要的是要認(rèn)識(shí)到對(duì)問(wèn)題的回答可能不會(huì)直接導(dǎo)致合用的問(wèn)題識(shí)別。（2）做出假設(shè) 一般來(lái)說(shuō)，不能指望在一個(gè)合用的數(shù)學(xué)模型中抓住影響問(wèn)題識(shí)別的所有因素。關(guān)鍵是通過(guò)減少所考慮的因素的數(shù)目來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)化。因此，必須確定余下的變量之間的關(guān)系。再次是通過(guò)

10、假設(shè)相對(duì)簡(jiǎn)單的關(guān)系，就能夠降低問(wèn)題的復(fù)雜性。因此做出假設(shè)主要有兩方面：(a) 變量分類：是什么影響到（1）所識(shí)別的問(wèn)題的行為？把他們作為變量列出來(lái)。模型要解釋的因變量（可能有多個(gè)），剩下的變量中一部分是自變量。每個(gè)列出的量被分為因變量、自變量或兩者都不是。有兩個(gè)理由可以忽略某些變量。首先，相對(duì)于與該行為有關(guān)的其他因素，這個(gè)變量的影響可能較小。其次，以幾乎相同的方式影響各種選擇的因素可能可以忽略，即使這個(gè)因素對(duì)所研究的問(wèn)題有很重要的影響。例如，考慮確定演講廳最佳形狀的問(wèn)題，其中黑板或投影儀的易讀性是支配準(zhǔn)則。照明肯定是關(guān)鍵因素，但可能會(huì)以幾乎同樣的方式影響所有可能的形狀。通過(guò)忽略這種在以后可能會(huì)

11、融合進(jìn)一個(gè)分開的、改進(jìn)的模型中的因素，分析就可能大大簡(jiǎn)化。(b) 確定研究中的所選擇的變量之間的相互關(guān)系：在能夠假設(shè)變量之間的關(guān)系之前，一般必須做出某些進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。問(wèn)題可能十分復(fù)雜，以至于看不出一開始確定的所有變量之間的關(guān)系。在這種情況下，可能要研究子模型，即分別研究自變量中的一個(gè)或幾個(gè)。最后再把子模型合在一起。（3） 求解或解釋模型 把所有的子模型合在一起看看該模型告訴我們什么。在某些情況，模型可能包含為得到我們正在尋求的信息，必須要求解的數(shù)學(xué)方程或不等式。問(wèn)題的陳述常常要求模型的最好的或最優(yōu)的解。常常會(huì)發(fā)現(xiàn)，為完成這一步我們的準(zhǔn)備是很不夠的，或者可能會(huì)得到一個(gè)不會(huì)求解或不會(huì)解釋的難于處理

12、的問(wèn)題。碰到這種情況，我們也許應(yīng)該回到（2）并做出另外的簡(jiǎn)化假設(shè)，有時(shí)甚至要回到（1）去重新定義問(wèn)題。（4）驗(yàn)證模型 在能夠利用模型之前，必須檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｔ谠O(shè)計(jì)檢驗(yàn)和收集數(shù)據(jù)之前，要先問(wèn)幾個(gè)問(wèn)題。首先，該模型是否回答了（1）中甄別的問(wèn)題，或者是否偏離了我們構(gòu)建該模型的關(guān)鍵問(wèn)題？其次，該模型有實(shí)用價(jià)值嗎？既我們確實(shí)能收集必要的數(shù)據(jù)來(lái)運(yùn)作模型嗎？第三，模型有普遍意義嗎？一旦通過(guò)了這種常識(shí)性的檢驗(yàn)，就要利用由經(jīng)驗(yàn)觀察得到的實(shí)際數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。要?jǐn)小慎微地以如下方式來(lái)設(shè)計(jì)檢驗(yàn)，即在實(shí)際應(yīng)用模型時(shí)預(yù)期會(huì)碰到的各個(gè)自變量的取值范圍內(nèi)觀察結(jié)果。在（2）中所做的假設(shè)在一個(gè)限定的自變量的范圍之內(nèi)是合理的，但對(duì)這個(gè)

