【金學案】高中數(shù)學（北師大版選修12精品學案第一章 統(tǒng)計案例 第1課時 回歸分析

1、第1課時回 歸 分 析1.會對兩個變量的相關關系進行分析、判斷.2.了解回歸分析的基本思想,會對兩個變量的具體問題進行回歸分析.3.掌握運用最小二乘法建立回歸模型的基本步驟和方法.重點:熟練掌握回歸分析,建立回歸模型,求各相關指數(shù)的步驟.難點:如何求回歸直線方程以及對相關系數(shù)r的理解和運用.我們每個人都有自己的身高和體重,那么如果把身高和體重分別作為變量,它們能夠構成函數(shù)關系嗎?問題1:散點圖在考慮兩個量的關系時,為了對變量之間的關系有一個大致的了解,人們通常將變量所對應的點描出來,這些點就組成了變量之間的一個圖,通常稱這種圖為變量之間的散點圖.問題2:相關關系與線性回歸相關關系:對于兩個變量

2、,當自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系稱為相關關系.相關關系分為線性相關和非線性相關. 函數(shù)關系中的兩個變量間是一種確定性關系,相關關系是一種非確定性關系. 線性回歸:對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法. 問題3:線性相關系數(shù)r=稱為兩個變量數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,n)的線性相關系數(shù).r用來刻畫兩個變量的線性回歸效果:當r>0時,表明兩個變量正相關;當r<0時,表明兩個變量負相關;r的絕對值越接近于0時,表明兩個變量之間越不存在線性相關關系. 問題4:線性回歸分析的步驟對于一組具有線性相關

3、關系的數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn).(1)畫散點圖:看散點圖是否呈條狀分布. (2)求回歸直線方程(最小二乘法):  b=,=xi,=yi,其中(,)為樣本中心點,回歸直線方程必經(jīng)過樣本中心點(,),得a= -b; (3)得出相關結論:回歸直線方程為y=a+bx,利用回歸直線方程進行預測. “一只蝴蝶在巴西扇動翅膀,有可能會在美國的德克薩斯州引起一場龍卷風.”這就是洛倫茲1979年12月在華盛頓的“美國科學促進會”上的一次演講中提出的“蝴蝶效應”.這次演講給人們留下了極其深刻的印象.從此以后,所謂“蝴蝶效應”之說就不脛而

4、走,名聲遠揚.“蝴蝶效應”之所以令人著迷、令人激動、發(fā)人深省,不但在于其大膽的想象力和迷人的美學色彩,而且在于其深刻的科學內(nèi)涵和內(nèi)在的哲學魅力.1.下列關系不屬于相關關系的是().A.父母的身高與子女的身高B.人的身高與體重C.居民的收入與消費D.正方體的表面積和體積【解析】相關關系是一種非確定性關系,而D項是確定的關系,為函數(shù)關系,故選D.【答案】D2.設兩個變量x與y之間具有線性相關關系,相關系數(shù)是r,回歸方程為y=a+bx,那么必有().A.b與r符號相同B.a與r符號相同C.b與r符號相反D.a與r符號相反【解析】因為b與r的分母均為正,且分子相同,所以b與r同號.【答案】A3.某醫(yī)院

5、用光電比色檢驗尿汞時,得到尿汞含量x(毫克/升)與消化系數(shù)y的一組數(shù)據(jù)如下表:尿汞含量x246810消化系數(shù)y64138205285260若x與y具有線性相關關系,則回歸直線方程是. 【解析】利用公式b=26.95,a=-b=28.7,從而回歸直線方程為y=26.95x+28.7.【答案】y=26.95x+28.74.某10名同學的數(shù)學、物理、語文成績?nèi)缦卤?數(shù)學13612512287108113111709474物理107919276938582787873語文861141041091001061121049599試分別研究他們的數(shù)學成績與物理成績的關系、數(shù)學成績與語文成績的關系,

