幾何模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上天 津 師 范 大 學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：幾何模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用學(xué) 號(hào)： 姓 名： 劉靜 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 2002級(jí) 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 完成日期： 2006年5月 指導(dǎo)教師： 張智廣 幾何模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用摘要：幾何模型是數(shù)學(xué)建模的重要工具，合理使用它將使原本復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解，有簡(jiǎn)化問(wèn)題的作用一般來(lái)說(shuō)，幾何模型是針對(duì)具體實(shí)物建立起來(lái)的，即可在現(xiàn)實(shí)生活中找到原型，其目的是為了解決實(shí)際問(wèn)題它的應(yīng)用范圍非常廣泛，在許多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用本文從物體運(yùn)動(dòng)、運(yùn)輸、汽車(chē)設(shè)計(jì)優(yōu)化等問(wèn)題入手，分析如何建立其幾何模型，探求解決途徑，并研究所

2、建模型的應(yīng)用領(lǐng)域，即還可利用此模型解決的類(lèi)似問(wèn)題有哪些關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)模型，幾何模型，簡(jiǎn)化The Application of Geometrical Model in Our Daily LifeAbstract: Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are constructed according to

3、the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing geometrical model from

4、 the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these models.Key words: Mathema

5、tical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify目 錄一、前言(1)二、幾何模型在物體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用(2)（一）步長(zhǎng)選擇(2)（二）雨中行走(3)三、幾何模型在運(yùn)輸問(wèn)題中的應(yīng)用(6)（一）冰山運(yùn)輸(6)四、幾何模型在汽車(chē)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用(10)（一）駕駛盲區(qū)(10)（二）車(chē)燈線(xiàn)光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型(12)五、幾何模型在其它問(wèn)題中的應(yīng)用(15)（一） 醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用(15)1血管分支(15)（二） 日常生活中的應(yīng)用(16)1動(dòng)物的身長(zhǎng)與體重(16)2拐角問(wèn)題模型(17)參考文獻(xiàn)(19)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)一、 前言近年來(lái)

6、，數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)使用的頻率越來(lái)越高但是，到底什么是數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模呢？可能許多人還不是很清楚所謂數(shù)學(xué)建模就是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為某種形式語(yǔ)言（即包括常用符號(hào)、函數(shù)符號(hào)、謂詞符號(hào)等符號(hào)集合）解釋時(shí)，這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型換言之，數(shù)學(xué)模型可以描述為：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是通過(guò)抽象簡(jiǎn)化的過(guò)程，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際現(xiàn)象的一

7、個(gè)近似的刻畫(huà)，從而便于人們更深刻地認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象 數(shù)學(xué)模型模仿了一個(gè)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息加以分析、提煉、歸納、翻譯的結(jié)果它用精確的語(yǔ)言表達(dá)了對(duì)象的內(nèi)在特性，是利用函數(shù)、方程等變量描述方法以及數(shù)學(xué)概念創(chuàng)立的模型但建立數(shù)學(xué)模型并非以模型為目標(biāo)，而是為了解決實(shí)際問(wèn)題當(dāng)我們建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型時(shí)，我們從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入了充滿(mǎn)數(shù)學(xué)概念的抽象世界在數(shù)學(xué)世界內(nèi)，我們用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推理、演繹、求解，并借助于計(jì)算機(jī)處理這個(gè)模型，得到數(shù)學(xué)上的解答最后，我們?cè)倩氐浆F(xiàn)實(shí)世界，將模型的數(shù)學(xué)解“翻譯”成現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的實(shí)際“解答”，如給出現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析、預(yù)報(bào)、決策、控制的結(jié)果這些結(jié)果還必須經(jīng)實(shí)際的檢驗(yàn)，即用現(xiàn)實(shí)對(duì)象

8、的信息檢驗(yàn)得到的解答，確認(rèn)結(jié)果的正確性我們始于現(xiàn)實(shí)世界又終結(jié)于現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)模型是一道理想的橋梁在實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)學(xué)模型可按不同方式分類(lèi)若按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類(lèi)，則它可分為幾何模型、微分方程模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、馬氏鏈模型等這些模型彼此之間并非絕對(duì)孤立，而是互相滲透，互為工具在可用數(shù)學(xué)建模的方法解決的問(wèn)題中，有些比較簡(jiǎn)單，只使用其中的一種模型即可例如，一把梯子斜靠在墻上，如何測(cè)得梯子和墻的夾角呢？首先建立梯子的幾何模型，即將其假設(shè)為一線(xiàn)段，忽略其余各部分接下來(lái)，測(cè)量梯長(zhǎng)以及從梯子與墻的交點(diǎn)到地面的垂直距離再利用三角函數(shù)，便可計(jì)算出夾角但在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，僅使用幾何方面的知識(shí)或者其它某類(lèi)知

