正常水準面不平行性及其改正數(shù)計算

1、5.7 正常水準面不平行性及其改正數(shù)計算 如果假定不同高程的水準面是相互平行的，那么水準測量所測定的高差，就是水準面間的垂直距離。這種假定在較短距離內(nèi)與實際相差不大，而在較長距離時，這種假定是不正確的。5.7.1 水準面不平行性 在空間重力場中的任何物質(zhì)都受到重力的作用而使其具有位能。對于水準面上的單位質(zhì)點而言，它的位能大小與質(zhì)點所處高度及該點重力加速度有關。我們把這種隨著位置和重力加速度大小而變化的位能稱為重力位能，并以表示，則有 （5-17）式中，為重力加速度；為單位質(zhì)點所處的高度。圖5-33 我們知道，在同一水準面上各點的重力位能相等，因此，水準面稱為重力等位面，或稱重力位水準面。如果將

2、單位質(zhì)點從一個水準面提高到相距的另一個水準面，其所做功就等于兩水準面的位能差，即。在圖5-51中，設、分別表示兩個非常接近的水準面在兩點的垂直距離，、為兩點的重力加速度。由于水準面具有重力位能相等的性質(zhì)，因此兩點所在水準面的位能差應有下列關系 （5-18） 我們知道，在同一水準面上的不同點重力加速度值是不同的，因此由式（5-18）可知，與必定不相等，也就是說，任何兩鄰近的水準面之間的距離在不同的點上是不相等的并且與作用在這些點上的重力成反比。以上的分析說明水準面不是相互平行的，這是水準面的一個重要特性，稱為水準面不平行性。 重力加速度值是隨緯度的不同而變化的，在緯度較低的赤道處有較小的值，而在

3、兩極處值較大，因此，水準面是相互不平行的、且為向兩極收斂的、接近橢圓形的曲面。 水準面的不平行性，對水準測量將產(chǎn)生什么影響呢？ 我們知道，水準測量所測定的高程是由水準路線上各測站所得高差求和而得到的。在圖5-34中，地面點的高程可以按水準路線各測站測得高差之和求得，即如果沿另一條水準路線施測，則點的高程應為水準路線各測站測得高差之和，即 由水準面的不平行性可知，因此也必定不等，也就是說，用水準測量測得兩點間高差的結果隨測量所循水準路線的不同而有差異。 如果將水準路線構成閉合環(huán)形，既然，可見，即使水準測量完全沒有誤差，這個水準環(huán)形路線的閉合差也不為零。在閉合環(huán)形水準路線中，由于水準面不平行所產(chǎn)生

4、的閉合差稱為理論閉合差。 由于水準面的不平行性，使得兩固定點間的高差沿不同的測量路線所測得的結果不一致而產(chǎn)生多值性，為了使點的高程有惟一確定的數(shù)值，有必要合理地定義高程系，在大地測量中定義下面三種高程系統(tǒng)：正高，正常高及力高高程系。5.7.2 正高高程系 正高高程系是以大地水準面為高程基準面，地面上任一點的正高高程（簡稱正高），即該點沿垂線方向至大地水準面的距離。如圖5-34中，點的正高，設以表示，則有圖5-34 （5-19） 設沿垂線的重力加速度用表示，在垂線的不同點上，也有不同的數(shù)值。由式(5-18)的關系可以寫出 或 （5-20） 將（5-20）式代入（5-19）式中，得 （5-21）如

5、果取垂線上重力加速度的平均值為，上式又可寫為 （5-22）從（5-22）式可以看出，某點的正高不隨水準測量路線的不同而有差異，這是因為式中為常數(shù)，為過點的水準面與大地水準面之間的位能差，也不隨路線而異，因此，正高高程是惟一確定的數(shù)值，可以用來表示地面的高程。 如果沿著水準路線每隔若干距離測定重力加速度，則（5-22)式中的值是可以得到的。但是由于沿垂線的重力加速度不但隨深入地下深度不同而變化，而且還與地球內(nèi)部物質(zhì)密度的分布有關，所以重力加速度的平均值并不能精確測定，也不能由公式推導出來，所以嚴格說來，地面一點的正高高程不能精確求得。5.7.3 正常高高程系 將正高系統(tǒng)中不能精確測定的用正常重力

