拋物線與三角形的面積

1、拋物線與三角形的面積拋物線與三角形面積相結(jié)合的問題涉及代數(shù)、幾何的許多定理、公式，有一定的難度，近年來的中考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)拋物線與三角形面積結(jié)合的綜合題，以考查學(xué)生的綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力。這節(jié)課我們共同來探索一下頂點都在拋物線上的三角形面積的求法。1、已知拋物線: (1)求拋物線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)及頂點坐標(biāo);(2)畫出拋物線的草圖; (3)設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于C點，頂點為D。求：DAB和CAB的面積； 四邊形ABCD的面積； ACD的面積(4)求直線AC的解析式；（5）拋物線上有一動點P在直線AC上方，問：是否存在一點P，使PAC的面積最大，若

2、存在，求出PAC的最大面積及P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。2、如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(- 3，0)兩點， （1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標(biāo)及PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由.練習(xí)：1、在ABC中，A90°，AB4，AC3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MNBC交AC于點N以MN為直徑作O，并在O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN令A(yù)

3、Mx （1）用含x的代數(shù)式表示NP的面積S； （2）當(dāng)x為何值時，O與直線BC相切？ ABCMNP圖 1O（3）在動點M的運動過程中，記NP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？ABCMND圖 2OABCMNP圖 3O2、如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面

4、積最大，求出點D的坐標(biāo) 圖13、(2011漳州中考題)如圖1，拋物線y=mx2-1lmx+24m(m<0)與x軸交于B、C兩點(點B在點C的左側(cè))，拋物線上另有一點A在第一象限內(nèi)，且BAC=900 (1)填空：OB=_，）OC=_； (2)連結(jié)OA，將OAC沿x軸翻折后得到ODC，當(dāng)四邊形OACD是菱形時，求此時拋物線的解析式； (3)如圖2，設(shè)垂直于x軸的直線：x=n與(2)中所求的拋物線交于點M，與CD交于點N，若直線沿x軸方向左右平移，且交點M始終位于拋物線上A、C兩點之間時，試探究：當(dāng)n為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個最大值。 參考答案（1）解：當(dāng)x=0時，y

5、=2拋物線與y軸交點坐標(biāo)為（0，2）當(dāng)y=0時，解得：拋物線與x軸交點坐標(biāo)為拋物線的頂點坐標(biāo)為（3）解：（4）解：設(shè)直線AC的解析式為， 直線AC經(jīng)過，可求得解析式為（5）過P作PE/y軸，交直線AC于點E；設(shè)P、E的坐標(biāo)分別當(dāng)面積最大時點D坐標(biāo)為2、解：(1)將A(1，0)，B(3，0)代中得（2分）（3分） 拋物線解析式為： (2)存在 理由如下：由題知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱 直線BC與的交點即為Q點， 此時AQC周長最小 C的坐標(biāo)為：(0，3) 直線BC解析式為： Q點坐標(biāo)即為的解 Q(1，2)（3）答：存在。理由如下：設(shè)P點若有最大值，則就最大，當(dāng)時，最大值最大 當(dāng)時，點P坐

6、標(biāo)為練習(xí)：1、解：（1）MNBC，AMN=B，ANMC ABCMNP圖 1O AMN ABC ，即 ANx 2分 =（04） 3分ABCMND圖 2OQ（2）如圖2，設(shè)直線BC與O相切于點D，連結(jié)AO，OD，則AO =OD =MN在RtABC中，BC =5 由（1）知 AMN ABC ，即 ， 5分過M點作MQBC 于Q，則 在RtBMQ與RtBCA中，B是公共角， BMQBCA ， x 當(dāng)x時，O與直線BC相切7分ABCMNP圖 3O（3）隨點M的運動，當(dāng)P點落在直線BC上時，連結(jié)AP，則O點為AP的中點 MNBC， AMN=B，AOMAPC AMO ABP AMMB2 故以下分兩種情況討論

7、： 當(dāng)02時， 當(dāng)2時， 8分 當(dāng)24時，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)ABCMNP圖 4OEF 四邊形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四邊形MBFN是平行四邊形 FNBM4x 又PEF ACB 9分10分當(dāng)24時， 當(dāng)時，滿足24， 11分綜上所述，當(dāng)時，值最大，最大值是2 12分2、（1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為，代入點C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為：（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得點P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，x4，解方程

8、，得此時點P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，x1，解方程，得此時點P的坐標(biāo)為解方程，得此時點P與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，那么點D的坐標(biāo)為，點E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時，DCA的面積最大，此時點D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖63、解：(1)OB=3，OC=84分 (2)連結(jié)AD，交OC于點E 四邊形OACD是菱形 ADOC，OE=EC=×8=4 BE=43=1 又BAC=900 ACEBAE AE2=BE·CE=1×4AE=2 6分 點A的坐標(biāo)為(4，2)7分 把點A的坐標(biāo)(4，2)代人拋物線y=mx2-llmx+24m，得m=- 拋物線的解析式為y=-x2+x-129分(3) 直線x=n與拋物線交于點M點M的坐標(biāo)為(n，-n2+n-12)由(2)知，點D的坐標(biāo)為(4，-2)，由C、D兩點坐標(biāo)求得直線CD的解析式為y=x-4