泰勒傅立葉級(jí)數(shù)

1、第三節(jié) 泰勒級(jí)數(shù)一、 泰勒級(jí)數(shù)前面我們研究了冪級(jí)數(shù)的斂散性，知道它在其收斂域上可表示為它的和函數(shù)，但在理論研究以及近似計(jì)算中，我們往往考慮相反的問(wèn)題能否把函數(shù)表示成冪級(jí)數(shù).例如計(jì)算，在前面第*章曾介紹過(guò)該積分是“求不出”的，但在本節(jié)中我們將會(huì)知道能表示成冪級(jí)數(shù)，利用這一結(jié)果可以得出，從而能計(jì)算出該積分的近似值.假設(shè)函數(shù)在某一點(diǎn)附近可以表示為冪級(jí)數(shù)：, (1)那么如何確定它的各項(xiàng)系數(shù). 首先在（1）式中令，可得； 假設(shè)函數(shù)在附近存在任意階導(dǎo)數(shù)，反復(fù)利用冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)，得， ， 在上述等式中令，可得，.我們稱級(jí)數(shù)為在點(diǎn)（或關(guān)于的，或在點(diǎn)附近的）的泰勒級(jí)數(shù).特別的時(shí)的泰勒級(jí)數(shù)比較常用，被稱為

2、在點(diǎn)的麥克勞林級(jí)數(shù)即.二、 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)由上述可知如果函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)表示存在，則等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和，即.但什么情況下函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)存在呢？ 我們有定理如下：定理1：設(shè)函數(shù)點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則在此鄰域內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的充要條件是當(dāng)時(shí)的泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)極限為，其中. 下面具體介紹函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的步驟.直接展開(kāi)法： 步驟：1）寫出的泰勒級(jí)數(shù)；2）求出收斂半徑； 3）考察在收斂域內(nèi).我們利用直接展開(kāi)法把下面幾種基本初等函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)，其中第3步考察在收斂域內(nèi)，均可以利用泰勒級(jí)數(shù)的拉格朗日型余項(xiàng)證得是有的，我們將這一過(guò)程略去.關(guān)于的泰勒級(jí)數(shù)的拉格朗日型余項(xiàng)：對(duì)函數(shù)連續(xù)使

3、用次柯西中值定理可以得到其中 介于之間，該余項(xiàng)被稱為拉格朗日型余項(xiàng). 例1 求函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解 由，得，于是函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)為，容易求得該級(jí)數(shù)收斂半徑,于是.從以上圖像中我們可以觀察到函數(shù)隨著無(wú)限逼近指數(shù)函數(shù).例2 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解 ，可見(jiàn)的各階導(dǎo)數(shù)按此依次循環(huán)，則依次取值為0，1，0，-1，,于是函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)為，容易求得該級(jí)數(shù)收斂半徑,于是.例3 將函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù).解 依次取值為,于是函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)為，容易求得該級(jí)數(shù)收斂半徑,于是 (4)在端點(diǎn)處，上式是否成立，要看的數(shù)值而定.公式（4）稱為牛頓二項(xiàng)展開(kāi)式，特別的，當(dāng)取正整數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)成為的次多項(xiàng)式，它就是

4、初等代數(shù)中的二項(xiàng)式定理.另外，當(dāng)=-1時(shí)，即可得到下面熟悉的等比級(jí)數(shù)的求和公式. (5)間接展開(kāi)法： 對(duì)于一般的函數(shù)來(lái)說(shuō)直接展開(kāi)法計(jì)算量大，而且對(duì)余項(xiàng)考察也比較困難，因此我們更多利用由已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)通過(guò)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及變量代換等方法來(lái)求其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，這種方法稱為間接展開(kāi)法.例4 將函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù).解 令，則，由例1可知，所以.例5 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解 令，則，由(5)式可知，所以.例6 將函數(shù)展開(kāi)成的的冪級(jí)數(shù).解 ，由例2可知，對(duì)上面的展開(kāi)式逐項(xiàng)求導(dǎo)得.例7 將函數(shù)展開(kāi)成的的冪級(jí)數(shù).解 ，由（5）式所以注意上式右端在點(diǎn)處是收斂的.例8 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).例9 函數(shù)展開(kāi)成的

5、冪級(jí)數(shù). 常用的麥克勞林公式：，. 三、泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例： （一）、近似計(jì)算例1 求近似值例2 計(jì)算，精確到. （二）、求微分方程的冪級(jí)數(shù)解求解微分方程是非常復(fù)雜的，我們能解的只是一些孤立、零碎、極特殊的類型，很多時(shí)候我們就利用冪級(jí)數(shù)解微分方程和進(jìn)行近似計(jì)算，這是很實(shí)用的方法，有很好的實(shí)用意義和價(jià)值.例3 求微分方程的通解.解 設(shè)，則，代入原方程得 ，于是各項(xiàng)系數(shù)均為0，得 .令，得通解為.（三）、求隱函數(shù)的表達(dá)式例4 方程在（0，0）附近確定一隱函數(shù)，求它在原點(diǎn)附近的表達(dá)式.解 設(shè)，對(duì)原方程兩端求一階導(dǎo)數(shù)得，令可得：，對(duì)上式繼續(xù)求導(dǎo)：，將代人上式得，以此類推可得等等所以.三、 求不定式的極

