控制系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)測(cè)性

1、第三章 控制系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)測(cè)性3-1能控性及其判據(jù)一：能控性概念定義：線(xiàn)性定常系統(tǒng)(A,B,C)，對(duì)任意給定的一個(gè)初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1> t0的有限時(shí)間區(qū)間t0,t1內(nèi)，存在一個(gè)無(wú)約束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是能控的?？梢?jiàn)系統(tǒng)的能控性反映了控制矢量u(t)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的控制性質(zhì),與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。 x2不能控二：線(xiàn)性定常系統(tǒng)能控性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：設(shè)初始時(shí)刻為t0=0，對(duì)于任意的初始狀態(tài)x(t0)，有：根據(jù)系統(tǒng)能控性定義，令x(tf)=0，得：即：由凱萊-哈密爾頓定理：令上式變?yōu)椋簩?duì)于任意x(0),上式有解的充分必

2、要條件是QC滿(mǎn)秩。判據(jù)1：線(xiàn)性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：能控性矩陣QC=B，AB，A2B，An-1B滿(mǎn)秩。對(duì)于單輸入系統(tǒng)，QC=b，Ab，A2b，An-1b如果系統(tǒng)是完全能控的，稱(chēng)（A、B）或（A、b）為能控對(duì)。判據(jù)2：對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)，若B的秩為r，則系統(tǒng)完全能控的充要條件是：rankB，AB，A2B，An-rB=n例：設(shè)試判斷系統(tǒng)的能控性解：系統(tǒng)是不完全能控的。若考慮到rankB=2，只需計(jì)算rankB，AB=2，說(shuō)明系統(tǒng)不能控。例：圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件。解：選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：當(dāng)（R1R4=R2R3）時(shí)，系統(tǒng)能控。否則系統(tǒng)不能控。定

3、理：對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)作非奇異變換，其能控性不變。證：判據(jù)3：線(xiàn)性定常系統(tǒng)（A、B、C），若A的特征值1、2、n互不相同，則一定可以通過(guò)非奇異變換P把A變換成對(duì)角陣，即：此時(shí)系統(tǒng)能控的條件為中任一行的元素不全為零。如果中某一行的元素全為零，說(shuō)明對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量不能控。證明見(jiàn)何p19616例：判斷系統(tǒng)的能控性解：系統(tǒng)不能控。判據(jù)4：一般情況下，當(dāng)A有重特征值時(shí)，可利用變換陣P將A化為約當(dāng)陣，如果對(duì)應(yīng)A的各重特征值只能找到一個(gè)獨(dú)立的特征向量，其狀態(tài)完全能控的條件是：與每個(gè)約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的陣中，這一行的元素不全為零。（證見(jiàn)何p199）例：判據(jù)5：設(shè)n維線(xiàn)性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程：當(dāng)A有重特征值時(shí)，可利用變換

4、陣P將A化為約當(dāng)陣，若1、2、m為其m個(gè)互異特征值，對(duì)應(yīng)與某個(gè)特征值i可以找到r（i）個(gè)獨(dú)立的特征向量，則與i相對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊Ai中有r（i）個(gè)約當(dāng)塊，即：相應(yīng)地，設(shè)：系統(tǒng)能控的充分必要條件是：對(duì)每一個(gè)i=1、2、m，矩陣Bil的各行在復(fù)數(shù)域上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，其中：例：系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組bl11、bl12、bl13線(xiàn)性無(wú)關(guān)以及bl21線(xiàn)性無(wú)關(guān)（即不為零）。判據(jù)6：PBH判別法 線(xiàn)性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是n×（n+r）矩陣I-A，B對(duì)A的所有特征值i之秩為n。即：ranki-A，B=n，（i=1、2、n）三：線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)定義：設(shè)線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為：對(duì)任意給

5、定的一個(gè)初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1> t0的有限時(shí)間區(qū)間t0,t1內(nèi)，存在一個(gè)無(wú)約束的控制矢量u(t0，t1)，使x(t1)=0，則稱(chēng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是能控的。定理一：線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣：為非奇異矩陣，式中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。證明：充分性：即為非奇異時(shí)，系統(tǒng)能控。由于非奇異，令：則：說(shuō)明系統(tǒng)是能控的。必要性：反證法，若是奇異的，且系統(tǒng)能控，看能否導(dǎo)出矛盾的結(jié)果。由于是奇異的，故的行向量在t0,t1上線(xiàn)性相關(guān)，必存在非零的行向量，使在t0,t1區(qū)間成立，若選擇非零的初始狀態(tài)x(t0)= T,則:說(shuō)明=0,矛盾。l 線(xiàn)性

