數(shù)學分析反常積分復習自測題

1、第十一章 反常積分復習自測題一、體會各類反常積分（無窮積分、瑕積分和混合反常積分）的特點，能準確地判定所給反常積分的類型；熟習并熟練掌握各類反常積分收斂和發(fā)散的含義，并用各類反常積分收斂和發(fā)散的含義解決下面的問題：1、正確地判斷下列反常積分的斂散性：（1）（）；（2）（）；（3）（）。2、正確地判斷下列反常積分的斂散性：（1）（）；（2）（）；（3）。3、探索下列反常積分的斂散性，若收斂，并求其值：（1）；（2）；（3）；（4）。4、用定義據(jù)理說明下面的關(guān)系：（反常積分的牛頓萊布尼茨公式、分部積分法、換元法、奇偶函數(shù)的積分特征）（1）若函數(shù)在上連續(xù)，為在上的原函數(shù)，記，則無窮積分收斂存在，且。

2、（2）若函數(shù)在上連續(xù)，為在上的原函數(shù)，記，則無窮積分收斂和都存在，且。（3）若函數(shù)和都在上連續(xù)可微，且存在，則無窮積分收斂收斂，且，其中。（4）若函數(shù)在上連續(xù)，在（其中為有限數(shù)或）上連續(xù)可導，且嚴格單調(diào)遞增，則無窮積分收斂積分收斂，且。（5）設函數(shù)在上連續(xù)，若為偶函數(shù)，則收斂收斂，且；若為奇函數(shù)，則收斂收斂，且。提示：注意由換元法可得。二、舉例說明下面關(guān)系不一定成立：1、瑕積分收斂不一定能推出瑕積分；無窮積分收斂也不一定能推出無窮積分收斂；注：定積分的乘法性對反常積分不一定成立。2、無窮積分收斂不一定能推出無窮積分收斂；注：注意與定積分的絕對值性質(zhì)的區(qū)別。3、設函數(shù)在上連續(xù)，且收斂，則不一定成

3、立；三、通過下面的問題探索的情況：1、設函數(shù)定義在上，且在任何上可積，收斂，若存在，則；2、利用1探索：（1）設函數(shù)在上單調(diào)，且收斂，則；（2）設函數(shù)在上連續(xù)可導，且與都收斂，則；3、設函數(shù)在上連續(xù)，且收斂，則在上一致連續(xù)；4、設函數(shù)在上連續(xù)，且收斂，試探索下面的問題：（1）證明：當時，（其中為任意給定的正數(shù)），從而；提示：注意到無窮積分的定義即可。（2）利用（1）和積分第一中值公式證明：在中，存在嚴格遞增的數(shù)列滿足：，；（3）類似于（1）方法證明：若函數(shù)在上單調(diào)遞增（減），且收斂，則還有。注：注意到第三大題的第2小題（1），（3）表明：（）。提示：不妨設在上單調(diào)遞增，注意到下面的積分不等式以

4、及無窮積分的定義即可：當時，。5、若函數(shù)在（）上連續(xù)可微，且單調(diào)遞增（減），則收斂收斂。提示：利用第三大題的第4小題（3）以及反常積分的分部積分公式。四、仔細體會并熟練掌握無窮積分和瑕積分的線性性、區(qū)間可加性和絕對值性質(zhì)（注意體會性質(zhì)的內(nèi)容、含義以及在反常積分斂散性判別中的作用）；理解反常積分絕對收斂和條件收斂的含義；用適當性質(zhì)解決下面的問題：1、若無窮積分收斂，無窮積分發(fā)散，則無窮積分發(fā)散；提示：反證法。2、判斷的斂散性；3、利用適當性質(zhì)說明：在無窮積分中，當同號時，收斂等價于與收斂（即絕對收斂），因此，當同號時，斂散性的判別等價于斂散性的判別。五、仔細體會無窮積分和瑕積分收斂的柯西準則，并

5、用柯西準則解決下面的問題：設函數(shù)，和都定義在上，且它們在任何上可積，若對任意，有，則（1）當和都收斂時，也收斂；（2）當和都收斂，且時，收斂，且。提示：（1）用柯西準則；（2）可直接用定義和極限的迫斂性。六、仔細體會并熟練掌握無窮積分和瑕積分絕對收斂的各種常用判別方法，熟悉柯西判別法中適當冪函數(shù)的兩種常見的選擇手段（等價量的代換手段、與冪函數(shù)變化快慢進行比較的手段）；養(yǎng)成在選擇判別法之間，先觀察反常積分的類型，被積函數(shù)是否同號的習慣。試用絕對收斂的判別法解決下面的問題：判斷下列反常積分的斂散性：1、，（），（）；2、（），（），（），（，）；3、，；4、，。七、仔細體會并熟練掌握無窮積分收斂性

6、的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，理解這兩個判別法之間的內(nèi)在關(guān)系（阿貝爾判別法可用狄利克雷判別法及無窮積分的性質(zhì)導出），熟悉如何選擇適當?shù)淖儞Q將瑕積分轉(zhuǎn)化為無窮積分。試解決下面的問題：1、判斷下面反常積分的收斂性（在收斂的情況下，如有可能，還要盡可能判斷出是絕對收斂，還是條件收斂）（1），（其中，和為常數(shù)）；（2），；提示：利用（1）或變量替換后再用（1）。（3）；提示：作變量替換化為無窮積分后再用（1）。2、設函數(shù)在上單調(diào)遞減，且（注意此條件蘊含了，為什么？），則（1）與都收斂；提示：用狄里克雷判別法。（2）若進一步有收斂，則與都絕對收斂；若進一步有發(fā)散，則與都條件收斂。提示：類似于第七大題第

7、1小題（1）的方法。（3）若把函數(shù)“在上單調(diào)遞減”改為“在上單調(diào)遞增”，上述結(jié)果是否有變化？注：此問題為第七大題第1小題（1）的一般情形。3、設函數(shù)在（）上連續(xù)，且收斂，探索和的收斂性。提示：用阿貝爾判別法。八、試討論下列反常積分的斂散性（注意：先正確地判斷類型；再注意混合反常積分斂散性的含義）：1、；2、；3、（其中）。九、反常積分的典型計算問題：（注意：在反常積分值的計算中經(jīng)常采用線性性、區(qū)間可加性、以及第一大題中涉及的牛頓萊布尼茨公式、換元法和分部積分法）1、計算瑕積分（）的值；提示：先用線性性，對用適當換元法和區(qū)間可加性，其中對再用適當換元，。2、利用1計算下列反常積分的值：（1）；（2）；（3）；（4）。提示：（1）用適當換元和區(qū)間可加性推出。（2）用分部積分法推出，其中，。（3）用線性性及1，并注意到。（4）用換元及（3）。3、通過計算的方法探索無窮積分與的關(guān)系，并計算出它的值。提示：先用區(qū)間可加性得，再用換元得，從而，表明與無關(guān)。4、計算無窮積分和的值，其中。提示：用分部積分法。5、伏如蘭積分問題：設函數(shù)在上連續(xù)，按下面的步驟探索反常積分（稱為伏如蘭積分）的值：（1）若存在，則