幾何模型在現(xiàn)實生活中的應用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上天 津 師 范 大 學本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）題目：幾何模型在現(xiàn)實生活中的應用學 號： 姓 名： 劉靜 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 年 級： 2002級 學 院： 數(shù)學科學學院 完成日期： 2006年5月 指導教師： 張智廣 幾何模型在現(xiàn)實生活中的應用摘要：幾何模型是數(shù)學建模的重要工具，合理使用它將使原本復雜的問題變得簡單易解，有簡化問題的作用一般來說，幾何模型是針對具體實物建立起來的，即可在現(xiàn)實生活中找到原型，其目的是為了解決實際問題它的應用范圍非常廣泛，在許多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用本文從物體運動、運輸、汽車設(shè)計優(yōu)化等問題入手，分析如何建立其幾何模型，探求解決途徑，并研究所

2、建模型的應用領(lǐng)域，即還可利用此模型解決的類似問題有哪些關(guān)鍵詞：數(shù)學建模，數(shù)學模型，幾何模型，簡化The Application of Geometrical Model in Our Daily LifeAbstract: Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are constructed according to

3、the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing geometrical model from

4、 the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these models.Key words: Mathema

5、tical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify目 錄一、前言(1)二、幾何模型在物體運動問題中的應用(2)（一）步長選擇(2)（二）雨中行走(3)三、幾何模型在運輸問題中的應用(6)（一）冰山運輸(6)四、幾何模型在汽車設(shè)計優(yōu)化問題中的應用(10)（一）駕駛盲區(qū)(10)（二）車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計模型(12)五、幾何模型在其它問題中的應用(15)（一） 醫(yī)學中的應用(15)1血管分支(15)（二） 日常生活中的應用(16)1動物的身長與體重(16)2拐角問題模型(17)參考文獻(19)專心-專注-專業(yè)一、 前言近年來

6、，數(shù)學模型和數(shù)學建模這兩個術(shù)語使用的頻率越來越高但是，到底什么是數(shù)學模型和數(shù)學建模呢？可能許多人還不是很清楚所謂數(shù)學建模就是利用數(shù)學方法解決實際問題的一種實踐即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學方式表達，建立起數(shù)學模型，然后運用先進的數(shù)學方法及計算機技術(shù)進行求解當一個數(shù)學結(jié)構(gòu)作為某種形式語言（即包括常用符號、函數(shù)符號、謂詞符號等符號集合）解釋時，這個數(shù)學結(jié)構(gòu)就稱為數(shù)學模型換言之，數(shù)學模型可以描述為：對于現(xiàn)實世界的一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)也就是說，數(shù)學模型是通過抽象簡化的過程，用數(shù)學語言對實際現(xiàn)象的一

7、個近似的刻畫，從而便于人們更深刻地認識所研究的對象 數(shù)學模型模仿了一個現(xiàn)實系統(tǒng)，是對現(xiàn)實對象的信息加以分析、提煉、歸納、翻譯的結(jié)果它用精確的語言表達了對象的內(nèi)在特性，是利用函數(shù)、方程等變量描述方法以及數(shù)學概念創(chuàng)立的模型但建立數(shù)學模型并非以模型為目標，而是為了解決實際問題當我們建立一個數(shù)學模型時，我們從現(xiàn)實世界進入了充滿數(shù)學概念的抽象世界在數(shù)學世界內(nèi)，我們用數(shù)學方法對數(shù)學模型進行推理、演繹、求解，并借助于計算機處理這個模型，得到數(shù)學上的解答最后，我們再回到現(xiàn)實世界，將模型的數(shù)學解“翻譯”成現(xiàn)實問題的實際“解答”，如給出現(xiàn)實對象的分析、預報、決策、控制的結(jié)果這些結(jié)果還必須經(jīng)實際的檢驗，即用現(xiàn)實對象