6、定常系統(tǒng)(A、B、C)，狀態(tài)完全能控的充分必要條件是格蘭姆矩陣：或?yàn)榉瞧娈惥仃?。定理二：線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是的行向量在t0,t1上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，式中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。l 線(xiàn)性定常系統(tǒng)(A、B、C)，狀態(tài)完全能控的充分必要條件是的行向量在t0,t1上線(xiàn)性無(wú)關(guān)。定理三：如果線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的A(t)和B(t)是n-1階連續(xù)可微的，若存在一個(gè)有限的t1>t0，使得：則系統(tǒng)在t0是能控的。其中： 本定理是充分條件，對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)則為充分必要條件。四：線(xiàn)性定常系統(tǒng)的輸出能控性設(shè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：如果存在一個(gè)無(wú)約束的控制量u(t)，在有限時(shí)間tf-t0內(nèi)，使得由任一初始

7、輸出y(t0)，能夠轉(zhuǎn)移到任意輸出y(tf)，則稱(chēng)這一系統(tǒng)為輸出完全能控，簡(jiǎn)稱(chēng)輸出能控。系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是下列 m×(n+1)r矩陣滿(mǎn)秩，即：控制系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性之間沒(méi)有必然聯(lián)系。例：由于：該系統(tǒng)狀態(tài)不能控而輸出能控。對(duì)于本例，若設(shè)則系統(tǒng)輸出不能控。3-2 能觀(guān)測(cè)性及其判據(jù)一：能觀(guān)測(cè)性的概念定義：設(shè)n維線(xiàn)性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：如果在有限的時(shí)間間隔內(nèi)，根據(jù)給定的輸入值u(t)和輸出值y(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)的每一個(gè)分量,則稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀(guān)測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)能觀(guān)測(cè)的。若系統(tǒng)中至少由一個(gè)狀態(tài)變量不能觀(guān)測(cè)，則稱(chēng)此系統(tǒng)是不完全能觀(guān)測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)不能觀(guān)測(cè)。

8、 該系統(tǒng)是不能觀(guān)測(cè)的由于：可見(jiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀(guān)測(cè)性與x(t0)的能觀(guān)測(cè)性是等價(jià)的。二：線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀(guān)測(cè)性條件設(shè)n維線(xiàn)性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：其解為：令：則或?qū)憺椋荷鲜龇匠探M共由m個(gè)，第j個(gè)方程為:分別乘以0(t)、1(t)、n-1(t)并積分,得:考慮到0(t)、1(t)、n-1(t)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)性，在上述方程中一定可以解出：令j=1，2，m，共可得到n×m個(gè)方程，從中確定x(0)的充分必要條件為：定理一：線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀(guān)測(cè)的充分必要條件是能觀(guān)測(cè)性矩陣QO滿(mǎn)秩，即：定理二：線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀(guān)測(cè)的充分必要條件是(n+m)×n型矩陣對(duì)A的每一個(gè)特征值i之秩為

9、n。（PBH判別法） 定理三：線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)，若A的特征值互異，經(jīng)非奇異變換后為：系統(tǒng)能觀(guān)測(cè)的充分必要條件是陣中不包含全為零的列。定理四：線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)，若A陣具有重特征值，且對(duì)應(yīng)每一個(gè)重特征值只存在一個(gè)獨(dú)立的特征向量，經(jīng)非奇異變換后為：系統(tǒng)能觀(guān)測(cè)的充分必要條件是陣中與每一個(gè)約當(dāng)塊Ji第一列對(duì)應(yīng)的列不全為零。三：線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的能觀(guān)測(cè)性判據(jù)定義：設(shè)n維系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：若對(duì)狀態(tài)空間中的任一時(shí)刻t0的狀態(tài)x(t0)，存在一有限時(shí)間t1-t0，使得由控制輸入u(t0,t1)和輸出y(t0,t1)的信息足以確定x(t0)，則稱(chēng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻是完全能觀(guān)測(cè)的。定理一：系統(tǒng)在t0時(shí)刻能觀(guān)測(cè)的充要條件是下

10、列格蘭姆矩陣：為非奇異矩陣。對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)，其能觀(guān)測(cè)的充要條件是：滿(mǎn)秩。定理二：系統(tǒng)在t0時(shí)刻能觀(guān)測(cè)的充要條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻t1>t0，使得m×n型矩陣C(t)(t,t0)的n個(gè)列在t0，t1上線(xiàn)性無(wú)關(guān)。定理三：如果線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的A(t)和C(t)是(n-1)階連續(xù)可微的，若存在一個(gè)有限的t1>t0，使得：則系統(tǒng)在t0時(shí)刻能觀(guān)測(cè)的，其中：（充分條件）3-3 離散系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)測(cè)性線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)方程為：一：能控性定義：對(duì)于任意給定的一個(gè)初始狀態(tài)x(0)，存在k>0，在有限時(shí)間區(qū)間0，k內(nèi)，存在容許控制序列u(k)，使得x(k)=0，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的

