極坐標、參數方程

1、坐標系與參數方程坐標系和參數方程高考以選擇、填空、計算題的形式出現，主要以計算題為主。選擇、填空一般是5分。計算題是在高考題最后三選一的第2題，分值為10分。極坐標以選擇填空為主，難度不大，參數方程以解答題為主，10分左右。1 、極坐標知識及應用2課時2 、參數方程知識及應用2課時3 、坐標系及參數方程綜合應用4課時大綱要求：1、理解坐標系的作用2、了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。3、能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化。4、能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）

2、的方程。通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義。5、了解柱坐標系、球坐標系中表示空間中點的位置的方法，并與空間直角坐標系中表示點的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別。6、了解參數方程，了解參數的意義。7、能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程。8、了解平擺線、漸開線的生成過程、并能推導出它們的參數方程。9、了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實際中的應用，了解擺線在表示行星運動軌道中的作用。命題規(guī)律:1、?？純热荩?1)根據問題的幾何特征選擇坐標系，平面直角坐標系中的伸縮變換，極坐標系、直線、和圓的極坐標方程。(2)根據問題的條件

3、引進適當的參數，寫出參數方程，分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質，選擇適當的參數寫出它們的參數方程。2、常見題型：主要以填空題和解答題為主，難度中等。命題趨勢：1、熱點預測：預測本專題內容任然是2014年高考的熱點。極坐標以選擇填空為主，參數方程以解答為主。2、趨勢分析：預測2014年高考對本專題考查保持平穩(wěn)，內容仍以極坐標參數方程化為普通方程為主，注重基本運算及極坐標參數方程的應用。知識點：一、坐標系1 .平面直角坐標系中的坐標伸縮變換xx(小0)設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換甲乂t()的作用yy(0)下，點P(x,y)對應到點P'(x：y),稱呼為平面直角坐標系

4、中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.2 .極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示,在平面內取一個定點o ,叫做極點，自極點。引一條射線Ox,叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系注：極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數軸為幾何背景；平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應的關系，而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.（2）極坐標設M是平面內一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為P；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角/xOM叫做點M的極角，記為e.有序數對（

5、p,8）叫做點M的極坐標，記作m（p,e）.一般地，不作特殊說明時，我們認為P之0,日可取任意實數.特別地,當點m在極點時,它的極坐標為（0,e）（eeR）.和直角坐標不同,平面內一個點的極坐標有無數種表示.如果規(guī)定P>0,0<2n,那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標（P,8）表示;同時，極坐標（P,6）表示的點也是唯一確定的.3 .極坐標和直角坐標的互化（1）互化背景：把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，如圖所示：（2）互化公式：設M是坐標平面內任意一點，它的直角坐標是（x,y）,極坐標是（P,8）（P>0）,于是極坐標

6、與直角坐標的互化公式如表點M直角坐標（x,y）極坐標（p,e）互化公式x=PcosB'y=PsinQP2=x2十y2tanQ=(x手0)x在一般，f#況下，由tan日確定角時，可根據點M所在的象限最小正角4.常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓Qt/-；P=r(0<0<2jt)圓心為（r,0）,半徑為r的圓AJTJTP=2rcos8(<9<)22圓心為仁上）,半2徑為r的圓Go工P2rsin日(0WH<n)過極點，傾斜角為a的直線&.X1)0=a(PwR)或8=n+c(PwR)2)日=a(P殳0)和日=n+ct(P之0)過

7、點（a,0），與極軸垂直的直線1(u.O)-rPcos8=a(<9<)22過點（a,t）,與極2軸平行的直線-i4O9,y)XPsin6=a(0<8<n)注：由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一，即(P,e),(P,2n+0),(-P,n+0),(-P,-n+日),都表示同一點的坐標，這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程P=8,點M(土,工)可以表示為4 4二二一：二5二(一,一+2兀)或(一,2n)或(-一,)等多種形式，其中，只有(一,一)的極坐標滿足方44444444程

8、"二、參數方程1 .參數方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數t的函數xf(t)x()，并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上y=g(t)那么方程就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x,y的變數t叫做參變數，簡稱參數，相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程.2 .參數方程和普通方程的互化(1)曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消去參數而從參數方程得到普通方程.(2)如果知道變數x,y中的一個與參數t的關系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求xf(t)出另一個變數

9、與參數的關系y=g(t),那么!()就是曲線的參數方程，在參數方程與y=g(t)普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數方程，參數方程的形式不一定唯一。應用參數方程解軌跡問題，關鍵在于適當地設參數，如果選用的參數不同，那么所求得的曲線的參數方程的形式也不同。3 .圓的參數如圖所示，設圓。的半徑為r,點M從初始位置M0出發(fā)，按逆時針方向在圓O上作x=rcos1勻速圓周運動，設M(x,y),則(6為參數)。ytrsini這就是圓心在原點O,半徑為r的圓的參數方程，其中的幾何意義是OM0轉過的角度。圓心為（a,b）,半徑為r的圓的普通方程是（xa）2+（yb）2=r2,

10、x=arcosi，/一它的參數方程為：（日為參數）。y=brsin14 .橢圓的參數方程22以坐標原點O為中心，焦點在x軸上的橢圓的標準方程為x2+與=1（aab>0）,其參abix=acos數方程為xw為參數），其中參數中稱為離心角；焦點在y軸上的橢圓的標準方y(tǒng)二bsin22x=bcos程是yy+4=1（aAbA0）,其參數方程為（中為參數），其中參數邛仍為離心aby=asin：角，通常規(guī)定參數中的范圍為中C0,2n）。注：橢圓的參數方程中，參數邛的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉角a區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉角數值可相等外（即在0到2兀冗的范圍內），