8、的信息檢驗得到的解答，確認結(jié)果的正確性我們始于現(xiàn)實世界又終結(jié)于現(xiàn)實世界，數(shù)學模型是一道理想的橋梁在實際應用中，數(shù)學模型可按不同方式分類若按建立模型的數(shù)學方法分類，則它可分為幾何模型、微分方程模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、馬氏鏈模型等這些模型彼此之間并非絕對孤立，而是互相滲透，互為工具在可用數(shù)學建模的方法解決的問題中，有些比較簡單，只使用其中的一種模型即可例如，一把梯子斜靠在墻上，如何測得梯子和墻的夾角呢？首先建立梯子的幾何模型，即將其假設(shè)為一線段，忽略其余各部分接下來，測量梯長以及從梯子與墻的交點到地面的垂直距離再利用三角函數(shù)，便可計算出夾角但在解決復雜問題時，僅使用幾何方面的知識或者其它某類知

9、識是遠遠不夠的，往往是兩類或多類知識綜合起來使用，會達到事半功倍的效果或者在原有模型的基礎(chǔ)上，使用幾何模型作為輔助手段，也會為問題的解決帶來驚喜幾何模型不是原型，既簡單于原型，又高于原型，它是對原物體簡化后的產(chǎn)物幾何模型有一定的適用條件，即在所要解決的問題中需出現(xiàn)具體實物，因為要建立所研究問題的幾何模型就一定脫離不了具體實物的存在若問題中沒有出現(xiàn)有具體形狀的物體，則幾何模型也無從談起但是由于我們所要解決的實際問題有許多都會涉及到具體實物，所以幾何模型的應用范圍是很廣泛的，地位是舉足輕重的下面我們將從四個方面，介紹幾何模型的具體應用二、 幾何模型在物體運動問題中的應用數(shù)學建模過程是由若干個有明顯

10、差別的階段性工作組成的，可以分為問題分析、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用等過程但建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式，以上只是機理分析方法建模的一般過程在本文中，受所研究問題及篇幅所限，部分過程有所省略物體運動中所涉及到的物體一定是有具體形狀的，所以符合幾何模型的應用條件分析運動物體的幾何結(jié)構(gòu)，對其進行合理簡化，是幾何模型的一個重要應用（一）步長選擇問題描述：人在行走時所做的功等于抬高人體重心所需的勢能與兩腿運動所需的動能之和在給定速度時，以動作最?。聪哪芰孔钚。樵瓌t問走路步長選擇多大為合適？問題分析：此問題若陷入人體復雜的生理結(jié)構(gòu)之中，將會得出過于復雜的模型而

11、失去使用價值對人體進行合理的簡化，是解決問題的首要步驟由于此例要解決的是步長問題，則人體的生理結(jié)構(gòu)這一復雜因素是可以忽略的另外，依靠平時生活經(jīng)驗的積累，可判斷影響步長的主要因素有：（1）身高（或腿長）；（2）體重為簡化問題的研究，做以下假設(shè)：（1）假設(shè)人體只由軀體和下肢兩部分組成，且下肢看作長為、質(zhì)量為的均勻桿；（2）設(shè)軀體以勻速前進模型建立：如圖1所示，重心升高（當較小時）圖1腿的轉(zhuǎn)動慣量，角速度，單位時間的步數(shù)為所以單位時間行走所需的動能為單位時間內(nèi)使身體重心升高所做的功為，所以單位時間行走所需的總功代入，得于是當一定時，可使最小由，得求解完畢（二）雨中行走問題描述：一個雨天，你有件急事需

12、要從家中到學校去學校離家不遠，僅一公里，況且事情緊急，你不準備花時間去翻找雨具，決定碰一下運氣，頂著雨去學校假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你也不再打算回去了一路上，你將被大雨淋濕一個似乎是很簡單的事實是你應該在雨中盡可能地快走，以減少淋雨的時間但是如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略試組建數(shù)學模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度問題分析：對于這個實際問題，它的背景是簡單的，人人皆知無需進一步論述我們的問題是，要在給定的降雨條件下設(shè)計一個雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最低分析參與這一問題的因素，主要有：（1）降雨的大?。唬?）風（降雨）的方向；（3）路程的遠