11、，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是能控的。二：能控性判據(jù)線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)能控的充分必要條件是n×nr型矩陣Qc滿(mǎn)秩，即： rank Qc=rankH，GH，G2H，Gn-1H=n證明：令對(duì)于任意的x(0),上述方程有解的充要條件是：krn且系數(shù)矩陣滿(mǎn)秩。結(jié)論：線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是：rank Qc=rankH，GH，G2H，Gn-1H=n若系統(tǒng)能控，對(duì)于任意的初始狀態(tài)，在第k步可以使x(k)=0，（kn/r）例：設(shè)單輸入線(xiàn)性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解：系

12、統(tǒng)是能控的。令得：若令則：無(wú)解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。例：雙輸入線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試判斷其能控性，并研究使x(1)=0的可能性。解：系統(tǒng)是能控的。令x(1)=0令：若則可以求出u(0)，使x(1)=0。若則不存在u(0)，使x(1)=0。三：能觀(guān)測(cè)性定義對(duì)于離散系統(tǒng)，其定義為：已知輸入向量序列u(0)、u(1)、u(n-1)及有限采樣周期內(nèi)測(cè)量到的輸出向量序列y(0)、y(1)、y(n-1),能唯一確定任意初始狀態(tài)向量x(0),則稱(chēng)系統(tǒng)是完全能觀(guān)測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是能觀(guān)測(cè)的。四：能觀(guān)測(cè)性判據(jù)設(shè)n維離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方

13、程為：其解為：在討論能觀(guān)測(cè)性時(shí)，假定u(k)=0,(k=0、1、n-1)即：定義：為離散系統(tǒng)的能觀(guān)測(cè)性矩陣。上述方程要唯一確定x(0)的充要條件是rankQo=n。因此線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)能觀(guān)測(cè)的充要條件為rankQo=n。五：連續(xù)系統(tǒng)的能控性、能觀(guān)測(cè)性與離散系統(tǒng)的能控性、能觀(guān)測(cè)性之間的關(guān)系定理一：如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀(guān)測(cè)），則對(duì)任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀(guān)測(cè)）的。證明：用反證法設(shè)連續(xù)系統(tǒng)不能控，而對(duì)于某采樣T離散化后的系統(tǒng)卻是能控的。則rankH、GH、G2H、Gn-1H=n其中：故：容易驗(yàn)證為可交換陣，故：由于eAiT可用I、A、A2、An-1

14、線(xiàn)性表示，故連續(xù)系統(tǒng)是能控的，矛盾。本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀(guān)測(cè)）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀(guān)測(cè)）的。定理二：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀(guān)測(cè)），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀(guān)測(cè)）的必要條件是：不是A的特征值。其中k為非零整數(shù)。證明：設(shè)A的特征值為1、2、n則的特征值為：如果i=0，則如果i0，則可見(jiàn)當(dāng)（k為非零整數(shù)）為A的特征值時(shí)，的特征值中出現(xiàn)0，不可逆，即使（A、B、C）能控，（G、H、C）也一定是不能控的。（見(jiàn)定理一的證明過(guò)程）定理三：設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）能控，采樣周期T滿(mǎn)足如下條件：對(duì)A的任意兩個(gè)特征值1、2，不存在非零整數(shù)k，使成立，則以T為采樣

15、周期的離散化系統(tǒng)也是能控的。本定理為充分條件，對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。3-4 對(duì)偶原理若系統(tǒng)S1描述為：系統(tǒng)S2描述為：則稱(chēng)S1（S2）為S2（S1）的對(duì)偶系統(tǒng)。顯然，原系統(tǒng)S1（S2）的能控性（能觀(guān)測(cè)性）矩陣與對(duì)偶系統(tǒng)S2（S1）的能觀(guān)測(cè)性（能控性）矩陣相同，或者說(shuō)，原系統(tǒng)的能控性（能觀(guān)測(cè)性）等價(jià)與其對(duì)偶系統(tǒng)的能觀(guān)測(cè)性（能控性）。3-5 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀(guān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形一：能控標(biāo)準(zhǔn)形一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如下形式：則系統(tǒng)一定能控。這種形式的A、b陣稱(chēng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形。證明：略定理：若n維單輸入線(xiàn)性定常系統(tǒng)能控，則一定能找到一個(gè)線(xiàn)性變換，將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。具體做法是：設(shè)A