9、識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，往往是兩類(lèi)或多類(lèi)知識(shí)綜合起來(lái)使用，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果或者在原有模型的基礎(chǔ)上，使用幾何模型作為輔助手段，也會(huì)為問(wèn)題的解決帶來(lái)驚喜幾何模型不是原型，既簡(jiǎn)單于原型，又高于原型，它是對(duì)原物體簡(jiǎn)化后的產(chǎn)物幾何模型有一定的適用條件，即在所要解決的問(wèn)題中需出現(xiàn)具體實(shí)物，因?yàn)橐⑺芯繂?wèn)題的幾何模型就一定脫離不了具體實(shí)物的存在若問(wèn)題中沒(méi)有出現(xiàn)有具體形狀的物體，則幾何模型也無(wú)從談起但是由于我們所要解決的實(shí)際問(wèn)題有許多都會(huì)涉及到具體實(shí)物，所以幾何模型的應(yīng)用范圍是很廣泛的，地位是舉足輕重的下面我們將從四個(gè)方面，介紹幾何模型的具體應(yīng)用二、 幾何模型在物體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模過(guò)程是由若干個(gè)有明顯

10、差別的階段性工作組成的，可以分為問(wèn)題分析、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用等過(guò)程但建模要經(jīng)過(guò)哪些步驟并沒(méi)有一定的模式，以上只是機(jī)理分析方法建模的一般過(guò)程在本文中，受所研究問(wèn)題及篇幅所限，部分過(guò)程有所省略物體運(yùn)動(dòng)中所涉及到的物體一定是有具體形狀的，所以符合幾何模型的應(yīng)用條件分析運(yùn)動(dòng)物體的幾何結(jié)構(gòu)，對(duì)其進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，是幾何模型的一個(gè)重要應(yīng)用（一）步長(zhǎng)選擇問(wèn)題描述：人在行走時(shí)所做的功等于抬高人體重心所需的勢(shì)能與兩腿運(yùn)動(dòng)所需的動(dòng)能之和在給定速度時(shí)，以動(dòng)作最小（即消耗能量最?。樵瓌t問(wèn)走路步長(zhǎng)選擇多大為合適？問(wèn)題分析：此問(wèn)題若陷入人體復(fù)雜的生理結(jié)構(gòu)之中，將會(huì)得出過(guò)于復(fù)雜的模型而

11、失去使用價(jià)值對(duì)人體進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，是解決問(wèn)題的首要步驟由于此例要解決的是步長(zhǎng)問(wèn)題，則人體的生理結(jié)構(gòu)這一復(fù)雜因素是可以忽略的另外，依靠平時(shí)生活經(jīng)驗(yàn)的積累，可判斷影響步長(zhǎng)的主要因素有：（1）身高（或腿長(zhǎng)）；（2）體重為簡(jiǎn)化問(wèn)題的研究，做以下假設(shè)：（1）假設(shè)人體只由軀體和下肢兩部分組成，且下肢看作長(zhǎng)為、質(zhì)量為的均勻桿；（2）設(shè)軀體以勻速前進(jìn)模型建立：如圖1所示，重心升高（當(dāng)較小時(shí)）圖1腿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，角速度，單位時(shí)間的步數(shù)為所以單位時(shí)間行走所需的動(dòng)能為單位時(shí)間內(nèi)使身體重心升高所做的功為，所以單位時(shí)間行走所需的總功代入，得于是當(dāng)一定時(shí)，可使最小由，得求解完畢（二）雨中行走問(wèn)題描述：一個(gè)雨天，你有件急事需

12、要從家中到學(xué)校去學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你不準(zhǔn)備花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你也不再打算回去了一路上，你將被大雨淋濕一個(gè)似乎是很簡(jiǎn)單的事實(shí)是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少淋雨的時(shí)間但是如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略試組建數(shù)學(xué)模型來(lái)探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度問(wèn)題分析：對(duì)于這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，它的背景是簡(jiǎn)單的，人人皆知無(wú)需進(jìn)一步論述我們的問(wèn)題是，要在給定的降雨條件下設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最低分析參與這一問(wèn)題的因素，主要有：（1）降雨的大?。唬?）風(fēng)（降雨）的方向；（3）路程的遠(yuǎn)

13、近；（4）你跑的快慢為簡(jiǎn)化問(wèn)題的研究，我們假設(shè)：（1）降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水強(qiáng)度保持不變；（2）你以定常的速度跑完全程；（3）風(fēng)速始終保持不變；（4）把人體看成是一個(gè)長(zhǎng)方體的物體（此項(xiàng)為幾何方面的假設(shè)）在這些假設(shè)下，我們可以給出參與這個(gè)模型的所有參數(shù)和變量：雨中行走的距離（米）、時(shí)間（秒）、速度（）；人的身高（米）、寬度（米）和厚度（米）；身上被淋的雨水總量（升）關(guān)于降雨的大小，在這里用降水強(qiáng)度（單位時(shí)間平面上降下雨水的厚度）（）來(lái)描述模型求解：為進(jìn)一步簡(jiǎn)化這一問(wèn)題的研究，首先討論最簡(jiǎn)單的情形，即不考慮降雨角度的影響，也就是說(shuō)在你行走的過(guò)程中身體的前后左右和上方都將淋到雨水經(jīng)簡(jiǎn)單論