11、在其他任何一點，兩個角的數值都不相等。但當0Eo（E一時，相應地也有2/冗0<<-,在其他象限內類似。25 .雙曲線的參數方程22以坐標原點O為中心，焦點在x軸上的雙曲線的標準議程為"4=1（a>0,bA0）,abx=asec；：3：其參數方程為x（中為參數），其中中正0,2立）且中#W#3-y=btan2222焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是-y2-x2-=l（a>0,b>0）,其參數方程為abx=bcotrbm（中為參數，其中甲W（0,2n）eM甲/n.y=acsc以上參數邛都是雙曲線上任意一點的離心角。6 .拋物線的參數方程12以坐標原點為頂點開口

12、向右的拋物線y2=2Px（p>0）的參數方程為x =2pt2 y = 2pt（t為參數）.7 .直線的參數方程經過點M0（X0,y0）,傾斜角為a（a#土）的直線l的普通方程是y-y0=tana（x-X0）,2一，x=X0+tcosot而過M0（x0,yO）,傾斜角為a的直線l的參數方程為0（t為參數）。y=y°tsin;注：直線參數方程中參數的幾何意義：過定點M0（x0,y0）,傾斜角為a的直線l的參數、x=x0tcos.s.,萬程為0（t為參數），其中t表示直線l上以定點M0為起點，任一點y=y0tsin工M（x,y）為終點的有向線段M°M的數量，當點M在M。上方

13、時，t>0；當點M在M。下方時，t<0;當點M與M。重合時，t=0。我們也可以把參數t理解為以M。為原點，直線l向上的方向為正方向的數軸上的點M的坐標，其單位長度與原直角坐標系中的單位長度相同。高考題型示例及解答:1.12012高考真題新課標理23】本小題滿分10分）選彳44;坐標系與參數方程x=2cos*已知曲線C1的參數方程是）（中為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸y=3sin為極軸建立坐標系，曲線C2的坐標系方程是P=2,正方形ABCD的頂點都在C2上，n且A,B,C,D依逆時針次序排列，點A的極坐標為（2,）3（1）求點A,B,C,D的直角坐標；設p為Ci上任意一點，

14、求|pa|2+|pb|2+|pc|2+|pd|2的取值范圍【答案】點4Asl的極坐標為仁今當值當C當）36j6點D的直角坐標為二4L一、1?。何?。1%=2e5科<2）設網項J。則；,單為參數）：嶺二有口舉r=|Adtp+|PJ|If|TC|3-fr|j®P=4x?+Va+«=5620sin*56z_6（Lfxlby）2.12012高考真題陜西理15】（坐標系與參數方程）直線2Pcos8=1與圓P=2cos日相交的弦長為【答案】0【解析】直線2pcos&=1與圓pcos8的普通方程為2.Y-1和口-19圓心到直線的距離為1三二!，所以弦長為ij：（3=0.x=

15、t1.3.12012局考真題湖南理9】在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：,（t為參數）y=1-2tx=asin與曲線C2:x,（日為參數，a>0）有一個公共點在X軸上，則a=_.y=3cos1【答案】:一YZ+13【解析】曲線U：,直魚坐標方程為1二3一工一馬慧軸交點為Q.。）；）二1一%2t=£?sin8f1-*曲線C；/:直焦坐標方程為+=1,其與.v軸交點為（-髭0）,（60）.1=jcospq*9由。>0.曲線C與曲線U有一個公共點在X軸上，知口二.L*74.12012高考真題上海理10】如圖，在極坐標系中，過點M（2,0）的直線l與極軸的夾角若將l的極坐標方程

16、寫成P=f（日）的形式，則f（日）=【答案】a=【解析】設直線上的任一點為P3：可，因為二R*=二，所以r-疆r2sin即一=,即二一=-5in(工一一)sin(S')sin(&)sin(-c-j6666C的直角坐標方程為5.12012高考真題江西理15（1）（坐標系與參數方程選做題）曲線x2+y2-2x=0,以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立積坐標系，則曲線C的極坐標方程為【解析】因為Y+j=r所以代入直角坐標方程整理得口二-二夕=0,所以0一二二8營二0，即極坐標方程為Q=【答案】/?=2cos56.12012高考真題湖北理16（選修4-4:坐標系與參數方程）在直角坐標系

17、xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知射線兀fx=t+1,日=一與曲線彳2（t為參數）4y=（t-1）2相交于A,B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為一»【答案】尸弓二,.fKf-1【解析】3=士在直角坐標系下的一般方程為l=«工已J?）,將參數方程一一（為4y=（r-l?參數）轉化為直角坐標系下的一般方程為j=5-1）：=0-1-1）；="-萬表示一條拋物線，聯立上面兩個方程消去工有/-工丫-4=0,設一九5兩點及其中點尸的橫坐標分V.+te弋別為匯，則有韋達定理r二3二二，又由于點P點在直線V二上，因此的中點產二二）TT7.12012高

18、考真題安徽理13】在極坐標系中，圓P=4sin6的圓心到直線9=L（Pwr）的6距離是【答案】有【解析】mp=44口9=4的圓心C；,直線2g二二仍三為一廠后-th點c到直癡的距離是二862228.12012高考真題天津理12】已知拋物線的參數方程為X=Pt,（t為參數）,其中p>0,J=2pt焦點為F,準線為1.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|=|MF|,點M的橫坐標是3,貝Up=.【答案】2【解析】消去參數t得拋物線方程為y2=2px,準線方程為x=-2，因M為拋物線上一2點，所以有|mf|=|me|,又|mf|ef|,所以三角形MEF為等邊三角形，則EF|=MF=2p=3（R）=3+2，解得p=2。