16、的特征多項(xiàng)式為：引入非奇異線(xiàn)性變換其中：則為能控標(biāo)準(zhǔn)形。通過(guò)驗(yàn)算來(lái)證明本定理。例：已知能控的線(xiàn)性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：試將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。解：能控性矩陣：則：二：能觀(guān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形一個(gè)單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如下形式：則系統(tǒng)一定能觀(guān)測(cè)，此時(shí)的A、c陣稱(chēng)為能觀(guān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。定理：若n維單輸出線(xiàn)性定常系統(tǒng)能觀(guān)測(cè)，則一定能找到一個(gè)線(xiàn)性變換，將其變換成能觀(guān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。具體做法是：設(shè)A的特征多項(xiàng)式為：引入非奇異線(xiàn)性變換其中：則為能觀(guān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形?？衫脤?duì)偶原理來(lái)證明。3-6能控性、能觀(guān)測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系定理一：如果A的特征值互不相同，則系統(tǒng)（A、B、C）為能控且能觀(guān)測(cè)的充分必要條件是：傳遞矩陣G（s）的分母|s

17、I-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。定理二：?jiǎn)屋斎?、單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀(guān)測(cè)的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。定理三：?jiǎn)屋斎搿屋敵鱿到y(tǒng)（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若傳遞函數(shù)存在零、極點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)或是狀態(tài)不能控或是狀態(tài)不能觀(guān)測(cè)的；若傳遞函數(shù)不存在零、極點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控且完全能觀(guān)測(cè)的。證明：?jiǎn)屋斎搿屋敵鱿到y(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：如果A的特征值互不相同，則一定可利用非奇異線(xiàn)性變換，使A成為對(duì)角陣。即：狀態(tài)方程可寫(xiě)為：在初始條件為零的情況下，拉氏變換得：對(duì)輸出方程拉氏變換：可見(jiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：此式即為傳遞函數(shù)的部分分式。若傳

18、遞函數(shù)存在零、極點(diǎn)對(duì)消，傳遞函數(shù)的部分分式中應(yīng)缺少相應(yīng)項(xiàng)。如傳遞函數(shù)中相消的零、極點(diǎn)為s-k，則說(shuō)明fkk=0，k=0，fk0系統(tǒng)是不能控的；fk=0，k0，系統(tǒng)是不能觀(guān)測(cè)的；k=0，fk=0，系統(tǒng)是既不能控也不能觀(guān)測(cè)的。若傳遞函數(shù)不存在零、極點(diǎn)對(duì)消，傳遞函數(shù)的部分分式中，應(yīng)有fkk0（k=1、2、n）系統(tǒng)是既能控又能觀(guān)測(cè)的。例：設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：由于存在零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀(guān)測(cè)的。例：已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，判斷其能控性、能觀(guān)測(cè)性。三個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為：系統(tǒng)（1）是能控不能觀(guān)測(cè)的；系統(tǒng)（2）是能觀(guān)測(cè)不能控的；系統(tǒng)（3）是既不能控又不能觀(guān)測(cè)的

19、。定理二、定理三只適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，對(duì)于有相重特征值的多輸入、多輸出系統(tǒng)，即使有零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)仍可能是既能控又能觀(guān)測(cè)的。例如：系統(tǒng)是既能控又能觀(guān)測(cè)的。但：存在零、極點(diǎn)對(duì)消的情況。定理四：如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則系統(tǒng)是能控的。（充分必要條件）定理五：如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向量X（0）之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則系統(tǒng)是能觀(guān)測(cè)的。（充分必要條件）例：試用傳遞矩陣判斷下列系統(tǒng)的能控性、能觀(guān)測(cè)性。解：（1）令：說(shuō)明的三個(gè)行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，系統(tǒng)是能控的。令：說(shuō)明的三個(gè)列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，系統(tǒng)是能觀(guān)測(cè)的。（2

20、）由于的三個(gè)行向量線(xiàn)性相關(guān)，系統(tǒng)不能控。令：存在非零解，說(shuō)明的列向量線(xiàn)性相關(guān)，系統(tǒng)是不能觀(guān)測(cè)的。3-7 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一：系統(tǒng)按能控性分解設(shè)不能控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：其能控性矩陣的秩為r<n，選出其中r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)列，再加任意n-r個(gè)列，構(gòu)成非奇異變換T-1令：則：其中：經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫(xiě)為：于是可得能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：例：已知：試按能控性進(jìn)行規(guī)范分解。解：系統(tǒng)不完全能控，取：則：能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：二：系統(tǒng)按能觀(guān)測(cè)性分解設(shè)不能觀(guān)測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：其能觀(guān)測(cè)性矩陣的秩為l<n，選出其中l(wèi)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)行，再加任意n-l個(gè)