13、范圍之外的值卻是很不合理的。例如，牛頓第二定律的常用解釋為“作用在物體上的力等于物體的質(zhì)量乘以物體的加速度”，直到物體的速度趨于光速之前這個(gè)定律都是合理的模型。從任何檢驗(yàn)中得出的結(jié)論都要小心。正如不能簡(jiǎn)單地用支持定理的許多特殊情形來(lái)證明定理一樣，也不能根據(jù)模型收集到的特殊的證據(jù)來(lái)推出廣泛的一般結(jié)論。一個(gè)模型不能成為一條定律，就是因?yàn)槎墒窃谝恍┨囟ǖ那樾蜗轮貜?fù)得到驗(yàn)證的，而模型的合理性要通過(guò)收集到的數(shù)據(jù)來(lái)證實(shí)。（5）實(shí)施模型 首先要用決策者和用戶能懂的術(shù)語(yǔ)來(lái)解釋模型是否對(duì)他們有用。其次模型要處于用戶看來(lái)是好的狀態(tài)，如經(jīng)濟(jì)實(shí)用。最后也要包括推進(jìn)模型運(yùn)作所必須的數(shù)據(jù)。（6）維修模型 注意模型是從（

14、1）甄別的特定的問(wèn)題和（2）中所做的假設(shè)推出來(lái)的。原先的問(wèn)題會(huì)有變化嗎？某些先前忽略的因素會(huì)變得重要嗎？子模型需要修改嗎？如果回答是，就可能要對(duì)模型進(jìn)行修改。1.4 構(gòu)建模型的迭代性構(gòu)建模型是一個(gè)迭代的過(guò)程。從考察一些系統(tǒng)和甄別我們希望預(yù)測(cè)或解釋的特定行為開始，再識(shí)別變量和簡(jiǎn)化假設(shè)，到最后生成一個(gè)模型，一般是從一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的模型開始，再根據(jù)我們確認(rèn)過(guò)程所指示的結(jié)果來(lái)修改模型。如果我們不能提出一個(gè)新的模型或求解我們已有的模型，就必須簡(jiǎn)化模型。這是通過(guò)把某些變量當(dāng)作常量處理、忽略或者集成某些變量、在子模型中假設(shè)簡(jiǎn)單的關(guān)系或者進(jìn)一步限制所研究的問(wèn)題來(lái)完成的。另一方面，如果結(jié)果不夠精確，就必須改進(jìn)模型

15、。改進(jìn)一般與簡(jiǎn)化相反。它是通過(guò)引進(jìn)額外的變量、假設(shè)變量之間的更為復(fù)雜的關(guān)系或者擴(kuò)展問(wèn)題的范圍來(lái)完成的。通過(guò)簡(jiǎn)化和改進(jìn)，我們確定了模型的一般性、現(xiàn)實(shí)性和精確性。不能過(guò)分強(qiáng)調(diào)這種過(guò)程，但是這種過(guò)程構(gòu)成了建模的藝術(shù)。 表1 數(shù)學(xué)建模的藝術(shù)：根據(jù)需要簡(jiǎn)化或改進(jìn)模型 模型簡(jiǎn)化 模型改進(jìn) 1 限制問(wèn)題的識(shí)別 1 擴(kuò)展問(wèn)題2 忽略一些變量 2 考慮額外的變量3 若干變量合并的效果 3 仔細(xì)考慮每個(gè)變量4 令某些變量為常數(shù) 4 允許某些量的變化5 假設(shè)簡(jiǎn)單的（線性）關(guān)系 5 考慮非線性關(guān)系6 融入更多的假設(shè) 6 減少假設(shè)的數(shù)量 2、利用比例性建模定義 與成正比例（反比例），記作（）存在常數(shù)，使得（）。性質(zhì) （

16、1）反身性 ；（2）對(duì)稱性 ；（3）傳遞性 ，。幾何意義 由比例的定義可知，因此定義了平面上一條通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且傾角的直線。因此，并非所有的直線都表示正比例關(guān)系：軸上的截距為零且傾角。當(dāng)應(yīng)用比例模型時(shí)，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。例如，假設(shè)我們有興趣預(yù)測(cè)已載貨物船只的排水量。因?yàn)楦◇w排出的水量等于排出的水量，所以可以試著假設(shè)排出的總水量與已裝貨物的重量成正比?？墒?，因?yàn)槲囱b貨物的船只早已排出了相當(dāng)于它自身重的水量，所以這個(gè)假設(shè)是有缺陷的。盡管排出的總水量對(duì)已裝貨物的重量是一條直線，但它不是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線，所以比例性不正確。比例性模型實(shí)際關(guān)系a）實(shí)際關(guān)系b） 圖5 比例性作為一種簡(jiǎn)化