14、證可知，這是一個(gè)荒謬的假設(shè)，所建模型用以描述雨中行走的人被雨水淋濕的狀況是不符合實(shí)際情況的按照建模的程序，需要回到對(duì)問(wèn)題所做的假設(shè)，推敲這些假設(shè)是否恰當(dāng)這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)不考慮降雨角度的影響這個(gè)假設(shè)把問(wèn)題簡(jiǎn)化得過(guò)于簡(jiǎn)單了若考慮降雨角度的影響，則降雨強(qiáng)度已經(jīng)不能完全描述降雨的情況了現(xiàn)給出降雨的速度，即雨滴下落的速度（），以及降雨的角度（雨滴下落的反方向與你前進(jìn)的方向之間的夾角）顯然，前面提到的降雨強(qiáng)度將受降雨速度的影響，但它并不完全決定于降雨的速度，它還決定于雨滴下落的密度我們用來(lái)度量雨滴的密度，稱(chēng)為降雨強(qiáng)度系數(shù)，它表示在一定的時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)由雨滴所占據(jù)的空間的比例數(shù)于是有顯然，而當(dāng)時(shí)意味著大

15、雨傾盆，有如河流向下傾瀉一般 如圖2所示，在這種情形下為了估計(jì)出你被雨水淋濕的程度，關(guān)鍵是考慮雨滴相對(duì)于雨中行走方向的下落方向首先考慮的情況這時(shí)雨水是從前方迎面而來(lái)落下的，由經(jīng)驗(yàn)可以知道，這時(shí)被淋濕的部位將僅僅是你的頂部和前方因此淋在身上的雨水將分為兩部分來(lái)計(jì)算圖2 先考慮頂部被淋的雨水雨滴速度垂直方向的分量是，頂部的面積是不難得到，在時(shí)間內(nèi)淋在頂部的雨水量應(yīng)該是：再考慮前方表面淋雨的情況雨速水平方向的分量是，前方的面積是，故前方表面被淋到的雨水的量應(yīng)該是因此在整個(gè)行程中被淋到的雨水的總量應(yīng)該是 （1）如果假設(shè)落雨的速度是，由降雨強(qiáng)度可以估算出它的強(qiáng)度系數(shù)把這些參數(shù)值代入（1）式可以得到在這個(gè)

16、模型里有關(guān)的變量是和，其中是落雨的方向，我們希望在模型研究過(guò)程中改變它的數(shù)值；而是要選擇的雨中行走的速度由于在我們討論的情形下有，而且是的減函數(shù)，因此當(dāng)增大時(shí)淋雨量將逐漸減小考慮的情形在這種情形下，雨滴將從后面向你身上落下令，則這個(gè)情形還要按照你在雨中行走的速度再分成兩種情況首先考慮的情形，也就是說(shuō)行走的速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度這時(shí)雨滴將淋在后背上淋在背上的雨水的量是，于是淋在全身的雨水的總量應(yīng)該是當(dāng)你以可能的最大速度在雨中行進(jìn)時(shí)，雨水的總量的表達(dá)式可以化簡(jiǎn)為它表明你僅僅被頭頂部位的雨水淋濕了實(shí)際上，這意味著你剛好跟著雨滴向前走，所以身體前后都沒(méi)有淋到雨如果你的速度低于，則由于雨水落在背上，

17、而使得被淋的雨量增加因此在這種情形下淋雨量仍然是行走速度的減函數(shù)第二個(gè)情形是的情形，這時(shí)在雨中的奔跑速度比較快，要快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度這時(shí)人將不斷地追趕雨滴，雨水將淋在你的胸前被淋的雨量是于是全身被淋的雨水的總量是綜合上面分析的結(jié)果，我們可以得到淋雨量的數(shù)學(xué)模型為：正如上面分析所得到的，模型中前兩個(gè)式子都是速度的減函數(shù)但是第三個(gè)式子的情形就比較復(fù)雜了，它的增減性將取決于括號(hào)內(nèi)的式子是正還是負(fù)，它剛好是關(guān)于人的體形的一個(gè)指標(biāo)從這個(gè)模型我們可以得到如下結(jié)論：（1）如果雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單，應(yīng)該以最大的速度向前跑；（2）如果雨是從你的背后落下，這時(shí)你應(yīng)該控制你在雨中的行走

18、的速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量這時(shí)雨滴不會(huì)淋到你的前胸和后背，只淋到了頭頂上小結(jié)：通過(guò)研究前面兩個(gè)問(wèn)題，我們作以下三點(diǎn)總結(jié)：（1）在第一個(gè)問(wèn)題中，我們用幾何模型結(jié)合物理知識(shí)，解決了人體行走中的步長(zhǎng)問(wèn)題建立模型時(shí)，把人體只看作由軀干和下肢兩部分組成，是對(duì)人體的第一次簡(jiǎn)化；接著又將下肢看作長(zhǎng)為、質(zhì)量為的均勻桿，是對(duì)人體的第二次簡(jiǎn)化兩次簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的解決起到了關(guān)鍵作用，既合理簡(jiǎn)化了問(wèn)題，又未因過(guò)分簡(jiǎn)化而使模型失去其使用價(jià)值而在第二個(gè)問(wèn)題的模型建立中，將人體直接看成是一個(gè)長(zhǎng)方體的物體通過(guò)對(duì)比我們可以看出，在解決不同的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)同一物體可根據(jù)實(shí)際需要做出不同的模型假設(shè)（2）通過(guò)解決第二個(gè)問(wèn)題我