21、行，構(gòu)成非奇異變換T。令：則：其中：經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫(xiě)為：于是可得能觀(guān)測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能觀(guān)測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：例：已知：試按能觀(guān)測(cè)性進(jìn)行規(guī)范分解。解：系統(tǒng)不完全能觀(guān)測(cè)，?。簞t：能觀(guān)測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能觀(guān)測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：三：系統(tǒng)按能控性和能觀(guān)測(cè)性的標(biāo)準(zhǔn)分解設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不能控、不能觀(guān)測(cè)，可先對(duì)系統(tǒng)按能控性分解，即令：再分別對(duì)能控子系統(tǒng)、不能控子系統(tǒng)按能觀(guān)測(cè)性分解，即：最后得到：經(jīng)T-1變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：能控、能觀(guān)測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：能控、不能觀(guān)測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能控、能觀(guān)測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能控、不能觀(guān)測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：第四章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性4

22、-1 引言一：范數(shù)設(shè)定義x的范數(shù)為：m×n矩陣A的范數(shù)定義為：范數(shù)性質(zhì)二：李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念1：系統(tǒng) 設(shè)所研究的系統(tǒng)為：式中x為n維狀態(tài)向量，在給定的初始條件下，方程有唯一解且2：平衡狀態(tài) 滿(mǎn)足的狀態(tài)即：對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)當(dāng)A可逆時(shí)，有唯一平衡狀態(tài)3：穩(wěn)定性 以S（k）表示平衡狀態(tài)周?chē)霃綖閗的球域即：設(shè)對(duì)應(yīng)于每一個(gè)球域S（），都存在球域S（），使得當(dāng)t無(wú)限增加時(shí)，從初始條件S（）出發(fā)的軌跡都超出不了S（），則稱(chēng)這一系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。如果與t0無(wú)關(guān)，則稱(chēng)平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。線(xiàn)性定常系統(tǒng)，如果是穩(wěn)定的，則必是一致穩(wěn)定的。4：漸近穩(wěn)定性 如果平衡

23、狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，且從球域S（）出發(fā)的任意一個(gè)解，當(dāng)t時(shí)，收斂于平衡狀態(tài)則稱(chēng)此類(lèi)平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，如果與t0無(wú)關(guān)，則平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的。線(xiàn)性定常系統(tǒng)，如果是漸近穩(wěn)定的，則必是一致漸近穩(wěn)定的。5：大范圍穩(wěn)定性 不管初始偏差有都大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱(chēng)系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有都大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱(chēng)系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)。為了滿(mǎn)足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱(chēng)系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定。6：不穩(wěn)定性 如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)>0和任一實(shí)數(shù)&

24、gt;0，不管它們有多小，在球域S（）中，總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，使得從這一初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終會(huì)超出球域S（），這時(shí)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。三：標(biāo)量函數(shù)的正定性、負(fù)定性1：正定性 設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V（x），對(duì)域S中的所有非零狀態(tài)x，總有V（x）>0，且當(dāng)x=0時(shí)，有V（x）=0，則稱(chēng)標(biāo)量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是正定的。2：負(fù)定性 設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V（x），對(duì)域S中的所有非零狀態(tài)x，總有V（x）<0，且當(dāng)x=0時(shí)，有V（x）=0，則稱(chēng)標(biāo)量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是負(fù)定的。此時(shí)-V（x）是正定的。3：正半定性和負(fù)半定性 設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V（x），對(duì)域S中的某些非零狀態(tài)x及x=0，有 V（x）=0，而對(duì)

25、于S中的其余狀態(tài)有V（x）>0，則稱(chēng)標(biāo)量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是正半定的。如果- V（x）是正半定的，則V（x）是負(fù)半定的。例：設(shè)則：四：二次型函數(shù)的正定性設(shè)標(biāo)量函數(shù)V（x）為二次型函數(shù)，即V（x）=xTQx，并設(shè)Q為對(duì)稱(chēng)陣：賽爾維斯特準(zhǔn)則：對(duì)于二次型函數(shù)V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，則Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V（x）也是正定的。4-2李雅普諾夫直接法（第二法）李雅普諾夫穩(wěn)定性主要理論：1：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，若能構(gòu)造出一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V（x），并且它對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，則系統(tǒng)在狀態(tài)空間的原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的。2：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，若

26、V（x）在原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)是正定的，并且它對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)也是正定的，那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處是不穩(wěn)定的。定理一：設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：原點(diǎn)為一個(gè)平衡狀態(tài)，即：如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x，t），滿(mǎn)足如下條件：（1）是正定的（2）是負(fù)半定的則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定理二：設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：原點(diǎn)為一個(gè)平衡狀態(tài)，即：如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x，t），滿(mǎn)足如下條件：（1）是正定的（2）是負(fù)定的則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果當(dāng)時(shí)，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。如果除原點(diǎn)外，在系統(tǒng)的軌跡上再?zèng)]有任何一點(diǎn)，其恒為零，則條件（2）可改為是負(fù)半定的。