13、近；（4）你跑的快慢為簡化問題的研究，我們假設(shè)：（1）降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水強度保持不變；（2）你以定常的速度跑完全程；（3）風速始終保持不變；（4）把人體看成是一個長方體的物體（此項為幾何方面的假設(shè)）在這些假設(shè)下，我們可以給出參與這個模型的所有參數(shù)和變量：雨中行走的距離（米）、時間（秒）、速度（）；人的身高（米）、寬度（米）和厚度（米）；身上被淋的雨水總量（升）關(guān)于降雨的大小，在這里用降水強度（單位時間平面上降下雨水的厚度）（）來描述模型求解：為進一步簡化這一問題的研究，首先討論最簡單的情形，即不考慮降雨角度的影響，也就是說在你行走的過程中身體的前后左右和上方都將淋到雨水經(jīng)簡單論

14、證可知，這是一個荒謬的假設(shè)，所建模型用以描述雨中行走的人被雨水淋濕的狀況是不符合實際情況的按照建模的程序，需要回到對問題所做的假設(shè)，推敲這些假設(shè)是否恰當這時我們發(fā)現(xiàn)不考慮降雨角度的影響這個假設(shè)把問題簡化得過于簡單了若考慮降雨角度的影響，則降雨強度已經(jīng)不能完全描述降雨的情況了現(xiàn)給出降雨的速度，即雨滴下落的速度（），以及降雨的角度（雨滴下落的反方向與你前進的方向之間的夾角）顯然，前面提到的降雨強度將受降雨速度的影響，但它并不完全決定于降雨的速度，它還決定于雨滴下落的密度我們用來度量雨滴的密度，稱為降雨強度系數(shù)，它表示在一定的時刻在單位體積的空間內(nèi)由雨滴所占據(jù)的空間的比例數(shù)于是有顯然，而當時意味著大

15、雨傾盆，有如河流向下傾瀉一般 如圖2所示，在這種情形下為了估計出你被雨水淋濕的程度，關(guān)鍵是考慮雨滴相對于雨中行走方向的下落方向首先考慮的情況這時雨水是從前方迎面而來落下的，由經(jīng)驗可以知道，這時被淋濕的部位將僅僅是你的頂部和前方因此淋在身上的雨水將分為兩部分來計算圖2 先考慮頂部被淋的雨水雨滴速度垂直方向的分量是，頂部的面積是不難得到，在時間內(nèi)淋在頂部的雨水量應該是：再考慮前方表面淋雨的情況雨速水平方向的分量是，前方的面積是，故前方表面被淋到的雨水的量應該是因此在整個行程中被淋到的雨水的總量應該是 （1）如果假設(shè)落雨的速度是，由降雨強度可以估算出它的強度系數(shù)把這些參數(shù)值代入（1）式可以得到在這個

16、模型里有關(guān)的變量是和，其中是落雨的方向，我們希望在模型研究過程中改變它的數(shù)值；而是要選擇的雨中行走的速度由于在我們討論的情形下有，而且是的減函數(shù)，因此當增大時淋雨量將逐漸減小考慮的情形在這種情形下，雨滴將從后面向你身上落下令，則這個情形還要按照你在雨中行走的速度再分成兩種情況首先考慮的情形，也就是說行走的速度慢于雨滴的水平運動速度這時雨滴將淋在后背上淋在背上的雨水的量是，于是淋在全身的雨水的總量應該是當你以可能的最大速度在雨中行進時，雨水的總量的表達式可以化簡為它表明你僅僅被頭頂部位的雨水淋濕了實際上，這意味著你剛好跟著雨滴向前走，所以身體前后都沒有淋到雨如果你的速度低于，則由于雨水落在背上，

17、而使得被淋的雨量增加因此在這種情形下淋雨量仍然是行走速度的減函數(shù)第二個情形是的情形，這時在雨中的奔跑速度比較快，要快于雨滴的水平運動速度這時人將不斷地追趕雨滴，雨水將淋在你的胸前被淋的雨量是于是全身被淋的雨水的總量是綜合上面分析的結(jié)果，我們可以得到淋雨量的數(shù)學模型為：正如上面分析所得到的，模型中前兩個式子都是速度的減函數(shù)但是第三個式子的情形就比較復雜了，它的增減性將取決于括號內(nèi)的式子是正還是負，它剛好是關(guān)于人的體形的一個指標從這個模型我們可以得到如下結(jié)論：（1）如果雨是迎著你前進的方向向你落下，這時的策略很簡單，應該以最大的速度向前跑；（2）如果雨是從你的背后落下，這時你應該控制你在雨中的行走