17、的假設(shè)實(shí)際上，這個(gè)比例關(guān)系可能是一個(gè)依賴于軸上的截距的大小以及直線的斜率的合理的簡(jiǎn)化假設(shè)。因?yàn)閷?duì)較小的來(lái)說(shuō)，它還可能在自變量的定義域之內(nèi)，但相對(duì)誤差更大，如圖5所示。如果斜率幾乎為零，那么比例性可能是一個(gè)很差的假設(shè)，因?yàn)榕c初始的排水量相比，載貨重量的影響顯得小了。另一方面，如果初始的排水量比較小而斜率很大，那么初始的排水量的影響很快就會(huì)變小，從而比例性就是一個(gè)好的簡(jiǎn)化假設(shè)。 表2 著名的比例性 虎克定律：，其中是恢復(fù)力，是被拉長(zhǎng)或壓縮弦的距離。 牛頓定律：或，其中是作用力，是加速度，是物體的質(zhì)量。 歐姆定律：，其中是電流，是電壓，是導(dǎo)線的電阻。 波義耳定律：，其中氣體的體積，是壓力，是反比例系

18、數(shù)。 愛(ài)因斯坦的相對(duì)論：，其中是光速，是能量，是物體的質(zhì)量。 開普勒第三定律：T=CR3/2，其中T是周期（天），R是行星到太陽(yáng)的平均距離。 例1 開普勒第三定律1601年，德國(guó)天文學(xué)家開普勒成為布拉格天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)。開普勒曾經(jīng)幫助第谷收集了13年的有關(guān)火星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀察資料。到1609年，開普勒已經(jīng)形成了他的頭兩條定律：（1）每個(gè)行星都沿條橢圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處。（2）對(duì)每個(gè)行星來(lái)說(shuō)，在相等的時(shí)間里，該行星和太陽(yáng)的聯(lián)線掃過(guò)相等的面積。開普勒花了許多年來(lái)驗(yàn)證并形成了表2中的第三定律，它建立了軌道周期與從太陽(yáng)到行星的平均距離之間的關(guān)系。表3中的數(shù)據(jù)來(lái)自1993年的世界年鑒。 表3

19、 軌道周期與太陽(yáng)到行星的平均距離 行星 周期（天數(shù)） 平均距離（百萬(wàn)英里）水星 88.0 36金星 224.7 67.25地球 365.3 93火星 687.0 141.75木星 4331.8 483.80土星 10760.0 887.97天王星 30684.0 1764.50海王星 60188.3 2791.05冥王星 90466.8 3653.90 圖6畫出了周期對(duì)平均距離的3/2次方的圖形。該圖形近似于一條通過(guò)原點(diǎn)的直線。任取過(guò)原點(diǎn)的這條直線上的兩點(diǎn)，很容易地估計(jì)其斜率（比例常數(shù)）：斜率=（90466.8-88）/（220869.1-216）0.410，估計(jì)其模型為。 圖6 作為比例性的

20、kepler第三定律3、利用幾何相似性建模 3.1 幾何相似性的概念 幾何相似性是一個(gè)與比例性有關(guān)的概念，而且有助于簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。定義 如果兩個(gè)物體各點(diǎn)之間存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng),使得對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離之比對(duì)所有可能的點(diǎn)對(duì)都不變（等于一個(gè)常數(shù)），則稱這兩個(gè)物體是幾何相似的。例如，考慮圖7中畫的兩個(gè)盒子。令表示圖7(a)中的兩點(diǎn)和之間的距離，而表示圖7(b)中的兩點(diǎn)和之間的距離。在這兩個(gè)圖形中其他相應(yīng)的點(diǎn)以及相應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都以同樣的方式表示。對(duì)幾何相似的盒子，對(duì)某個(gè)常數(shù)，下式必真。這是因?yàn)?，如果在圖7中的兩個(gè)盒子是幾何相似的，那么三角形和必定相似。同樣的討論適用于諸如和那樣相應(yīng)的三角形對(duì)。因此