27、例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：坐標(biāo)原點(diǎn)是系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：?。簽橐徽ǖ臉?biāo)量函數(shù)為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，且系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例：系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：坐標(biāo)原點(diǎn)是系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：取為一正定的標(biāo)量函數(shù)，為負(fù)半定的，但除了坐標(biāo)原點(diǎn)外，在狀態(tài)軌跡上不恒為零，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。且系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。定理三：設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：原點(diǎn)為一個(gè)平衡狀態(tài)，即：如果在平衡狀態(tài)的某個(gè)鄰域內(nèi)，存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x，t），滿(mǎn)足如下條件：（1）是正定的（2）是正定的則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。類(lèi)似地，若除原點(diǎn)外，不恒為零，條件（2）可改

28、為正半定。例：設(shè)有如下系統(tǒng)：試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，?。簽橐徽ǖ臉?biāo)量函數(shù)，為正半定的，但除了坐標(biāo)原點(diǎn)外，在狀態(tài)軌跡上不恒為零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。4-3 線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一：線(xiàn)性定常系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設(shè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)若A為n階非奇異矩陣，則系統(tǒng)有唯一的平衡狀態(tài)x=0。取一個(gè)可能的李氏函數(shù)P為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，令：若Q是正定對(duì)稱(chēng)矩陣，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。定理：線(xiàn)性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q，存在正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P，使ATP+PA=-Q成立。例：試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取Q=I，則：ATP+PA=-Q設(shè)：P為正

29、定矩陣，系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。推論：如果沿任意一條軌跡不恒為零，上述定理中的Q可取為正半定矩陣。例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。解：令u=0，detA0，故原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。取：由于只有在原點(diǎn)處才有故Q可取為正半定矩陣。由ATP+PA=-Q，得：二：線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設(shè)線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0。取一個(gè)可能的李氏函數(shù)P（t）為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，令：若Q（t）是正定對(duì)稱(chēng)矩陣，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。定理：線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q（t），存在正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P（t），使黎卡提矩陣微分方程成立。三：線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的幾個(gè)結(jié)論設(shè)線(xiàn)性

30、系統(tǒng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0狀態(tài)方程的解為：若則：系統(tǒng)在原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。四：線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)定理：線(xiàn)性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)矩陣A的所有特征值都位于左半復(fù)數(shù)平面。即：Rei<0 （i=1、2、n） i為A的特征值。4-4線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)x（k+1）=Gx（k），x=0為平衡狀態(tài)。取Vx（k）=x（k）TPx（k），P為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。則：令：定理：線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：給定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q，存在一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P使GTPG-P=-Q成立，此時(shí)V（X）=xTPx。若V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒為零，那么Q可取為正半定矩陣

31、。例：設(shè)試確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定的條件解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得：根據(jù)P為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的要求，得：4-5 非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1：克拉索夫斯基法設(shè)非線(xiàn)性控制系統(tǒng)：其中x為n維列向量，f（0）=0，即x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，且設(shè)f（x）對(duì)x在整個(gè)狀態(tài)空間是可以求導(dǎo)的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為：克拉索夫斯基指出：如果存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣B，使對(duì)稱(chēng)陣S（x）=BJ（x）+ BJ（x）T是負(fù)定的，那么平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：V（x）=f（x）TBf（x）如果則平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。例：確定平衡狀態(tài)x=0的穩(wěn)定性。解：取B=I，為對(duì)稱(chēng)負(fù)定陣，所以

32、平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。2：阿塞爾曼法設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：其中f（xi）為非線(xiàn)性單值函數(shù)，f（0）=0，故x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。阿塞爾曼指出：若以線(xiàn)性函數(shù)取代非線(xiàn)性函數(shù)， 即令f（xi）=k xi，可對(duì)線(xiàn)性化后的系統(tǒng)建立李雅普諾夫函數(shù)V（x），若dV（x）/dt在k1kk2區(qū)間內(nèi)是負(fù)定的，則當(dāng)非線(xiàn)性函數(shù)不超過(guò)上述區(qū)間時(shí)，非線(xiàn)性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。f(x1) 0 x1例：設(shè)f(x1)如圖所示，判斷x=0的穩(wěn)定性。解：令f(x1)=2x1線(xiàn)性化后的系統(tǒng)方程為：令得：Q為正定對(duì)稱(chēng)陣，認(rèn)為非線(xiàn)性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)就是V（x），則：根據(jù)負(fù)定的