18、的速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量這時雨滴不會淋到你的前胸和后背，只淋到了頭頂上小結(jié)：通過研究前面兩個問題，我們作以下三點總結(jié)：（1）在第一個問題中，我們用幾何模型結(jié)合物理知識，解決了人體行走中的步長問題建立模型時，把人體只看作由軀干和下肢兩部分組成，是對人體的第一次簡化；接著又將下肢看作長為、質(zhì)量為的均勻桿，是對人體的第二次簡化兩次簡化對問題的解決起到了關(guān)鍵作用，既合理簡化了問題，又未因過分簡化而使模型失去其使用價值而在第二個問題的模型建立中，將人體直接看成是一個長方體的物體通過對比我們可以看出，在解決不同的實際問題時，對同一物體可根據(jù)實際需要做出不同的模型假設(shè)（2）通過解決第二個問題我

19、們還可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學模型的建立是一個對模型反復推敲不斷完善的過程雖然建立模型是為了簡化問題，但有時這種簡化是過度的，即得到的結(jié)果與現(xiàn)實情況出入過大這時就需要返回問題分析這一步驟，對模型原有假設(shè)進行修改，使其逐漸向原型靠近，從而得出合理的結(jié)論（3）除人在行走中的步長選擇問題以及雨中行走問題外，還有很多物體運動值得我們研究例如汽車剎車距離問題，即兩車之間保持多長距離能保證司機在發(fā)生意外時可以及時剎車在汽車駕駛中有這樣的規(guī)則：正常駕駛條件下車速每增加10，后面與前面一輛車的距離應增加一個車身的長度有人根據(jù)這一規(guī)則，推出了所謂的“2秒準則”，即后車司機若能在前車經(jīng)過某一標志的2秒鐘后到達同一標志，則此時

20、兩車之間的距離剛好這個準則的合理性如何，是否有更好的準則？這些問題都值得研究如果此準則合理，就可以確定兩車在駕駛過程中應保持的車距了三、幾何模型在運輸問題中的應用英國媒體于近日報道，英國最大的供水廠商泰晤士自來水公司正在考慮將北極冰山拖運到倫敦，以化解可能面臨的百年來最嚴重的水荒該公司在倫敦舉行的一次會議上說：“我們不得不考慮任何可能的方案，包括從北極拖運冰山及人工造雨盡管許多人可能覺得利用冰山的想法愚蠢荒唐，但不能排除這種可能性”那么拖運冰山這一想法可行嗎？用數(shù)學建模的方法便可解決這一問題（一）冰山運輸問題描述：在水資源十分貧乏的國家，政府不得不采用淡化海水的辦法為國民提供用水，成本大約是每

21、立方米淡水英鎊有些專家提出從南極用拖船運送冰山到本國，以取代淡化海水的辦法這個模型要從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行詥栴}分析：為了計算用拖船運送冰山獲得每立方米水所花的費用，我們需要搜集關(guān)于拖船的租金、運量、燃料消耗及冰山運輸過程中融化速率等方面的數(shù)據(jù)，以此作為建模必須的準備工作 在此我們只研究冰山幾何模型的建立方法，故只給出冰山運輸過程中的融化速率的數(shù)據(jù)表（見表1）所謂融化速率是指在冰山與海水、大氣接觸處冰山每天融化的速度融化速率除與船速有關(guān)外，還和運輸過程中冰山與南極的距離有關(guān)這是由于冰山要從南極運往赤道附近的緣故表1 冰山運輸過程中的融化速率 與南極距離（）船速（） 0 1000 4000