21、，對(duì)應(yīng)角相等的物體是幾何相似的。換言之，對(duì)于兩個(gè)幾何相似的物體來(lái)說(shuō)，它們的形狀是一樣的，且一個(gè)物體只是另一個(gè)物體的簡(jiǎn)單放大復(fù)制而已。我們可以把幾何相似的物體設(shè)想為相互按比例確定的復(fù)制品，就像建筑制圖中所有的尺寸都是按某個(gè)常數(shù)因子按比例確定的。當(dāng)兩個(gè)物體是幾何相似時(shí)，其結(jié)果就是諸如體積和表面積那樣的量的某些計(jì)算的簡(jiǎn)化。對(duì)于圖7中所畫的盒子，它們體積之比為，表面積之比為。圖7 兩個(gè)相似的幾何物體一旦規(guī)定了比例，不但立即知道這些量的比，而且可以把表面積的比例性通過(guò)某個(gè)選定的特征量表示出來(lái)。如果選擇長(zhǎng)度作為特征量，那么由于，有 ，于是常數(shù)，即表面積和特征量長(zhǎng)度的平方成正比：。類似地，體積和長(zhǎng)度的立方成

22、正比：。所以，如果我們對(duì)依賴于一個(gè)物體的長(zhǎng)度、表面積和體積的某個(gè)函數(shù)，例如感興趣，就可以把所有變量用某個(gè)選擇好的、諸如長(zhǎng)度那樣的特征量表示出來(lái)，得出。幾何相似性是一種強(qiáng)有力地簡(jiǎn)化假設(shè)。3.2 檢驗(yàn)幾何相似性幾何相似性的原則提供了確定所收集的對(duì)象之間是否有比例性的一種方便的檢驗(yàn)方法。因?yàn)閹缀蜗嗨菩缘亩x要求對(duì)所有相應(yīng)的點(diǎn)對(duì)之間的距離之比是一樣的，所以我們可以檢驗(yàn)這種要求來(lái)看看給定集合中的物體是否是幾何相似的。例如，我們知道圓都是幾何相似的。如果表示圓的周長(zhǎng)，是其直徑而是給定的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，由幾何學(xué)知道 和 。因此，對(duì)任何兩個(gè)圓 及 。即當(dāng)我們沿任何兩個(gè)圓周行走時(shí)，它們相應(yīng)點(diǎn)之間的距離之比總

23、等于它們的直徑之比，這種觀察支持了圓是幾何相似性的合理性。3.3 建模實(shí)例例2 從不動(dòng)的云層落下的雨滴。假定我們對(duì)從不動(dòng)的云層落下的雨滴的終極速度感興趣。考察圖6有關(guān)自由落體的圖解，作用在雨滴上的力僅有重力和阻力。假設(shè)作用在雨滴上的空氣阻力與雨滴的表面積和雨滴速度的平方的乘積成正比，雨滴的質(zhì)量和雨滴的重量成正比：。在終極速度處有，所以牛頓第二定律簡(jiǎn)化為。假設(shè)以及和重量成正比。因?yàn)椋?。其次我們假設(shè)所有的雨滴都是幾何相似的。這個(gè)假設(shè)使我們能把面積和體積聯(lián)系起來(lái)使得對(duì)任何特征維數(shù)有 和 。因此。因?yàn)橹亓亢唾|(zhì)量與體積成正比，由比例的傳遞性得。記終極速度為，由方程得。對(duì)終極速度求解，得 或 。所以雨滴

24、的終極速度與其質(zhì)量的六分之一次方成正比。例3 釣魚比賽中的建模（1）情景 出于保護(hù)的目的，垂釣俱樂(lè)部想鼓勵(lì)會(huì)員在釣到魚后馬上把它們放生。該俱樂(lè)部還希望根據(jù)釣到欲的總重量來(lái)給予以下獎(jiǎng)勵(lì)：100磅俱樂(lè)部的榮譽(yù)會(huì)員、大獎(jiǎng)賽期間釣魚總重量冠軍，等等。如果不用稱，垂釣者怎樣確定所釣到的魚的重量呢？（2）識(shí)別問(wèn)題 我們可以如下地識(shí)別該問(wèn)題：根據(jù)某個(gè)容易測(cè)量的量來(lái)預(yù)測(cè)魚的重量。（3）假設(shè) 容易識(shí)別出許多影響魚的重量的因素。根據(jù)不同種類的魚的不同的部位和肉、骨頭的密度等，它們會(huì)有不同的形狀和不同的密度。性別也起著重要的作用，特別是在產(chǎn)卵季節(jié)，不同的季節(jié)可能對(duì)重量有相當(dāng)大的影響。因?yàn)橐獙で蟠贯灥囊话惴▌t，所以一