33、要求，穩(wěn)定時(shí)要求：只要非線(xiàn)性特性在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。l 阿塞爾曼法的特點(diǎn)是很簡(jiǎn)單，但這一分析結(jié)果不一定總是正確的，即使如此，工程上仍作為試探非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種方法。李雅普諾夫第二法的幾點(diǎn)說(shuō)明：1） 第二法給出的是穩(wěn)定性的充分條件，因此，一個(gè)系統(tǒng)滿(mǎn)足穩(wěn)定條件時(shí)，它一定穩(wěn)定；如果不滿(mǎn)足穩(wěn)定條件，則不能作出不穩(wěn)定的結(jié)論。2） V（x）不是唯一的，因此滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件的各種方案有相應(yīng)的穩(wěn)定范圍，它們不一定相同。3） 第二法的應(yīng)用中，沒(méi)有一種方案是通用的。4） 以上討論，均假設(shè)x=0為平衡點(diǎn)，如果平衡點(diǎn)不在原點(diǎn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，將它移到原點(diǎn)。5） 李雅普諾夫函數(shù)除了提供穩(wěn)定性判據(jù)外

34、，還可用于線(xiàn)性和非線(xiàn)性系統(tǒng)的瞬態(tài)性能分析和參數(shù)選擇。3：實(shí)際系統(tǒng)按線(xiàn)性化模型判定穩(wěn)定性李雅普諾夫第一法實(shí)際系統(tǒng)如果非線(xiàn)性不嚴(yán)重，或者偏差不大，在分析穩(wěn)定性時(shí)，可按線(xiàn)性化模型應(yīng)用線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定條件進(jìn)行分析，那么分析結(jié)果是否符合實(shí)際系統(tǒng)的真實(shí)情況呢？李雅普諾夫小偏差理論：（1） 若線(xiàn)性化系統(tǒng)特征方程式的所有根均為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)部，則實(shí)際系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，線(xiàn)性化過(guò)程中被忽略的高于一次的微量項(xiàng)對(duì)穩(wěn)定性結(jié)論沒(méi)有影響。（2） 若線(xiàn)性化系統(tǒng)特征方程式的所有根中，即使有一根為正實(shí)數(shù)或具有正的實(shí)部，則實(shí)際系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，線(xiàn)性化過(guò)程中被忽略的高于一次的微量項(xiàng)不會(huì)使系統(tǒng)變成穩(wěn)定。（3） 若線(xiàn)性化系統(tǒng)特征方程式的

35、所有根中，有至少一個(gè)為零或?qū)嵅繛榱?，而其余均為?fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)部，則實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性不能按線(xiàn)性化模型來(lái)判斷，實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性與線(xiàn)性化過(guò)程中被忽略的高于一次的微量項(xiàng)有關(guān)。第五章 線(xiàn)性定常系統(tǒng)的綜合5-1 狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋是指從狀態(tài)變量到控制端的反饋 如圖設(shè)原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：定理：用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件是：系統(tǒng)完全能控。證明：充分性，以單輸入系統(tǒng)為例，因系統(tǒng)能控不妨設(shè)：即系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形。設(shè)反饋向量引入狀態(tài)反饋后而b、C陣不變，即系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程仍為能控標(biāo)準(zhǔn)形，由能控標(biāo)準(zhǔn)形與傳遞矩陣的關(guān)系知：控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)由特征式確定，通過(guò)選擇K陣

36、，可任意配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。必要性：反證法，如果系統(tǒng)不能控，說(shuō)明有些變量不受u的控制，引入反饋后，通過(guò)u來(lái)影響它們是不可能的。從以上證明過(guò)程中可得出結(jié)論：l 對(duì)于單輸入、單輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋不影響傳遞矩陣的零點(diǎn)。l 狀態(tài)反饋保持系統(tǒng)的能控性，而不保持系統(tǒng)的能觀(guān)測(cè)性。例：有一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：要求用狀態(tài)反饋的方法，使閉環(huán)極點(diǎn)為-2，-1±j。解：系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)為：設(shè)K=k0，k1，k2，則：根據(jù)希望閉環(huán)極點(diǎn)的位置，特征多項(xiàng)式為：可得：K=4，4，1引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖：5-2 輸出反饋與極點(diǎn)配置輸出反饋指從輸出端到狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)的反饋，如圖設(shè)原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：引入輸出反饋

37、后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：定理：用輸出反饋任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件是：系統(tǒng)完全能觀(guān)測(cè)。 可利用對(duì)偶原理來(lái)證明例：試選擇反饋矩陣h，使下述系統(tǒng)極點(diǎn)配置在-5，-8。解：系統(tǒng)能觀(guān)測(cè)，設(shè)：希望的特征多項(xiàng)式：u1 -x1 y u2 x2 -解得：在工程實(shí)踐中，也可以采用從輸出端到控制端的反饋，即：u=v-Hy系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：5-3鎮(zhèn)定問(wèn)題對(duì)于單輸入、單輸出線(xiàn)性定常系統(tǒng)：如果存在狀態(tài)反饋矩陣K，使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是漸近穩(wěn)定的，則稱(chēng)系統(tǒng)是可以用狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的。定理：線(xiàn)性定常系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是系統(tǒng)不能控的狀態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的。證明 狀態(tài)反饋矩陣計(jì)算步驟 p1485-4狀態(tài)重