22、135 0 0 0 建立模型的目的是選擇拖船的船型和船速，使冰山到達目的地后，可得到的每立方米水所花的費用最低，并與海水淡化的費用相比較模型假設(shè)：根據(jù)建模目的和搜集到的有限的資料，需要作如下的簡化假設(shè)（1）拖船航行過程中船速不變，航行不考慮天氣等任何因素的影響總航行距離為9600（2）冰山形狀為球形，球面各點的融化速率相同這是相當無奈的假設(shè)，在冰山上各點融化速率相同的條件下，只有球形的形狀不變，這樣體積的變化才能簡單地計算（3）冰山到達目的地后，1冰可以融化成0.85水模型建立：首先需要知道冰山體積在運輸過程中的變化情況，然后是計算航行中的燃料消耗，由此可以算出到達目的地后的冰山體積和運費在計

23、算過程中需要根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù)擬合出經(jīng)驗公式模型構(gòu)成可分為以下幾步（1）冰山融化規(guī)律根據(jù)假設(shè)（2）先確定冰山球面半徑的減小量，從而得到冰山體積的變化規(guī)律記冰山球面半徑融化速率為，船速為，拖船與南極距離為根據(jù)表1中融化速率的數(shù)據(jù)，可設(shè)是船速的線性函數(shù)，且當時與成正比，而當時與無關(guān)，即設(shè) （2）其中，為待定參數(shù)這可以解釋為相當于從南極到赤道以南，海水溫度隨增加而上升，使融化速率也隨的增加而變大而后海水溫度變化較小，可以忽略利用表1所給數(shù)據(jù)確定出， （3）當拖船從南極出發(fā)航行第天時，與南極的距離為 （4）記第天冰山球面半徑融化速率為，將（3）、（4）式代入（2）式得 （5）記第天冰山半徑為，體積為，則

24、， （6）， （7）其中，為從南極啟運時冰山的初始半徑和體積由（5）（7）式可知冰山體積是船速、初始體積和航行天數(shù)的函數(shù)，記作，有 ， （8）其中由（5）式表示 （2）燃料消耗費用：記為（）已知燃料消耗對船速和冰山體積的對數(shù)均按線性關(guān)系變化利用搜集的數(shù)據(jù)，計算出（3）運送冰山費用：記為費用由拖船的租金和燃料消耗兩部分組成根據(jù)搜集的數(shù)據(jù)，得 （9）其中，表示日租金，且 （4）冰山運抵目的地后可獲得水的體積：將代入（7）式，得冰山運抵目的地后的體積再由假設(shè)（3），得水的體積為 （10） （5）每立方米水所需費用：記為由（9）、（10）式顯然有模型分析：此題假設(shè)冰山呈球形，簡化了計算但球形與現(xiàn)實中冰

25、山的形狀相去甚遠，將其假設(shè)為圓臺更為接近此舉勢必將加大解題難度，甚至導致結(jié)果的變更下面我們簡單分析一下，將冰山的形狀從球形改為圓臺后，會對整個建模過程造成何種影響若假設(shè)為圓臺，則圓臺的上下底面半徑、及高度的變化都要考慮在拖運之初測量冰山圓臺的上下底面半徑、及初始高度，有以下關(guān)系：， （11）且此比例在冰山融化過程中不變記冰山圓臺下底面半徑融化速率為與例題一樣，設(shè)是船速的線性函數(shù)，且當時與成正比，而當時與無關(guān)，即設(shè) （12）其中，為待定參數(shù)要確定、的值，需要給出另外一組測量數(shù)據(jù)將代入（12）式，即得第天冰山圓臺下底面半徑的融化速率記圓臺所在圓錐的高為，則 （13）記第天冰山上下底面半徑為、，高為

26、，圓臺所在圓錐的高為，體積為，則， （14）， （15）， （16）由（11）（16）式可知冰山體積是船速、初始體積和航行天數(shù)的函數(shù)，記作 至此，只要給出所需數(shù)據(jù)，我們便可計算出由于的改變，之后的燃料消耗費用、運送冰山費用、冰山運抵目的地后可獲得水的體積、每立方米水所需費用都會發(fā)生變化，從而可能導致此方案的可行性發(fā)生變更四、幾何模型在汽車設(shè)計優(yōu)化問題中的應用 汽車在我國的普及率正在穩(wěn)步提升，它以其便捷高速的特性吸引著人們的注意力，所以有越來越多的人選擇汽車作為了代步工具但是汽車的設(shè)計還有許多有待改進的地方，例如車身的形狀、各部件的設(shè)計、安全裝置等都有繼續(xù)完善的必要所以此領(lǐng)域的研究有著重要的應用