19、們還可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)模型的建立是一個(gè)對(duì)模型反復(fù)推敲不斷完善的過(guò)程雖然建立模型是為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，但有時(shí)這種簡(jiǎn)化是過(guò)度的，即得到的結(jié)果與現(xiàn)實(shí)情況出入過(guò)大這時(shí)就需要返回問(wèn)題分析這一步驟，對(duì)模型原有假設(shè)進(jìn)行修改，使其逐漸向原型靠近，從而得出合理的結(jié)論（3）除人在行走中的步長(zhǎng)選擇問(wèn)題以及雨中行走問(wèn)題外，還有很多物體運(yùn)動(dòng)值得我們研究例如汽車(chē)剎車(chē)距離問(wèn)題，即兩車(chē)之間保持多長(zhǎng)距離能保證司機(jī)在發(fā)生意外時(shí)可以及時(shí)剎車(chē)在汽車(chē)駕駛中有這樣的規(guī)則：正常駕駛條件下車(chē)速每增加10，后面與前面一輛車(chē)的距離應(yīng)增加一個(gè)車(chē)身的長(zhǎng)度有人根據(jù)這一規(guī)則，推出了所謂的“2秒準(zhǔn)則”，即后車(chē)司機(jī)若能在前車(chē)經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志的2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，則此時(shí)

20、兩車(chē)之間的距離剛好這個(gè)準(zhǔn)則的合理性如何，是否有更好的準(zhǔn)則？這些問(wèn)題都值得研究如果此準(zhǔn)則合理，就可以確定兩車(chē)在駕駛過(guò)程中應(yīng)保持的車(chē)距了三、幾何模型在運(yùn)輸問(wèn)題中的應(yīng)用英國(guó)媒體于近日?qǐng)?bào)道，英國(guó)最大的供水廠(chǎng)商泰晤士自來(lái)水公司正在考慮將北極冰山拖運(yùn)到倫敦，以化解可能面臨的百年來(lái)最嚴(yán)重的水荒該公司在倫敦舉行的一次會(huì)議上說(shuō)：“我們不得不考慮任何可能的方案，包括從北極拖運(yùn)冰山及人工造雨盡管許多人可能覺(jué)得利用冰山的想法愚蠢荒唐，但不能排除這種可能性”那么拖運(yùn)冰山這一想法可行嗎？用數(shù)學(xué)建模的方法便可解決這一問(wèn)題（一）冰山運(yùn)輸問(wèn)題描述：在水資源十分貧乏的國(guó)家，政府不得不采用淡化海水的辦法為國(guó)民提供用水，成本大約是每

21、立方米淡水英鎊有些專(zhuān)家提出從南極用拖船運(yùn)送冰山到本國(guó)，以取代淡化海水的辦法這個(gè)模型要從經(jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行詥?wèn)題分析：為了計(jì)算用拖船運(yùn)送冰山獲得每立方米水所花的費(fèi)用，我們需要搜集關(guān)于拖船的租金、運(yùn)量、燃料消耗及冰山運(yùn)輸過(guò)程中融化速率等方面的數(shù)據(jù)，以此作為建模必須的準(zhǔn)備工作 在此我們只研究冰山幾何模型的建立方法，故只給出冰山運(yùn)輸過(guò)程中的融化速率的數(shù)據(jù)表（見(jiàn)表1）所謂融化速率是指在冰山與海水、大氣接觸處冰山每天融化的速度融化速率除與船速有關(guān)外，還和運(yùn)輸過(guò)程中冰山與南極的距離有關(guān)這是由于冰山要從南極運(yùn)往赤道附近的緣故表1 冰山運(yùn)輸過(guò)程中的融化速率 與南極距離（）船速（） 0 1000 4000

22、135 0 0 0 建立模型的目的是選擇拖船的船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后，可得到的每立方米水所花的費(fèi)用最低，并與海水淡化的費(fèi)用相比較模型假設(shè)：根據(jù)建模目的和搜集到的有限的資料，需要作如下的簡(jiǎn)化假設(shè)（1）拖船航行過(guò)程中船速不變，航行不考慮天氣等任何因素的影響總航行距離為9600（2）冰山形狀為球形，球面各點(diǎn)的融化速率相同這是相當(dāng)無(wú)奈的假設(shè)，在冰山上各點(diǎn)融化速率相同的條件下，只有球形的形狀不變，這樣體積的變化才能簡(jiǎn)單地計(jì)算（3）冰山到達(dá)目的地后，1冰可以融化成0.85水模型建立：首先需要知道冰山體積在運(yùn)輸過(guò)程中的變化情況，然后是計(jì)算航行中的燃料消耗，由此可以算出到達(dá)目的地后的冰山體積和運(yùn)費(fèi)在計(jì)

