平面向量相關(guān)題目解題技巧

1、平面向量相關(guān)題目解題技巧天津工業(yè)大學(xué) 殷航平面向量作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，其相關(guān)題目也是高考中的難題。因此，就需要我們掌握一些技巧。下面筆者拋磚引玉分條介紹這些技巧，希望能助同學(xué)們一臂之力。一 、化一般為特殊例1ABC的外接圓的圓心為O，兩邊上的高的交點(diǎn)為H，OH=m（OA+OB+OC），則實(shí)數(shù)m=_ 分析：取A=90°則A、H重合，O為BC的中點(diǎn)OB+OC=0OH=mOA= mOHm=1二、 建立坐標(biāo)系例2已知向量a、b、c兩兩所成的角相等，并且a=1 b=2 c=3，求a+b+c的長(zhǎng)度及與三已知向量的夾角解：由已知a，b，c兩兩成120°角，建立坐標(biāo)系使c=（0，3）a

2、=（-31/2/2，-1/2）b=（31/2，-1）a+b+c=（31/2/2，3/2）a+b+c=31/2，a與a+b+c所成的角為cos=（a+b+c）a/a+b+ca=-31/2/2a與a+b+c所成的角為150°同理，b與a+b+c所成的角為90°c與a+b+c所成的角為30°推廣：利用平面向量基本定理（如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那麼對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)12使a=1e1+2e2，其中e1，e2是一組基底）設(shè)一組基底解題例3如圖所示，平行四邊形ABCD，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上且BN=BD/3求證：M、N、C三點(diǎn)

3、共線 設(shè)一組基底i，j分別與向量AB，AD同向AB=6i AD=6jMB=3i MC=MB+BC=3i+6jMN=MB+BN=1/2AB+1/3BD=1/2AB+1/3（AD-AB）=1/6AB+1/3AD=i+2jMC=3MNM、N、C三點(diǎn)共線三、xa+yb的處理方法1、利用a-ba±ba+b2、平方：轉(zhuǎn)化為x2a2+2xyab+y2b2例4（04湖南）已知向量a=（cos，sin）向量b=（31/2，-1）則2a-b的最大值，最小值分別為（ ）A 4（2）1/2，0 B 4，2（2）1/2 C 16，0 D 4，0法12a-b2a-b2a+b2a=b=22a-b=0 2a+b=4

4、即02a-b4 選D法2 2a-b2= 4a2-4ab+b2=8-4（31/2cos-sin）=8-8cos（+/3）-1cos（+/3）102a-b21602a-b4 選D 四、 利用重要結(jié)論：向量OA、OB、OC，終點(diǎn)A、B、C共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)、且+=1使得OC=OA+OB例5設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量tR，若OA=a，OB=tb，OC=1/3（a+b）則t為何值時(shí)A、B、C三點(diǎn)共線解：若A、B、C三點(diǎn)共線,則OC=（1-）OA+OB=（1-）a+tb 1-=1/3t=1/3 =2/3t=1/2 t=1/2時(shí)A、B、C三點(diǎn)共線五、利用平面幾何知識(shí)解題例6（03天津）O是平面上一

5、定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 AB AC OP=OA+ AB +AC 0,+）則P的軌跡一定通過(guò)ABC的( )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 分析:由已知 AB ACAP= AB+ACAP與BAC的平分線共線即P的軌跡一定通過(guò)ABC的內(nèi)心六、將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題例7已知向量OB=(2,0)向量OC=（2，2）向量CA=（21/2cos，21/2sin）則向量OA與向量OB的夾角的范圍為（ ）A0，/4 B/4，5/12 C5/12，/2 D/12，5/12分析: 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系如圖可知，點(diǎn)A的軌跡為圓C：（x-2）2+（y-2）2=2設(shè)向量OA與向量OB

6、的夾角為圓C過(guò)O的切線方程為y=kx，k=tan （x-2）2+（y-2）2=2y=kx得（k2+1）x2-4（k+1）x+6=0=16（k+1）2-46（k2+1）=0解得k=2±31/2tan的最大值為2+31/2tan的最小值為2-31/2/12，5/12 選D七、投影法例8（06四川）如圖，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是（ ）A P1P2P1P3B P1P2P1P4C P1P2P1P5D P1P2P1P6分析:P1P2P1Pi=P1P2P1PicosP1P2，P1Pi（i=3，4，5，6）要找P1P2P1Pi的最大值，即找P1Pi在P1P2方向上投影的最大值如圖P1Pi在P1P2方向上的投影分別為P1Q1，P1P2，P1，-P1Q2，所以P1Q1最大即P1P2P1P3最大，選A八、拆分向量法例9（04湖北）如圖在RtABC中已知BC=a若長(zhǎng)為2a的線段PQ以A為中點(diǎn)，問(wèn)PQ與BC的夾角取何值時(shí)，BPCQ的值最大，并求出這個(gè)最大值。解：，BPCQ=（AP-AB）（AQ-AC）=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC=-a