38、構(gòu)和狀態(tài)觀(guān)測(cè)器一：開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，有時(shí)需要對(duì)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，開(kāi)環(huán)估計(jì)方法如下：通常x與之間存在差異，這種差異必導(dǎo)致y與之間的差異。二：全維觀(guān)測(cè)器全維觀(guān)測(cè)器是指重構(gòu)狀態(tài)向量的維數(shù)與原系統(tǒng)相同。事實(shí)上，已知的信息為u（t）和y（t），只有當(dāng)系統(tǒng)完全能觀(guān)測(cè)時(shí)，才能從u（t）和y（t）及其導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合中獲得狀態(tài)向量x（t）的估計(jì)值此時(shí)存在狀態(tài)觀(guān)測(cè)器。利用觀(guān)測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)為：狀態(tài)觀(guān)測(cè)器在觀(guān)測(cè)器的設(shè)計(jì)中，為使盡快地接近x（t），可利用y（t）和之間的差作為誤差反饋信息，觀(guān)測(cè)器結(jié)構(gòu)如下：BCAH 觀(guān)測(cè)器結(jié)構(gòu)圖寫(xiě)出觀(guān)測(cè)器動(dòng)態(tài)方程為：原系統(tǒng)的狀態(tài)方程：定義狀態(tài)向量的真實(shí)值與估計(jì)值之間的偏

39、差為誤差狀態(tài)向量，即：則有： 為使盡快趨于零，應(yīng)合理選擇A-HC的特征值。定理：若系統(tǒng)（A、B、C）是能觀(guān)測(cè)的，其狀態(tài)可用n維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器進(jìn)行估計(jì)矩陣H可以按給定極點(diǎn)的位置來(lái)選擇，所定極點(diǎn)的位置，將決定誤差向量趨于零的速率。例：設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器，其中矩陣A-hc的特征值（觀(guān)測(cè)器極點(diǎn)）為-10，-10。解：設(shè)希望的特征多項(xiàng)式：得：觀(guān)測(cè)器方程：- - - -原系統(tǒng)及其狀態(tài)觀(guān)測(cè)器結(jié)構(gòu)圖如下：5-5降維觀(guān)測(cè)器一個(gè)n維的能觀(guān)測(cè)系統(tǒng)由于y可以直接提供一部分狀態(tài)，故只需要估計(jì)其余的狀態(tài)即可。1：建立n-m維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程設(shè)ARn×n，BRn×r，CRm×n，

40、系統(tǒng)（A、B、C）能觀(guān)測(cè)，令：為一個(gè)n×n矩陣，D的選擇應(yīng)使Q可逆，考慮到：令則：系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：可直接有y提供，只須估計(jì)即可。以為狀態(tài)變量的n-m維系統(tǒng)為：2：降維觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)為建立n-m為觀(guān)測(cè)器，把以為狀態(tài)變量的n-m維系統(tǒng)方程改寫(xiě)為：只要原系統(tǒng)（A、B、C）能觀(guān)測(cè)，則能觀(guān)測(cè)，而也是能觀(guān)測(cè)的。故降維觀(guān)測(cè)器方程為：令：觀(guān)測(cè)器方程可寫(xiě)為：這是一個(gè)n-m維觀(guān)測(cè)器，整個(gè)狀態(tài)向量的估計(jì)值為：而系統(tǒng)原狀態(tài)向量x的估計(jì)值為：3：H陣的選擇通過(guò)H陣的選擇，使的極點(diǎn)任意配置，極點(diǎn)的位置決定誤差向量衰減到零的速率，而直接有y提供，不存在估值誤差。定理：有m個(gè)輸出的任一m維能觀(guān)測(cè)系統(tǒng)（A、B、C），可通過(guò)狀態(tài)變換而寫(xiě)成如下形式：其狀態(tài)可用n-m維龍伯格觀(guān)測(cè)器進(jìn)行估計(jì)： y u w（n-m）×m矩陣H可以選得使的極點(diǎn)任意配置，極點(diǎn)的位置決定誤差向量衰減到零的速率。觀(guān)測(cè)器結(jié)構(gòu)圖如下：例：已知系統(tǒng)：試構(gòu)造一降維觀(guān)測(cè)器解：系統(tǒng)完全能觀(guān)測(cè)令：則：設(shè)降維觀(guān)測(cè)器的特征值為-10，H=h希望的特征多項(xiàng)式為+10，故H=10，降維觀(guān)測(cè)器為：原系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)值為：原