23、算過(guò)程中需要根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù)擬合出經(jīng)驗(yàn)公式模型構(gòu)成可分為以下幾步（1）冰山融化規(guī)律根據(jù)假設(shè)（2）先確定冰山球面半徑的減小量，從而得到冰山體積的變化規(guī)律記冰山球面半徑融化速率為，船速為，拖船與南極距離為根據(jù)表1中融化速率的數(shù)據(jù)，可設(shè)是船速的線(xiàn)性函數(shù)，且當(dāng)時(shí)與成正比，而當(dāng)時(shí)與無(wú)關(guān)，即設(shè) （2）其中，為待定參數(shù)這可以解釋為相當(dāng)于從南極到赤道以南，海水溫度隨增加而上升，使融化速率也隨的增加而變大而后海水溫度變化較小，可以忽略利用表1所給數(shù)據(jù)確定出， （3）當(dāng)拖船從南極出發(fā)航行第天時(shí)，與南極的距離為 （4）記第天冰山球面半徑融化速率為，將（3）、（4）式代入（2）式得 （5）記第天冰山半徑為，體積為，則

24、， （6）， （7）其中，為從南極啟運(yùn)時(shí)冰山的初始半徑和體積由（5）（7）式可知冰山體積是船速、初始體積和航行天數(shù)的函數(shù)，記作，有 ， （8）其中由（5）式表示 （2）燃料消耗費(fèi)用：記為（）已知燃料消耗對(duì)船速和冰山體積的對(duì)數(shù)均按線(xiàn)性關(guān)系變化利用搜集的數(shù)據(jù)，計(jì)算出（3）運(yùn)送冰山費(fèi)用：記為費(fèi)用由拖船的租金和燃料消耗兩部分組成根據(jù)搜集的數(shù)據(jù)，得 （9）其中，表示日租金，且 （4）冰山運(yùn)抵目的地后可獲得水的體積：將代入（7）式，得冰山運(yùn)抵目的地后的體積再由假設(shè)（3），得水的體積為 （10） （5）每立方米水所需費(fèi)用：記為由（9）、（10）式顯然有模型分析：此題假設(shè)冰山呈球形，簡(jiǎn)化了計(jì)算但球形與現(xiàn)實(shí)中冰

25、山的形狀相去甚遠(yuǎn)，將其假設(shè)為圓臺(tái)更為接近此舉勢(shì)必將加大解題難度，甚至導(dǎo)致結(jié)果的變更下面我們簡(jiǎn)單分析一下，將冰山的形狀從球形改為圓臺(tái)后，會(huì)對(duì)整個(gè)建模過(guò)程造成何種影響若假設(shè)為圓臺(tái)，則圓臺(tái)的上下底面半徑、及高度的變化都要考慮在拖運(yùn)之初測(cè)量冰山圓臺(tái)的上下底面半徑、及初始高度，有以下關(guān)系：， （11）且此比例在冰山融化過(guò)程中不變記冰山圓臺(tái)下底面半徑融化速率為與例題一樣，設(shè)是船速的線(xiàn)性函數(shù)，且當(dāng)時(shí)與成正比，而當(dāng)時(shí)與無(wú)關(guān)，即設(shè) （12）其中，為待定參數(shù)要確定、的值，需要給出另外一組測(cè)量數(shù)據(jù)將代入（12）式，即得第天冰山圓臺(tái)下底面半徑的融化速率記圓臺(tái)所在圓錐的高為，則 （13）記第天冰山上下底面半徑為、，高為

26、，圓臺(tái)所在圓錐的高為，體積為，則， （14）， （15）， （16）由（11）（16）式可知冰山體積是船速、初始體積和航行天數(shù)的函數(shù)，記作 至此，只要給出所需數(shù)據(jù)，我們便可計(jì)算出由于的改變，之后的燃料消耗費(fèi)用、運(yùn)送冰山費(fèi)用、冰山運(yùn)抵目的地后可獲得水的體積、每立方米水所需費(fèi)用都會(huì)發(fā)生變化，從而可能導(dǎo)致此方案的可行性發(fā)生變更四、幾何模型在汽車(chē)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用 汽車(chē)在我國(guó)的普及率正在穩(wěn)步提升，它以其便捷高速的特性吸引著人們的注意力，所以有越來(lái)越多的人選擇汽車(chē)作為了代步工具但是汽車(chē)的設(shè)計(jì)還有許多有待改進(jìn)的地方，例如車(chē)身的形狀、各部件的設(shè)計(jì)、安全裝置等都有繼續(xù)完善的必要所以此領(lǐng)域的研究有著重要的應(yīng)用

