極坐標與參數(shù)方程例題示范分題型

1、極坐標與參數(shù)方程例題示范(分題型)極坐標與參數(shù)方程是選修內(nèi)容的必考題型，這里按照課本及高考考試說明，歸納總結(jié)為四類題型。題型一。極坐標與直角坐標的互化?；セ恚ㄈ呛瘮?shù)定義）、數(shù)形結(jié)合。1在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，曲線的極坐標方程為. （1）把曲線的極坐標方程化為普通方程； （2）求直線與曲線的交點的極坐標（）.試題解析：（1）由得，兩邊同乘以，得；（2）由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得直線的普通方程為，聯(lián)立曲線與直線的方程得，或，化為極坐標為或.考點：極坐標方程與直角坐標方程的互化，直線參數(shù)方程與

2、普通方程的互化.考點：，.2在極坐標系中，設(shè)圓經(jīng)過點，圓心是直線與極軸的交點，求圓的極坐標方程試題解析：法一：轉(zhuǎn)化為直角坐標為：直線的直角坐標方程為：它與軸的交點也就是圓心為所以所以圓的方程為，得所以，圓的極坐標方程為：法二：因為圓心為直線與極軸的交點，所以令，得，即圓心是又圓經(jīng)過點，圓的半徑，圓過原點，圓的極坐標方程是考點：（1）轉(zhuǎn)化為直角坐標，求出所求方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標；（2）先求圓心坐標，再運用余弦定理求半徑，最后借助過原點寫出圓的極坐標方程.題型二。曲線（圓與橢圓）的參數(shù)方程。（1）普通方程互化和最值問題。“1”的代換（）、三角解決。3已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標原點為極點，軸的正半

3、軸為極軸建立極坐標系，的極坐標分別為.（）求直線的直角坐標方程；（）設(shè)為曲線上的點，求點到直線距離的最大值.試題解析：（）將、化為直角坐標為，即， 直線的方程為，即 （）設(shè)，它到直線的距離為，（其中）， 考點：1.橢圓的參數(shù)方程；2.點到直線的距離公式；3.三角函數(shù)求最值4已知曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）設(shè)直線與軸的交點是，是曲線上一動點，求的最大值.試題解析：曲線的極坐標方程可化為. 又，所以曲線的直角坐標方程為.將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，得，令，得，即點的坐標為（2，0）. 又曲線的圓心坐標為（1，0），半徑，則， 所以.法二：設(shè)N的坐標為.所以考點：極坐標化為直

4、角坐標，參數(shù)方程化為普通方程，直線與圓位置關(guān)系5已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是是參數(shù)） ，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為. （1）判斷直線與曲線的位置關(guān)系； （2）設(shè)為曲線上任意一點，求的取值范圍.試題解析：（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標系下的方程為，因為圓心到直線的距離為,所以直線與曲線的的位置關(guān)系為相離.（2）設(shè)點，則.考點：直線與圓的參數(shù)方程和圓的極坐標方程. 6已知平面直角坐標系，以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點的極坐標為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）寫出點的直角坐標及曲線的直角坐標方程；（2）若為曲線上的動點，求中點到

5、直線的距離的最小值.試題解析：（1）點的直角坐標，由，得，所以曲線的直角坐標方程為.（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的普通方程為，設(shè)，則，那么點到直線的距離，所以點到直線的最小距離為.考點：1、極坐標和直角坐標的互化；2、參數(shù)方程和普通方程的互化；3、點到直線的距離（2）公共點問題。聯(lián)立求解判別式，直線與圓d與r。7在直角坐標系中曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若以直角坐標系中的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若曲線與曲線有公共點，求實數(shù)的取值范圍試題解析：（1）由得，又由得，所以曲線的普通方程為，即，又易知，曲線的

6、普通方程為，由得，所以，所以曲線的直角坐標方程為（2）當(dāng)直線過點時，與曲線有公共點，此時，從該位置向左下方平行移動直到與曲線相切總有公共點，聯(lián)立得，令，解得所求實數(shù)的取值范圍是考點：1、參數(shù)方程與普通方程的互化；2、極坐標方程與直角坐標方程的互化；3、直線與拋物線的位置關(guān)系8在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標系（以原點為極點，以軸非負半軸為極軸，且與直角坐標系取相同的長度單位）中，圓的方程為（）求圓的直角坐標方程；（）若直線與圓相切，求實數(shù)的值試題解析：（）由，圓的直角坐標方程為（或）； （）直線的參數(shù)方程為，圓的圓心為，半徑， 由直線與圓相切，得或考點：簡單曲線的極坐標方程；

7、參數(shù)方程化成普通方程9在極坐標系中，直線的極坐標方程為，以極點為原點極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且).（1）寫出直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；（2）若直線與曲線有兩個公共點，求的取值范圍. 試題解析：（1）由直線的極坐標方程得：， 即直線的直角坐標方程為：，由曲線 的參數(shù)方程 為參數(shù)，且). 得：（2）設(shè)曲線上任意一點為，則，直線與曲線 有兩個公共點，.考點：極坐標系，參數(shù)方程，直角坐標方程的轉(zhuǎn)換.題型三。直線參數(shù)方程（t的幾何意義）。定點到動點的距離。定標圖號聯(lián)、韋達三定理。、10在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系取相

8、同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的極坐標方程為.（1）求圓的直角坐標方程； （2）設(shè)圓與直線交于點，若點的坐標為，求.試題解析：（1）由，得，即.（2）將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，得，即.由于，故可設(shè)，是上述方程的兩實根，所以，又直線過點，故由上式及的幾何意義得.考點：1.曲線的極坐標方程和普通方程的轉(zhuǎn)化；2.直線的參數(shù)方程的應(yīng)用11在直角坐標系中，過點的直線的斜率為1，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為,直線和曲線的交點為（1）求直線的參數(shù)方程；（2）求試題解析：（）由條件知，直線的傾斜角，所以.設(shè)點是直線上的任意一點，點到點的有向向

9、量為，則 （）曲線的直角坐標方程為,由此得,即 . 設(shè)為此方程的兩個根，因為和的交點為，所以分別是點所對應(yīng)的參數(shù)，由韋達定理得 =考點：簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程12在直角坐標系中，以原點為極點，以軸正半軸為極軸，圓的極坐標方程為.（1）將圓的極坐標方程化為直角坐標方程； （2）過點作斜率為1直線與圓交于兩點，試求的值.試題解析：（1）由，可得，即（2）過點作斜率為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.代入得，設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，.由的幾何意義可得.（注：此題也可直接求兩點坐標，再用兩點間的距離公式求出,.）考點：1.曲線的極坐標方程、參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化；2.直線與圓的位置

10、關(guān)系13在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標方程；（2）若點，設(shè)圓與直線交于點，求的最小值.試題解析：（1）由得，化為直角坐標方程為，即；（2）將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，得由，故可設(shè)是上述方程的兩根，所以，又直線過點，故結(jié)合的幾何意義得所以的最小值為考點：圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化及直線參數(shù)方程在求最值中的應(yīng)用.題型四。跟蹤點參數(shù)方程的求法。跟蹤點法。14在直角坐標系 中,曲線的參數(shù)方程為, 是上的動點，點滿足,記點的軌跡為曲線 （1）求曲線的方程；（2）在以為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與曲線的異于極點的交點為,與曲線的異于極點的交點為,求試題解析：（1）設(shè)則由條件知由于在上,所以 所以從而的參數(shù)方程為（2）法一：曲線的極坐標