27、價值和商業(yè)價值，已為更多人所重視（一）駕駛盲區(qū) 問題描述：在汽車駕駛過程中會出現(xiàn)這種情況：在擁擠的道路變換車道與轉(zhuǎn)彎時，后方突然有車輛出現(xiàn)，司機防范不及，造成車禍試分析車禍原因，并給出解決方案問題分析：汽車上共有內(nèi)外三面后視鏡，駕駛員通過這三面鏡子來觀察后面的車流情況，以決定何時可以轉(zhuǎn)彎，而不會有危險發(fā)生但是由于后視鏡的尺寸都不是很大，這樣使駕駛員能看到的范圍就很小需要看到的地方?jīng)]辦法看到，那塊地方就是所謂的盲區(qū)存在著盲區(qū)就存在著一定的安全問題，車禍出現(xiàn)的原因就在于此若想避免此類車禍的發(fā)生，必須改善后視鏡的設(shè)計，使盲區(qū)的范圍縮小或者消失后視鏡的角度雖然可調(diào)節(jié)，但一般都由司機固定在其最習慣的地方

28、，即可觀察到的區(qū)域范圍已確定，如圖3所示 模型假設(shè)： （1）設(shè)汽車為長方體，俯視為長方形，且關(guān)于直線對稱，司機位于其對稱軸上一點（在車內(nèi)）； （2）假設(shè)兩外后視鏡與車身的夾角為，此值固定不變；圖3 （3）假設(shè)汽車所行駛的車道兩旁分別只有一個車道由對稱性，我們只研究左側(cè)車道上的車輛 通常汽車所安裝的后視鏡均為平面鏡，這樣設(shè)計是為了使駕駛員觀察到的物體不變形，符合人的視覺習慣，但缺點是視野較小擴大視野是解決此問題的關(guān)鍵眾所周知，凸面鏡的成像區(qū)域要比平面鏡大很多，所以考慮將平面鏡換為凸面鏡是否可以若直接將平面鏡換為凸面鏡，勢必將影響司機的正常駕駛，從而造成新的隱患所以我們不妨考慮在外后視鏡的外端或內(nèi)

29、后視鏡的上方添加凸面鏡（本文只研究在外后視鏡的外端添加凸面鏡這種情況），這樣便可使問題得到解決接下來，需要考慮的問題是，選擇什么弧度的球冠最為合適球冠的選擇不是半徑越小、弧度越大就越好，而是使司機可以觀察到需要觀察的車輛就可以了根據(jù)上面的假設(shè)，我們可以給出參與這個模型的所有參數(shù)和變量：汽車的長、寬；駕駛時前后兩車的車距；視野需擴大到角；所需凸面鏡的長度模型建立：球面上各點入射光線的反射光線可根據(jù)該點的切平面確定由于車道上需要觀察的車輛與所在車輛位于同一水平位置，所以要確定取何種球冠最為合適，只需研究球冠與此水平面相交的弧上的點的反射光線即可如圖4所示，標出各變量圖4如圖5所示，由汽車的長、寬及

30、車距，可知 （17）若角確定，則反射光線也可確定，即兩線的夾角可測設(shè)測量結(jié)果為，因入射角等于反射角，故入射角的角度為圖4中的表示的是法線與凸面鏡的邊的夾角，顯然有 （18）故球的半徑為 （19）圖5綜合（17）（19）式，便可確定球的大小及所需球冠的大小問題得解模型分析：在本題中，我們選取的是整個球冠其實，在平時使用時，球冠的上半部分基本沒有太大用途因為由上半球冠觀察到的物體多為高空景物，這對駕駛員來說不僅沒有太大用處，而且還會分散其注意力，帶來不必要的麻煩所以，我們還可對模型做進一步的修改，將球冠改為半球冠，只要其下半部分就足夠了 本例題的研究結(jié)果可應用到其他方面例如在某些小區(qū)的十字路口會放