27、價(jià)值和商業(yè)價(jià)值，已為更多人所重視（一）駕駛盲區(qū) 問(wèn)題描述：在汽車(chē)駕駛過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)這種情況：在擁擠的道路變換車(chē)道與轉(zhuǎn)彎時(shí)，后方突然有車(chē)輛出現(xiàn)，司機(jī)防范不及，造成車(chē)禍試分析車(chē)禍原因，并給出解決方案問(wèn)題分析：汽車(chē)上共有內(nèi)外三面后視鏡，駕駛員通過(guò)這三面鏡子來(lái)觀(guān)察后面的車(chē)流情況，以決定何時(shí)可以轉(zhuǎn)彎，而不會(huì)有危險(xiǎn)發(fā)生但是由于后視鏡的尺寸都不是很大，這樣使駕駛員能看到的范圍就很小需要看到的地方?jīng)]辦法看到，那塊地方就是所謂的盲區(qū)存在著盲區(qū)就存在著一定的安全問(wèn)題，車(chē)禍出現(xiàn)的原因就在于此若想避免此類(lèi)車(chē)禍的發(fā)生，必須改善后視鏡的設(shè)計(jì)，使盲區(qū)的范圍縮小或者消失后視鏡的角度雖然可調(diào)節(jié)，但一般都由司機(jī)固定在其最習(xí)慣的地方

28、，即可觀(guān)察到的區(qū)域范圍已確定，如圖3所示 模型假設(shè)： （1）設(shè)汽車(chē)為長(zhǎng)方體，俯視為長(zhǎng)方形，且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，司機(jī)位于其對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)（在車(chē)內(nèi)）； （2）假設(shè)兩外后視鏡與車(chē)身的夾角為，此值固定不變；圖3 （3）假設(shè)汽車(chē)所行駛的車(chē)道兩旁分別只有一個(gè)車(chē)道由對(duì)稱(chēng)性，我們只研究左側(cè)車(chē)道上的車(chē)輛 通常汽車(chē)所安裝的后視鏡均為平面鏡，這樣設(shè)計(jì)是為了使駕駛員觀(guān)察到的物體不變形，符合人的視覺(jué)習(xí)慣，但缺點(diǎn)是視野較小擴(kuò)大視野是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵眾所周知，凸面鏡的成像區(qū)域要比平面鏡大很多，所以考慮將平面鏡換為凸面鏡是否可以若直接將平面鏡換為凸面鏡，勢(shì)必將影響司機(jī)的正常駕駛，從而造成新的隱患所以我們不妨考慮在外后視鏡的外端或內(nèi)

29、后視鏡的上方添加凸面鏡（本文只研究在外后視鏡的外端添加凸面鏡這種情況），這樣便可使問(wèn)題得到解決接下來(lái)，需要考慮的問(wèn)題是，選擇什么弧度的球冠最為合適球冠的選擇不是半徑越小、弧度越大就越好，而是使司機(jī)可以觀(guān)察到需要觀(guān)察的車(chē)輛就可以了根據(jù)上面的假設(shè)，我們可以給出參與這個(gè)模型的所有參數(shù)和變量：汽車(chē)的長(zhǎng)、寬；駕駛時(shí)前后兩車(chē)的車(chē)距；視野需擴(kuò)大到角；所需凸面鏡的長(zhǎng)度模型建立：球面上各點(diǎn)入射光線(xiàn)的反射光線(xiàn)可根據(jù)該點(diǎn)的切平面確定由于車(chē)道上需要觀(guān)察的車(chē)輛與所在車(chē)輛位于同一水平位置，所以要確定取何種球冠最為合適，只需研究球冠與此水平面相交的弧上的點(diǎn)的反射光線(xiàn)即可如圖4所示，標(biāo)出各變量圖4如圖5所示，由汽車(chē)的長(zhǎng)、寬及

30、車(chē)距，可知 （17）若角確定，則反射光線(xiàn)也可確定，即兩線(xiàn)的夾角可測(cè)設(shè)測(cè)量結(jié)果為，因入射角等于反射角，故入射角的角度為圖4中的表示的是法線(xiàn)與凸面鏡的邊的夾角，顯然有 （18）故球的半徑為 （19）圖5綜合（17）（19）式，便可確定球的大小及所需球冠的大小問(wèn)題得解模型分析：在本題中，我們選取的是整個(gè)球冠其實(shí)，在平時(shí)使用時(shí)，球冠的上半部分基本沒(méi)有太大用途因?yàn)橛缮习肭蚬谟^(guān)察到的物體多為高空景物，這對(duì)駕駛員來(lái)說(shuō)不僅沒(méi)有太大用處，而且還會(huì)分散其注意力，帶來(lái)不必要的麻煩所以，我們還可對(duì)模型做進(jìn)一步的修改，將球冠改為半球冠，只要其下半部分就足夠了 本例題的研究結(jié)果可應(yīng)用到其他方面例如在某些小區(qū)的十字路口會(huì)放