25、開始只考慮單一魚種，例如鱸魚，并且假定這種魚的平均密度是不變的。以后，如果發(fā)現(xiàn)結(jié)果不滿意或者確定密度的巨大變化確實(shí)存在的話，那么改進(jìn)模型可能是值得的。此外，還忽略性別和季節(jié)因素。因此，一開始我們預(yù)測(cè)魚的重量只是其大?。w積）和密度的函數(shù)。假設(shè)所有的鱸魚都是幾何相似的，任何鱸魚的體積都是和某個(gè)特征量的立方成正比。注意我們沒(méi)有假定任何特定的形狀，而是假定鱸魚是互相成比例的模型。當(dāng)對(duì)于所有可能的點(diǎn)對(duì)，兩條不同的鱸魚相應(yīng)的點(diǎn)對(duì)之間的距離之比保持常數(shù)時(shí)，鱸魚的基本外型可以是很不規(guī)則的。這種思想體現(xiàn)在圖8中。總長(zhǎng)度總長(zhǎng)度總長(zhǎng)度 圖8 幾何相似的魚只是簡(jiǎn)單地成比例的數(shù)學(xué)模型現(xiàn)在選擇魚的長(zhǎng)度作為特征量。因此，

26、鱸魚的體積具有比例性。因?yàn)橹亓康扔隗w積乘以平均密度，并且我們假定平均密度是常數(shù)，由此立即得到。（4）驗(yàn)證模型 考慮在垂釣大獎(jiǎng)賽期間收集到的數(shù)據(jù)：長(zhǎng)度l(英寸): 14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625重量w（盎司）：27 17 41 26 17 49 23 16如果模型是正確的，那么對(duì)的圖形應(yīng)該是一條過(guò)原點(diǎn)的直線。圖9給出了展示為近似直線的圖形（注意這里這種判斷是定性的，可以用所收集到的數(shù)據(jù)的最佳擬合模型的解析方法求解）。根據(jù)迄今給出的少量數(shù)據(jù)，至少是為了進(jìn)一步檢驗(yàn)該模型，我們接受該模型。因?yàn)閿?shù)據(jù)點(diǎn)（14.53，26）位于所畫直線之上，可

27、以估計(jì)得到該直線的斜率為26/3049=0.00853，從而得出模型 （1）當(dāng)然，如果把直線畫得稍微不同一些，那么就會(huì)得到稍微不同的斜率。（用數(shù)據(jù)擬合的方法可以求得使模型和給定數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的平方的偏差之和極小的系數(shù)為）。模型（1）的圖形如圖9所示。圖9如果模型是正確的，那么對(duì)的圖形應(yīng)該是一條過(guò)原點(diǎn)的直線模型（1）提供了一種方便的普遍法則，以下是根據(jù)模型計(jì)算得出的數(shù)據(jù)：長(zhǎng)度l（英寸）：12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 重量w（盎司）：15 19 23 29 35 42 50 59 68 79 91 104 118 133 150即使根據(jù)所得到

28、的有限的數(shù)據(jù)來(lái)看，模型似乎是合理的，但垂釣者也可能不喜歡這個(gè)法則。因?yàn)樵摲▌t并不獎(jiǎng)勵(lì)釣到肥魚：該模型以同樣的方式來(lái)對(duì)待肥魚和瘦魚。我們來(lái)討論一下，用魚的橫截面是相似的假設(shè)來(lái)代替魚都是幾何相似的假設(shè)。這并不意味著魚的橫截面要有特殊的形狀，而只是要求滿足幾何相似的定義。我們選后面要定義的腰圍作為特征量?，F(xiàn)在假設(shè)魚的重量主要來(lái)自魚的主體。魚的頭和尾占總重量的比重相對(duì)小些，以后如果證明我們的模型應(yīng)該改進(jìn)的話，可以把常數(shù)項(xiàng)加進(jìn)去。其次假定主體的橫截面是可變的。于是魚的體積就可以通過(guò)平均橫截面的面積乘以其有效長(zhǎng)度來(lái)求得：。怎樣測(cè)量有效長(zhǎng)度和平均橫截面的面積呢？垂釣者和以前一樣，測(cè)量魚的長(zhǎng)度并假設(shè)比例性。為

