極限的計算無窮小等價替換

1、模塊基本信息一級模塊名稱函數(shù)與極限二級模塊名稱計算模塊三級模塊名稱極限的計算無窮小等價替換模塊編號1-12先行知識1、無窮小量模塊編號1-102、等價無窮小的定義模塊編號1-11知識內(nèi)容教學(xué)要求掌握程度1、常用等價無窮??；1、熟記幾個常用的等價無窮??；一般掌握2、無窮小替換求極限的方法；2、理解等價替換原理；3、熟記等價替換的條件并能熟練掌握其應(yīng)用；能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識的能力時間分配30分鐘編撰堯克剛校對熊文婷審核危子青修訂熊文婷二審危子青一、正文編寫思路及特點：思路：在熟記常用等價無窮小量的基礎(chǔ)，按照由易到難得順序講題例題和習(xí)題使學(xué)生能夠靈活運用無窮小量的的等價替換掌握-型極限的求解

2、方0法。特點：通過例題及練習(xí)的變形，使學(xué)生學(xué)會靈活運用知識的能力。二、授課部分1、預(yù)備知識(1)無窮小的定義：在自變量的某種趨勢卜，以零為極限的函數(shù)(x)稱為無窮小量，簡稱無窮小.(2)等價無窮小的定義：若,是無窮小量且lim-=1,則稱,是等價無窮小量，記作:2、常用等價無窮?。寒?dāng)0時,(1)(2)arcsinxx;x;(4)arctanxx；ln(1x)x；(3)tanx(6)ex12xcosx2(8)(1x)1(9)ax-1xlna注：在教學(xué)中選擇性地證明幾個等價無窮小ex1引例limx0cosx13、等價無窮小的替換定理定理設(shè),且lim存在，則lim證：limlim()limlimli

3、mlim.一lim一.4、等價無窮小替換求極限的求解案例（一）直接替換求極限:（一級）fex1例1.(1)lim；x0cosx1(2)lxmosin2xxx21解：（1）原式=lim一=;x0x2.一一,、2x（2）當(dāng)x0時，sin2x2x.故原式lim=2.x0x【注意】等價無窮小的替換能直接用在乘、除運算，一般不能用在加、減法運算中.（二）四則運算變形后進(jìn)行替換求極限：（二級）/加。tanxsinx例2.求lim3.x0sin32x解：13當(dāng)x0時，sin2x2x,tanxsinxtanx（1cosx）x,13二x1所以原式=lim3.x?0（2x）316必c-tan5xcosx1例3.求

4、lim.x0sin3x12解：tan5x5x,sin3x3x,1cosxx2212*百tan5x1-cosx5x2_5原式=lim-=lim-2-=一.x?0sin3xsin3xx?03x3x3（選講）（三）其它情形進(jìn)行替換求極限：（三級）xx-1例4.求lim.x?1xlnx解：當(dāng)x1時，t=xlnx?0,xxlnxt則x-1=e-1=e-1:t=xlnx,用等價無窮小替換得limX=lim如=1.x?1xlnxx?1xlnx1sin3x例5.求lim(1tan2x)解：因為當(dāng)x0時，tan2x:2x,sin2x:3x,11tan2x所以lim(1tan2x)旃lim(1tan2x)由廝x0x0'1tan2x1sin3x2lim(1tan2x)tan2xe3.x0三、能力反饋部分1、(考查學(xué)生對等價無窮小替換求極限的方法的掌握情況)直接用等價替換：(1 2 lim -4x 0(excosx) arctan3x1)ln(1 2x)sin 5x/八tanx.ln(1x)(1)一x0sinx四則運算變換后進(jìn)行替換xecosx(3)limx0x其它情況等價替換(選做)213sinxxcos