31、有一個(gè)凸面鏡行人可以用它觀(guān)察到其它路口的路況，從而減少交通事故的發(fā)生這個(gè)凸面鏡的放置原理和汽車(chē)的后視鏡是一樣的，所以它的位置亦可用此模型來(lái)確定（二）車(chē)燈線(xiàn)光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型問(wèn)題描述：假設(shè)汽車(chē)頭部的車(chē)燈的反光面為一旋轉(zhuǎn)拋物面，燈絲是一線(xiàn)光源要求設(shè)計(jì)線(xiàn)光源的長(zhǎng)度，使車(chē)燈既滿(mǎn)足技術(shù)要求，又使線(xiàn)光源的功率最小問(wèn)題分析：線(xiàn)光源任意一點(diǎn)發(fā)出的光，可直接照射在光屏上，也可以經(jīng)過(guò)燈罩(旋轉(zhuǎn)拋物面)一次反射(不考慮二次反射)后，間接照射在光屏上線(xiàn)光源上不同位置的點(diǎn)發(fā)射的光線(xiàn)投射到拋物面上，反射后能夠到達(dá)指定點(diǎn)的投射點(diǎn)的集合(稱(chēng)為有效投射點(diǎn)的集合)是不同的因?yàn)榫€(xiàn)光源過(guò)焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)水平放置，線(xiàn)光源上點(diǎn)的位置分布僅與長(zhǎng)度

32、有關(guān)，因此在滿(mǎn)足設(shè)計(jì)規(guī)范要求的條件下，尋求線(xiàn)光源功率最小，線(xiàn)光源長(zhǎng)度是決定因素，而弄清線(xiàn)光源上各點(diǎn)有效投射點(diǎn)的情況，則是解決問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵所在模型假設(shè)：（1）不考慮光的二次反射；（2）不考慮光的折射；（3）不考慮光的干涉和衍射；（4）光在傳播過(guò)程中不吸收新的能量，僅考慮光的擴(kuò)散；（5）光在同一連續(xù)均勻介質(zhì)中(例如空氣)傳播；（6）燈絲為理想線(xiàn)光源，沒(méi)有橫向尺寸，不考慮燈管遮光；（7）旋轉(zhuǎn)拋物面可認(rèn)為由無(wú)數(shù)微小平面鏡組成，入射光發(fā)生完全鏡面反射，旋轉(zhuǎn)拋物面不吸收能量圖6 模型建立：如圖6所示，按照右手螺旋準(zhǔn)則建立空間直角坐標(biāo)系（單位：），根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以求出旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為，焦點(diǎn)，切平面的方程

33、滿(mǎn)足切平面方程，即 （20）入射光線(xiàn) 法線(xiàn) 反射光線(xiàn)由反射定律，入射光線(xiàn)、法線(xiàn)、反射光線(xiàn)在同一個(gè)平面內(nèi)，則由向量的知識(shí)，三向量的混合積為0，可得到 （21）在拋物面上，滿(mǎn)足分析（21）式：當(dāng)，而時(shí)，得到得到，求得，即僅在線(xiàn)光源上滿(mǎn)足的點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)拋物面上的點(diǎn)反射后可經(jīng)過(guò)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，反射點(diǎn)位于用平面截旋轉(zhuǎn)拋物面所得的拋物線(xiàn)上以上分析僅是反射光線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的必要條件，但給出了線(xiàn)光源上點(diǎn)的初步劃分，大大縮小了討論的范圍為保證區(qū)域劃分的準(zhǔn)確性，需要再通過(guò)計(jì)算機(jī)變步長(zhǎng)搜索的方法來(lái)加強(qiáng)該結(jié)論下面，利用虛像、反射點(diǎn)、光屏上點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)的條件，以為變量分別表示出、，再利用Matlab對(duì)進(jìn)行變步長(zhǎng)搜索，找出有效投射點(diǎn)集合

34、的變化規(guī)律，進(jìn)一步完善上述結(jié)論具體步驟如下：由平面解析幾何知識(shí)，平面內(nèi)垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行，顯然，即，得到 （22）聯(lián)立（20）、（22）式，得到 （23）反射光線(xiàn)能經(jīng)過(guò)點(diǎn)的充分必要條件是、 、三點(diǎn)共線(xiàn)，因?yàn)?，所?，得 （24）聯(lián)立（23）、（24）式，可以得到以為變量表達(dá)的的值，對(duì)于任一給定的，根據(jù)值的有效個(gè)數(shù)便可確定有效投射點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而校驗(yàn)線(xiàn)光源區(qū)段劃分的正確性即線(xiàn)光源有如下劃分： 當(dāng)時(shí)，沒(méi)有反射線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有2條反射線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)； 當(dāng)，有4條反射線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有2條反射線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) 同理當(dāng)反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)亦可進(jìn)行相同分析，劃分如下： 當(dāng)時(shí)，沒(méi)有反射光經(jīng)過(guò)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有

35、4條反射光經(jīng)過(guò)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有2條反射光經(jīng)過(guò)點(diǎn)很顯然，以上對(duì)線(xiàn)光源的分段對(duì)應(yīng)著不同的積分域，欲求、點(diǎn)的光強(qiáng)度，只需對(duì)點(diǎn)光源的功率分段積分求和即可記線(xiàn)光源的功率，線(xiàn)光源長(zhǎng)度，設(shè)從線(xiàn)光源上任意一點(diǎn)經(jīng)過(guò)反射或直射到達(dá)指定點(diǎn)的總光線(xiàn)條數(shù)為，對(duì)應(yīng)的每條路徑的長(zhǎng)度為，則可以建立如下模型，小結(jié)：此題是2002年全國(guó)數(shù)學(xué)建模大賽c試題，難度較前面幾道例題有所增加，其中運(yùn)用到了立體幾何、解析幾何、物理中的大量知識(shí)，尤其以幾何模型為主可見(jiàn)，幾何模型在本題中的作用還是十分重要的，它與其它模型相輔相成，共同構(gòu)成數(shù)學(xué)建模的核心五、幾何模型在其它問(wèn)題中的應(yīng)用（一）醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用醫(yī)學(xué)研究中會(huì)遇到很多棘手問(wèn)題，這些問(wèn)題有時(shí)無(wú)法通