29、估計(jì)平均截面面積，垂釣者要帶一個(gè)布制量尺并測(cè)量魚的最寬處的周長(zhǎng)，稱這個(gè)測(cè)量值為腰圍。假設(shè)平均橫截面的面積和腰圍的平方成正比。把這兩個(gè)比例性假設(shè)結(jié)合起來(lái)就給出：。最后，和以前一樣假設(shè)密度不變，使得對(duì)某個(gè)正常數(shù)有。做出了若干假設(shè)之后，可以對(duì)我們的模型做一個(gè)初步的檢驗(yàn)。再次考慮以下數(shù)據(jù)。長(zhǎng)度l（英寸）：14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625 腰圍g（英寸）：9.75 8.375 11.0 9.75 8.5 12.5 9.0 8.5重量w（盎司）： 27 17 41 26 17 49 23 16因?yàn)槟Ｐ吞岢隽撕椭g的比例性，考慮對(duì)的散點(diǎn)圖，如圖1

30、0所示。散點(diǎn) 圖10檢驗(yàn)和之間的比例性數(shù)據(jù)近似位于一條過(guò)原點(diǎn)的直線上，所以比例性的假設(shè)是合理的?，F(xiàn)在對(duì)應(yīng)于魚的重量為41盎司的點(diǎn)正好位于圖10所示的直線上，所以可以估算斜率為（用數(shù)據(jù)擬合的方法可以求得使模型和給定數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的平方的偏差之和極小的系數(shù)為），于是得出模型 。 （2）垂釣者或許會(huì)對(duì)新法則（2）感興趣，因?yàn)橐L(zhǎng)增加一倍導(dǎo)致魚的重量增加到原來(lái)的四倍。例4 汽車燃油里程（1）情景 在石油短缺與能源禁運(yùn)造成的能源危機(jī)期間，人們總是想要了解油料開支是怎樣因車速而變化的。我們覺(jué)得一低速和低排擋行駛時(shí)，汽車轉(zhuǎn)換能量的效率不高，而高速行駛時(shí)作用在汽車上的阻力會(huì)迅速增加。于是以下的期望看來(lái)是合理的，即

31、存在一個(gè)或多個(gè)速度，汽車以這些速度行駛會(huì)產(chǎn)生最優(yōu)的燃油里程（每加侖燃油行駛的最大公里數(shù)）。如果確實(shí)如此，那么低于或超過(guò)該速度，燃油里程數(shù)就會(huì)減少，了解這種減少是怎樣產(chǎn)生的會(huì)很有益處。有報(bào)道稱：時(shí)速超過(guò)50英里/小時(shí)后，每增加5英里/小時(shí)就要損失行駛1英里的耗油。在某貨運(yùn)公司，那些堅(jiān)持以55英里/每小時(shí)行駛的司機(jī)減少了12%的耗油，每年節(jié)省631000加侖的燃油。一般認(rèn)為駕駛最佳油小的范圍在35-45/小時(shí)。（2）識(shí)別問(wèn)題 什么是汽車的速度與燃油之間的關(guān)系？通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答，我們可以評(píng)估這條法則的精確性。（3）假設(shè) 讓我們來(lái)考慮影響燃油里程的因素。首先是推動(dòng)汽車前行的動(dòng)力。這些力取決于燃料燃