6、限（建議刪去）例 四、 證明不等式（建議刪去） 例 第四節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)一、傅立葉級(jí)數(shù)正如我們看到的那樣，泰勒級(jí)數(shù)是在某一點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)以多項(xiàng)式來(lái)逼近某一函數(shù)，但這種逼近是逐點(diǎn)逼近，往往是局部的.而現(xiàn)實(shí)中有諸多現(xiàn)象常常需要用到周期函數(shù)，如心臟跳動(dòng)、彈簧震動(dòng)、交流電壓、光波、聲波等等，這就要求能找到一種整體意義上的逼近.傅立葉級(jí)數(shù)很好地解決了這一問(wèn)題.物理中最簡(jiǎn)單的周期現(xiàn)象是簡(jiǎn)諧波.（要解釋嗎）事實(shí)證明許多非正弦周期波都可以用一系列簡(jiǎn)諧波疊加.由正弦、余弦函數(shù)疊加而成的無(wú)窮級(jí)數(shù)叫三角級(jí)數(shù).假設(shè)一個(gè)以為周期的函數(shù)，有如下三角級(jí)數(shù)展開(kāi)， （1）那么如何確定它的各項(xiàng)系數(shù)呢？我們假定在上可積,于是對(duì)（1）式兩端

7、同時(shí)從積分有， （2）然后我們?cè)冢?）式兩端同乘以，再兩端同時(shí)從積分得（3）在（2）（3）式中注意到： 于是可以求得，. 同理在（1）式兩端同乘以，再兩端同時(shí)從積分可求得 稱以上所確定的系數(shù)為函數(shù)的傅立葉系數(shù).稱系數(shù)為的傅立葉系數(shù)的三角級(jí)數(shù)為函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù). 特別的當(dāng)時(shí)，是以為周期的函數(shù)，它的傅立葉系數(shù)為二、函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)現(xiàn)在還剩下一個(gè)問(wèn)題，就是什么情況下的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于？下面我們給出傅立葉級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)充分條件：狄利克雷定理：設(shè)函數(shù)以為周期，如果它在一個(gè)周期上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類的間斷點(diǎn)，并且分段單調(diào)，那么的傅立葉級(jí)數(shù)在上處處收斂，并且它的收斂和為例1 設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，它

8、在區(qū)間上的表達(dá)式為（1）求的傅立葉級(jí)數(shù)，（2）把展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).解 例2 把函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).解 這里函數(shù)僅定義在上，并不是周期函數(shù)，但我們可以在上定義一個(gè)以為周期的函數(shù)，它在上的表達(dá)式為，這種拓廣定義域的方法稱為周期延拓. 如下圖.（電學(xué)上稱為鋸齒波） O的傅立葉系數(shù)為：由在上連續(xù)性，可得.利用這個(gè)展開(kāi)式，可以導(dǎo)出幾個(gè)特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，由初值，可以得出令因?yàn)椋?，于是（同學(xué)們自己試著得出與的值）.例3 把函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).（物理學(xué)上稱為方波）解 .（刪去了奇延拓和偶延拓的概念）三、應(yīng)用實(shí)例例 交流電壓，經(jīng)半波整流，削去負(fù)壓，求它的傅立葉級(jí)數(shù)。第五節(jié) 傅立葉變換一、歐拉公式我們知道

9、，實(shí)際上當(dāng)這里的取為復(fù)數(shù)也是成立的.即.上式中當(dāng)為純虛數(shù)的時(shí)候，有于是有歐拉公式二、傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式可得記即以上所有系數(shù)可表示為一個(gè)表達(dá)式，于是我們可以得到形式上更為簡(jiǎn)潔的傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式：.三、傅立葉變換 若將傅立葉級(jí)數(shù)這個(gè)“離散”的無(wú)限次求和，化為連續(xù)的無(wú)限次求和，這就成為了應(yīng)用更廣泛的傅立葉積分。若在上可以展成傅立葉級(jí)數(shù)，其中，（1）令，當(dāng)時(shí)，記作，于是（1）式可化為上式右端的和式剛好可以看作對(duì)的定積分，是定積分里的無(wú)窮小區(qū)間，看作數(shù)軸上的分點(diǎn)，被積函數(shù)就是，所以或.上式稱為的傅立葉積分公式. 其中令，稱是的傅立葉變換.用同樣的公式對(duì)變換，得到關(guān)于的函數(shù)，這與的傅立葉積分公式有相似性，于是稱是逆傅立葉變換. 傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足