31、有一個凸面鏡行人可以用它觀察到其它路口的路況，從而減少交通事故的發(fā)生這個凸面鏡的放置原理和汽車的后視鏡是一樣的，所以它的位置亦可用此模型來確定（二）車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計模型問題描述：假設(shè)汽車頭部的車燈的反光面為一旋轉(zhuǎn)拋物面，燈絲是一線光源要求設(shè)計線光源的長度，使車燈既滿足技術(shù)要求，又使線光源的功率最小問題分析：線光源任意一點發(fā)出的光，可直接照射在光屏上，也可以經(jīng)過燈罩(旋轉(zhuǎn)拋物面)一次反射(不考慮二次反射)后，間接照射在光屏上線光源上不同位置的點發(fā)射的光線投射到拋物面上，反射后能夠到達指定點的投射點的集合(稱為有效投射點的集合)是不同的因為線光源過焦點對稱水平放置，線光源上點的位置分布僅與長度

32、有關(guān)，因此在滿足設(shè)計規(guī)范要求的條件下，尋求線光源功率最小，線光源長度是決定因素，而弄清線光源上各點有效投射點的情況，則是解決問題的一個關(guān)鍵所在模型假設(shè)：（1）不考慮光的二次反射；（2）不考慮光的折射；（3）不考慮光的干涉和衍射；（4）光在傳播過程中不吸收新的能量，僅考慮光的擴散；（5）光在同一連續(xù)均勻介質(zhì)中(例如空氣)傳播；（6）燈絲為理想線光源，沒有橫向尺寸，不考慮燈管遮光；（7）旋轉(zhuǎn)拋物面可認為由無數(shù)微小平面鏡組成，入射光發(fā)生完全鏡面反射，旋轉(zhuǎn)拋物面不吸收能量圖6 模型建立：如圖6所示，按照右手螺旋準則建立空間直角坐標系（單位：），根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以求出旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為，焦點，切平面的方程

33、滿足切平面方程，即 （20）入射光線 法線 反射光線由反射定律，入射光線、法線、反射光線在同一個平面內(nèi)，則由向量的知識，三向量的混合積為0，可得到 （21）在拋物面上，滿足分析（21）式：當，而時，得到得到，求得，即僅在線光源上滿足的點發(fā)出的光經(jīng)過拋物面上的點反射后可經(jīng)過點當時，反射點位于用平面截旋轉(zhuǎn)拋物面所得的拋物線上以上分析僅是反射光線過點的必要條件，但給出了線光源上點的初步劃分，大大縮小了討論的范圍為保證區(qū)域劃分的準確性，需要再通過計算機變步長搜索的方法來加強該結(jié)論下面，利用虛像、反射點、光屏上點三點共線的條件，以為變量分別表示出、，再利用Matlab對進行變步長搜索，找出有效投射點集合

34、的變化規(guī)律，進一步完善上述結(jié)論具體步驟如下：由平面解析幾何知識，平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，顯然，即，得到 （22）聯(lián)立（20）、（22）式，得到 （23）反射光線能經(jīng)過點的充分必要條件是、 、三點共線，因為，所以 ，得 （24）聯(lián)立（23）、（24）式，可以得到以為變量表達的的值，對于任一給定的，根據(jù)值的有效個數(shù)便可確定有效投射點的個數(shù)，從而校驗線光源區(qū)段劃分的正確性即線光源有如下劃分： 當時，沒有反射線經(jīng)過點； 當時，有2條反射線經(jīng)過點； 當，有4條反射線經(jīng)過點； 當時，有2條反射線經(jīng)過點 同理當反射光線經(jīng)過點時亦可進行相同分析，劃分如下： 當時，沒有反射光經(jīng)過點； 當時，有