32、燒提供的功率、發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)換潛在功率的效率、齒輪比、空氣的濕度以及包括車速在內(nèi)的許多其他因素。其次是阻礙汽車前進(jìn)的阻力，包括依賴于汽車重量的摩擦效應(yīng)、車胎的類型和狀況以及路面的狀況?？諝獾淖枇κ橇硪环N阻力，它依賴于車速、車輛的表面積和形狀、風(fēng)速以及空氣的密度。此外還有司機(jī)的駕駛習(xí)慣，以常速駕駛還是不斷地加速？路面平坦還是崎嶇？等等。因此燃油里程（推進(jìn)力，阻力，駕駛習(xí)慣，等等）。很顯然，如果要考慮車型、司機(jī)習(xí)慣以及路面狀況的所有可能的組合，對(duì)原問(wèn)題的回答將會(huì)很煩瑣。因?yàn)樽鲞@樣的研究實(shí)在是心有余而力不足，所以要限制待處理的問(wèn)題。（4）限制的問(wèn)題識(shí)別 對(duì)于一位特定的司機(jī)來(lái)說(shuō)，某天駕駛著汽車在平坦的高速公

33、路上，為了節(jié)省燃油而在最優(yōu)速度附近以不變的速度行駛。在這樣的限制問(wèn)題下，可以認(rèn)為諸如空氣的濕度、空氣的密度和路面狀況那樣的環(huán)境都是不變的。因?yàn)槲覀円呀?jīng)規(guī)定了司機(jī)正在駕駛的車，確定了車的狀況、車的形狀和表面以及燃油的種類。通過(guò)限制駕駛的速度在最優(yōu)速度附近，得到了發(fā)動(dòng)機(jī)效率不變以及在車速變化小時(shí)齒輪比不變的簡(jiǎn)化假設(shè)。限制原來(lái)提出的問(wèn)題是獲得容易處理的模型的強(qiáng)有力的方法。圖示報(bào)刊上給出的經(jīng)驗(yàn)法則。如果你畫出每加侖損失的英里數(shù)對(duì)速度減少50的圖形，那將是圖9所示的一條過(guò)原點(diǎn)的直線。我們來(lái)看看這個(gè)線性圖形是否定性正確。因?yàn)槠囀且猿Ｋ俣刃旭偟?，所以加速度為零。于是，牛頓第二定律給出的合力必為零，或者推進(jìn)

34、力與阻力必相等，即，其中分別表示推進(jìn)力和阻力。首先考慮推進(jìn)力。每加侖汽油包含一定的能量（記為）。如果表示單位時(shí)間的耗油，那么就表示該車可利用的功率。假定功率的轉(zhuǎn)化率是不變的，由此得出轉(zhuǎn)換后的功率與成正比。因?yàn)閷?duì)常力而言，功率等于力和速度的乘積，于是得如下的比例性關(guān)系，通過(guò)進(jìn)一步假設(shè)燃油轉(zhuǎn)換成能量的比率不變，上面的比例性關(guān)系簡(jiǎn)化為 。 （3）現(xiàn)在來(lái)考慮阻力。因?yàn)槲覀儼褑?wèn)題限制為高速公路上的速度，與空氣阻力相比較，假設(shè)摩擦力很小是合理的。在高速公路的速度下，這些阻力的一個(gè)有意義的子模型為，其中是垂直于汽車運(yùn)動(dòng)方向的汽車的橫截面面積。因?yàn)樵谖覀兊南薅▎?wèn)題中是常數(shù)，故得 ，于是 。 （4）比例性（4）

35、給出了然油消耗率應(yīng)該以速度的立方的定性信息。但是，燃油消耗率并不能很好地反映燃油的效率：盡管比例性（4）說(shuō)明汽車高速行駛時(shí)在單位時(shí)間里用掉更多的燃油，但汽車也開得更快了。所以，我們定義燃油里程如下： 燃油里程數(shù)。 （5）因此，汽車?yán)锍毯退俣鹊钠椒匠煞幢取?、習(xí)題1、車輛的停止的距離 考慮經(jīng)常在司機(jī)培訓(xùn)班上給出的下列規(guī)則：正常的駕駛條件對(duì)車與車之間的跟隨距離要求是每10英里的速率可以允許一輛車距的跟隨距離，但在不利的天氣和道路條件下跟隨距離可以更長(zhǎng)。做到這點(diǎn)的一種方法就是利用2秒法則，這種方法不管車速為多少，都能測(cè)量出正確的跟隨距離?？粗闱懊娴钠噭倓傫傔^(guò)的一個(gè)高速公路上涂有柏油的地方或立交橋的影子那樣的固定點(diǎn)，然后默數(shù)“一千