6、代替，便得到另一種系統(tǒng)的高程，稱其為正常高，用公式表達為 （5-23）式中，g由沿水準測量路線的重力測量得到；是水準測量的高差，是按正常重力公式算得的正常重力平均值，所以正常高可以精確求得，其數(shù)值也不隨水準路線而異，是惟一確定的。因此，我國規(guī)定采用正常高高程系統(tǒng)作為我國高程的統(tǒng)一系統(tǒng)。 下面推導正常高高差的實際計算公式。 首先推導高出水準橢球面的正常重力的計算公式。在這里，我們把水準橢球看成是半徑為的均質(zhì)圓球，則地心對地面高的點的引力為對大地水準面上點的引力為兩式相減，得重力改正數(shù)上式右端括號外項，可認為是地球平均正常重力；由于，可把展開級數(shù)，并取至二次項，經(jīng)整理得將地球平均重力及地球半徑代入

7、上式，最后得這就是對高出地面點的重力改正公式，式中以m為單位，以mGal為單位。顯然式中第一項是主項，大約每升高3m，重力值減少1mGa1。第二項是小項，只在特高山區(qū)才顧及它，在一般情況下可不必考慮，這樣通?？砂焉鲜綄懗捎谑堑贸龅孛娓叨忍幍狞c的正常重力計算公式 （5-24）式中為水準橢球面上的正常重力值，在大地控制測量中，采用19011909年赫爾默特正常重力公式： （5-25） 將重力寫成下面的形式 （5-26）式中用（5-24）式計算。在有限路線上，可以認為正常重力是線性變化，因此可認為是處的值，即，進而 （5-27）分項積分得到可近似地寫成：因此，有正常高計算公式： （5-28）上式右端

8、第一項是水準測量測得的高差，這是主項；第二項中的是沿水準路線上各點的正常重力值，隨緯度而變化，亦即，所以第二項稱為正常位水準面不平行改正數(shù)。第一、二項之和稱為概略高程。第三項是由正常位水位面與重力等位面不一致引起的，稱之為重力異常改正項。 當計算兩點高差時，有式 （5-29）將上式右端第二、三大項分別用和表示，則 （5-30）上式中稱為正常位水準面不平行引起的高差改正，稱為由重力異常引起的高差改正，經(jīng)過和改正后的高差稱為正常高高差。 下面推導和的計算公式。首先推導的計算公式。由于 于是 （5-31）上式中最后一項數(shù)值很小，可略去；第一項在間距不大的情況下，可認為呈線性變化，可用平均值代替，亦即

9、，則 （5-32）這樣 （5-33）式中，為兩點平均高度（可用近似值代替），。又由（5-25）式可知，若忽略右端第三項（即含項），并令，則把它改寫成 （5-34）當時，得。因此上式可寫成將有關數(shù)值代入，于是 （5-35）因此對上式取微分得亦即 （5-36）當（5-33）式中的以我國平均緯度代入算得將以上關系式及數(shù)據(jù)代入（5-33）式，得的最后計算公式： （5-37）或 （5-38）式中，是兩點平均緯度，系數(shù)可按在水準測量規(guī)范中查取，是兩點的緯度差，以分為單位。規(guī)范中的值與（5-37）式略有差異，這主要是由于所采用常數(shù)不同而至，對計算結果無影響。 再來推導計算的公式。由于 （5-39）上式中第二

10、項數(shù)值很小，可忽略。第一項當間距不大時，可視同呈線性變化，故可取平均值代替。路線上的正常重力也可近似等于點的，因此上式變?yōu)?（5-40）求積分，得 （5-41）上式即為重力異常改正項的計算公式。為便于計算，還可作進一步改化，若令并把此式代入上式，則得 （5-42）令 （5-43） （5-44）則得 （5-45）此式為計算重力異常項改正的最后公式。計算時以毫伽（mGal）為單位，取至0.1mGal。是兩點間的高差，取整米，的單位與相同。 從上可見，正常高與正高不同，它不是地面點到大地水準面的距離，而是地面點到一個與大地水準面極為接近的基準面的距離，這個基準面稱為似大地水準面。因此，似大地水準面是由地面沿垂線向下量取正常高所得的點形成的連續(xù)曲面，它不是水準面，只是用以計算的輔助面。因此，我們可以把正常高定義為以似大地水準面為基準面的高程。 下面我們來分析一下正高和正常高二者