35、4條反射光經(jīng)過點； 當時，有2條反射光經(jīng)過點很顯然，以上對線光源的分段對應著不同的積分域，欲求、點的光強度，只需對點光源的功率分段積分求和即可記線光源的功率，線光源長度，設(shè)從線光源上任意一點經(jīng)過反射或直射到達指定點的總光線條數(shù)為，對應的每條路徑的長度為，則可以建立如下模型，小結(jié)：此題是2002年全國數(shù)學建模大賽c試題，難度較前面幾道例題有所增加，其中運用到了立體幾何、解析幾何、物理中的大量知識，尤其以幾何模型為主可見，幾何模型在本題中的作用還是十分重要的，它與其它模型相輔相成，共同構(gòu)成數(shù)學建模的核心五、幾何模型在其它問題中的應用（一）醫(yī)學中的應用醫(yī)學研究中會遇到很多棘手問題，這些問題有時無法通

36、過實驗得到解決，于是我們可以從理論上建立其幾何模型，分析合理性1血管分支問題描述：動物為了維持血液在血管中流動，要向血管提供能量，其中一部分用于供給血管壁營養(yǎng)，另一部分用來克服血液流動受到的阻力，消耗的能量與血管的幾何形狀有關(guān)有人研究發(fā)現(xiàn)，某種動物的血管分支角度幾乎是固定的因此，就提出一種假說，認為生物在長期進化過程中，血管的幾何形狀向消耗能量最小的方面轉(zhuǎn)變下面的模型主要研究血管分支處粗細血管半徑的比例和分叉的角度在消耗能量最小的原則下該取什么值問題分析：為了簡化問題，我們對模型作一些假設(shè)：（1）一條血管在分支處分為兩條細血管，分叉點附近三條血管共面，且有一條對稱軸，這是幾何上的假設(shè)；（2）把

37、血液在血管中的流動視為粘性流體在剛性管道中的運動，這是物理上的假設(shè)；（3）血液對血管壁提供營養(yǎng)的能量隨血管壁表面積及血管壁的體積的增加而增加；血管壁的厚度與血管半徑成正比，這是生物上的假設(shè)模型的建立：（1）由假設(shè)（1），如圖7所示標出各種符號并設(shè)血液在粗細血管單位時間的流量分別為與，則=2 圖7（2）由假設(shè)（2），利用流體力學的結(jié)果：在單位長的管道中，阻力與流量的平方成正比，與半徑的4次方成反比從而為克服阻力而消耗的能量為：（為比例系數(shù)）（3）一般地，對半徑為長為的血管，內(nèi)表面積，即與成正比，若記為壁厚，則管壁的體積又由假設(shè)（3），與成正比，因此，與成正比從而供給血管壁營養(yǎng)所消耗的能量中，含一

38、項與成正比，另一項與成正比為簡化計算，可設(shè)供給單位長血管壁營養(yǎng)所消耗的能量為（），為比例系數(shù)因此血液從點A流到點與的過程共消耗的能量， （25）， （26）， （27） （28）將（26）、（27）、（28）式，代入（25）式得到為、的三元函數(shù) （二）日常生活中的應用1動物的身長與體重問題描述：四足動物的軀干與其體重之間有什么關(guān)系？此問題有一定的實際意義比如在生豬收購站，工作人員希望能從生豬的身長估計出它的體重圖8問題分析與模型建立：同第一個問題，對此問題如果陷入生物學復雜的生理結(jié)構(gòu)的研究，將會得出太復雜的模型，而失去使用價值在這里我們用類比方法借助于彈性力學的結(jié)果，建立一個粗略的幾何模型把四足動物的軀干視為圓柱體，長度為，直徑為，底面積為如圖8所示，將此圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學的研究結(jié)果設(shè)動物在自身體重作用下，軀干的最大下垂度為，也即是梁的最大彎曲度由彈性力學的研究結(jié)果知因為，即體重與體積成正比，所以， 其中是動物軀干的相對下垂度生物學上認為，經(jīng)過長期的進化，對于每一種動物而言，已經(jīng)達到一個最適合的數(shù)值，即可設(shè)其為常數(shù)從而也為常數(shù)，所以， ，即動物的體重與軀干長度的4次方成正比當然，比例系數(shù)與動物的種類有關(guān)至此，我們就建立了該問題的幾何模型小結(jié)：在此模型的構(gòu)成過程中，有兩點值得我們注意首先，此模型的建立，只用到簡