36、過(guò)實(shí)驗(yàn)得到解決，于是我們可以從理論上建立其幾何模型，分析合理性1血管分支問(wèn)題描述：動(dòng)物為了維持血液在血管中流動(dòng)，要向血管提供能量，其中一部分用于供給血管壁營(yíng)養(yǎng)，另一部分用來(lái)克服血液流動(dòng)受到的阻力，消耗的能量與血管的幾何形狀有關(guān)有人研究發(fā)現(xiàn)，某種動(dòng)物的血管分支角度幾乎是固定的因此，就提出一種假說(shuō)，認(rèn)為生物在長(zhǎng)期進(jìn)化過(guò)程中，血管的幾何形狀向消耗能量最小的方面轉(zhuǎn)變下面的模型主要研究血管分支處粗細(xì)血管半徑的比例和分叉的角度在消耗能量最小的原則下該取什么值問(wèn)題分析：為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們對(duì)模型作一些假設(shè)：（1）一條血管在分支處分為兩條細(xì)血管，分叉點(diǎn)附近三條血管共面，且有一條對(duì)稱(chēng)軸，這是幾何上的假設(shè)；（2）把

37、血液在血管中的流動(dòng)視為粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)，這是物理上的假設(shè)；（3）血液對(duì)血管壁提供營(yíng)養(yǎng)的能量隨血管壁表面積及血管壁的體積的增加而增加；血管壁的厚度與血管半徑成正比，這是生物上的假設(shè)模型的建立：（1）由假設(shè)（1），如圖7所示標(biāo)出各種符號(hào)并設(shè)血液在粗細(xì)血管單位時(shí)間的流量分別為與，則=2 圖7（2）由假設(shè)（2），利用流體力學(xué)的結(jié)果：在單位長(zhǎng)的管道中，阻力與流量的平方成正比，與半徑的4次方成反比從而為克服阻力而消耗的能量為：（為比例系數(shù)）（3）一般地，對(duì)半徑為長(zhǎng)為的血管，內(nèi)表面積，即與成正比，若記為壁厚，則管壁的體積又由假設(shè)（3），與成正比，因此，與成正比從而供給血管壁營(yíng)養(yǎng)所消耗的能量中，含一

38、項(xiàng)與成正比，另一項(xiàng)與成正比為簡(jiǎn)化計(jì)算，可設(shè)供給單位長(zhǎng)血管壁營(yíng)養(yǎng)所消耗的能量為（），為比例系數(shù)因此血液從點(diǎn)A流到點(diǎn)與的過(guò)程共消耗的能量， （25）， （26）， （27） （28）將（26）、（27）、（28）式，代入（25）式得到為、的三元函數(shù) （二）日常生活中的應(yīng)用1動(dòng)物的身長(zhǎng)與體重問(wèn)題描述：四足動(dòng)物的軀干與其體重之間有什么關(guān)系？此問(wèn)題有一定的實(shí)際意義比如在生豬收購(gòu)站，工作人員希望能從生豬的身長(zhǎng)估計(jì)出它的體重圖8問(wèn)題分析與模型建立：同第一個(gè)問(wèn)題，對(duì)此問(wèn)題如果陷入生物學(xué)復(fù)雜的生理結(jié)構(gòu)的研究，將會(huì)得出太復(fù)雜的模型，而失去使用價(jià)值在這里我們用類(lèi)比方法借助于彈性力學(xué)的結(jié)果，建立一個(gè)粗略的幾何模型把四足動(dòng)物的軀干視為圓柱體，長(zhǎng)度為，直徑為，底面積為如圖8所示，將此圓柱體的軀干類(lèi)比作一根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學(xué)的研究結(jié)果設(shè)動(dòng)物在自身體重作用下，軀干的最大下垂度為，也即是梁的最大彎曲度由彈性力學(xué)的研究結(jié)果知因?yàn)?，即體重與體積成正比，所以， 其中是動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度生物學(xué)上認(rèn)為，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的進(jìn)化，對(duì)于每一種動(dòng)物而言，已經(jīng)達(dá)到一個(gè)最適合的數(shù)值，即可設(shè)其為常數(shù)從而也為常數(shù)，所以， ，即動(dòng)物的體重與軀干長(zhǎng)度的4次方成正比當(dāng)然，比例系數(shù)與動(dòng)物的種類(lèi)有關(guān)至此，我們就建立了該問(wèn)題的幾何模型小結(jié)：在此模型的構(gòu)成過(guò)程中，有兩點(diǎn)值得我們注意首先，此模型的建立，只用到簡(jiǎn)