求下列各平面的坐標式參數(shù)方程和一般方程

1、第三章1.求下列各平面的坐標式參數(shù)方程和一般方程：（1）通過點和點且平行于矢量的平面（2）通過點和且垂直于坐標面的平面；（2）已知四點，。求通過直線AB且平行于直線CD的平面，并求通過直線AB且與平面垂直的平面。解： （1） ，又矢量平行于所求平面，故所求的平面方程為： 一般方程為：（2）由于平面垂直于面，所以它平行于軸，即與所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的參數(shù)方程為：一般方程為：，即。（3）（）設平面通過直線AB，且平行于直線CD： ，從而的參數(shù)方程為：一般方程為：。（）設平面通過直線AB，且垂直于所在的平面， 均與平行，所以的參數(shù)式方程為：一般方程為：.2.化一般方程

2、為截距式與參數(shù)式： .解： 與三個坐標軸的交點為：，所以，它的截距式方程為：.又與所給平面方程平行的矢量為：， 所求平面的參數(shù)式方程為：3.證明矢量平行與平面的充要條件為：.證明： 不妨設，則平面的參數(shù)式方程為：故其方位矢量為：，從而平行于平面的充要條件為：，共面.4.已知：連接兩點的線段平行于平面，求里的坐標.解： 而平行于由題3知：從而.5.計算下列點和平面間的離差和距離：（1）， ；（2）， .解： 將的方程法式化，得： ，故離差為：，到的距離（2）類似（1），可求得，到的距離6.求下列各點的坐標：（1）在軸上且到平面的距離等于4個單位的點；（2）在軸上且到點與到平面距離相等的點；（3）

3、在x軸上且到平面和距離相等的點。解：（1）設要求的點為則由題意 或7.即所求的點為（0，-5，0）及（0，7，0）。（2）設所求的點為則由題意知：由此，或-82/13。故，要求的點為及。（3）設所求的點為，由題意知：由此解得：或11/43。所求點即（2，0，0）及（11/43，0，0）。7.已知四面體的四個頂點為，計算從頂點向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程為：所以，高。8.求中心在且與平面相切的球面方程。解：球面的半徑為C到平面：的距離，它為：，所以，要求的球面的方程為：.即：.9.判別下列各對直線的相關位置：（1）與；（2）與；（3）與。解：（1） ， （1）中的兩平面平行（不重合

4、）；（2） ， （2）中兩平面相交；（3） ， （3）中兩平面平行（不重合）。10.分別在下列條件下確定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使與表示二平行平面；（3）使與表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，則：即：從而：，。（2）欲使所給的二方程表示二平行平面，則：所以：，。（3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，則：所以： 。11.求下列兩平行平面間的距離：（1），；（2），。解：（1）將所給的方程化為：所以兩平面間的距離為：2-1=1。（2）同（1）可求得兩平行平面間的距離為1+2=3。12.求下列個組平面成的角：（1），；（2），。解：（1）設：，： 或。（2）設

5、：，： 或。13.求下列各直線的方程：（1）通過點和點的直線；（2）通過點且平行于兩相交平面：的直線；（3）通過點且與三軸分別成的直線；（4）通過點且與兩直線和垂直的直線；（5）通過點且與平面垂直的直線。解：（1）由本節(jié)（3.46）式，得所求的直線方程為：即：，亦即。（2）欲求直線的方向矢量為：所以，直線方程為：。（3）欲求的直線的方向矢量為：，故直線方程為：。（）欲求直線的方向矢量為：，所以，直線方程為：。（）欲求的直線的方向矢量為：，所以直線方程為：。14.求以下各點的坐標：（）在直線上與原點相距個單位的點；（）關于直線與點對稱的點。解：（）設所求的點為，則：又即：，解得：或所以要求的點的

6、坐標為：。（）已知直線的方向矢量為：，或為，過垂直與已知直線的平面為：，即，該平面與已知直線的交點為，所以若令為P的對稱點，則：，即。15.求下列各平面的方程：（）通過點，且又通過直線的平面；（）通過直線且與直線平行的平面；（）通過直線且與平面垂直的平面；（）通過直線向三坐標面所引的三個射影平面。解：（）因為所求的平面過點和，且它平行于矢量，所以要求的平面方程為：即。（）已知直線的方向矢量為，平面方程為：即（）要求平面的法矢量為，平面的方程為：，即。（4）由已知方程分別消去，得到：，此即為三個射影平面的方程。16.化下列直線的一般方程為射影式方程與標準方程，并求出直線的方向余弦：（1） （2）

7、（3）解：（1）直線的方向數(shù)為：射影式方程為： ，即，標準方程為：，方向余弦為：，。（2）已知直線的方向數(shù)為：，射影式方程為：，即標準方程為：，方向余弦為：，。（3）已知直線的方向數(shù)為：，射影式方程為： ，標準式方程為：，方向余弦為：，。17.判別下列直線與平面的相關位置：（1）與；（2）與；（3）與；（4）與。解：（1），而，所以，直線與平面平行。（2）所以，直線與平面相交，且因為，直線與平面垂直。（3）直線的方向矢量為：，而點在直線上，又，所以，直線在平面上。（4）直線的方向矢量為， 直線與平面相交。18.試驗證直線：與平面：相交，并求出它的交點和交角。解： 直線與平面相交。又直線的坐標式

8、參數(shù)方程為： 設交點處對應的參數(shù)為，從而交點為（1，0，-1）。又設直線與平面的交角為，則：，。19.確定的值，使：（1）直線與平面平行；（2）直線與平面垂直。解：（1）欲使所給直線與平面平行，則須：即。（2）欲使所給直線與平面垂直，則須：所以：。20.決定直線和平面的相互位置。解：在直線上任取，有： 這表明在平面上，所以已給的直線處在已給的平面上。21.直線方程的系數(shù)滿足什么條件才能使：（1）直線與軸相交； （2）直線與軸平行； （3）直線與軸重合。解：（1）所給直線與軸相交 使且 且 ，不全為零。（2）軸與平面平行 又軸與平面平行，所以 即，但直線不與軸重合， 不全為零。（3）參照（2）有

9、，且。22.確定值使下列兩直線相交：（1）與軸； （2）與解：（1）若所給直線相交，則有（類似題1）：從而 。（2）若所給二直線相交，則從而：。23.判別下列各對直線的相互位置，如果是相交的或平行的直線求出它們所在的平面；如果是異面直線，求出它們之間的距離。（1）與；（2）與；（3）與。解：（1）將所給的直線方程化為標準式，為：（-2）：3：4=2：（-3）：（-4）二直線平行。又點與點（7，2，0）在二直線上，矢量平行于二直線所確定的平面，該平面的法矢量為：，從而平面方程為：，即 。（2）因為，二直線是異面的。二直線的距離：。（3）因為，但是：1：2：（-1）4：7：（-5）所以，兩直線相交，二直線所決定的平面的法矢量為，平面的方程為：。24.給定兩異面直線：與，試求它們的公垂線方程。解：因為，公垂線方程為：即，亦即。25.直線通過原點的條件是什么？解：已知直線通過原點故條件為。26.求點到直線的距離。解：直線的標準方程為：所以，p到直線的距離為：。27.求通過平面和的交線且滿足下列條件之一的平面：（1）通過原點； （2）與軸平行；（3）與平面垂直。解：（1）設所求的平面為：欲使平面通過原點，則須：，即，故所求的平面方程為：即：。（2）同（1）中所設，可求出。故所求的平面方程為：即：。（3）如（1）所設，欲使所求平面與平面垂直，則須：從而：，所以所求平面方程為：。28