6、你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?【解析】可求出物理成績與數(shù)學成績的相關系數(shù)r0.87,從而認為物理成績與數(shù)學成績之間具有很強的線性相關關系.而由語文成績與數(shù)學成績的相關系數(shù)|r|0.092很接近0,說明語文成績與數(shù)學成績不具有線性相關關系.因此,數(shù)學成績好的同學,一般來說物理成績也較好,它們之間的聯(lián)系較緊密,而數(shù)學成績好的同學,語文成績可能好也可能差,它們之間的關系不大.相關關系的判斷與分析有下列關系:人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關系;曲線上的點與該點的坐標之間的關系;蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關系;森林中的同一種樹木,其斷面直徑與高度之間的關系;學生與他(她)的學號之間的關系.其中有相關關系的是(填寫你

7、認為正確的序號). 【方法指導】根據(jù)相關關系的概念進行判斷.【解析】序號關系理由相關關系人的年齡和他(她)的財富有一定的關系,一般中年人財富多,年輕人少,少兒基本沒有函數(shù)關系曲線上的點與其坐標一一對應,是確定的相關關系氣候能影響蘋果的產(chǎn)量相關關系同一種樹木,其斷面直徑和高度之間有一定的關系,但不確定對應關系確定的一一對應關系【答案】【小結】相關關系是一種非確定性關系,是指兩個變量之間有關系,但是兩者之間的關系還受其他因素的影響,只是影響大小的問題.回歸直線過樣本中心點(,)的性質(zhì)的應用觀察兩個相關變量的如下數(shù)據(jù):x-1-2-3-4-554321y-0.9-2-3.1-3.9-5.15

8、4.12.92.10.9則兩個變量間的回歸直線方程為().A.y=0.5x-1B.y=xC.y=2x+0.3D.y=x+1【方法指導】根據(jù)回歸直線方程y=a+bx經(jīng)過樣本中心點(,)可計算出結果.【解析】=0,=0,回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點(,),代入所給選項中檢驗,可知,只有y=x符合條件.【答案】B先判定相關性,再求回歸直線方程某種圖書每冊的成本費y(元)與印刷冊數(shù)x(千冊)有關,經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下:x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15檢驗每冊書的成本費y與印刷冊數(shù)的倒數(shù)之間是否有線性相關關系?如果有,

9、求出y對x的回歸方程.【方法指導】本題是非線性回歸分析問題,不妨設變量u=,題意要求對u與y作相關性檢驗,如果它們具有線性相關關系,就可以進一步求出y對u的回歸直線方程,這時,再回代u=,就得到了y對x的回歸曲線方程.【解析】將上表數(shù)據(jù)列表分析如下:i12345678910􀰐xi123510203050100200421yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.1531.4149251004009002500100004000053939103.0330.4716.658.124.452.621.991.691.461.32171.8x

10、iyi10.1511.0412.2414.2521.132.442.365121230559.48=42.1,=1772.41,=3.14,n=10,10=1321.94,可以求得r=0.9998,由r=0.9998,因此變量y與之間具有較強的線性相關關系.b=-0.02,a=-b=3.14-(-0.02)×42.1=3.98.y與x的回歸方程為y=3.98-0.02x.問題當x=1時,由回歸方程得y=3.96,而實際上y=10.15,為什么有這么大的偏差?上述回歸方程是y與x的回歸方程嗎?結論因為y與之間具有較強的線性相關關系,而y與x之間沒有明顯的線性相關關系,故應先通過變量變換

11、(即換元),令u=,并通過對u與y作相關性檢驗,求出y對u的回歸直線方程,最后再回代u=,得到y(tǒng)對x的回歸方程.于是正確解如下:首先作變量變換,令u=,則題目所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的數(shù)據(jù):ui10.50.330.20.10.050.030.020.010.005yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15可以求得r0.9998,因此變量y與u之間具有較強的線性相關關系,并且b8.973,a=-b1.125,最后回代u=可得y=+1.125.因此y與x的回歸方程為y=+1.125.【小結】本題中y與x之間不具有線性相關關系,因而是非線性回歸分析問題,對此

12、類回歸分析問題,應先求線性相關系數(shù)r,利用r來判斷兩個變量之間是否具有線性相關關系.當|r|越接近1時,認為線性相關關系越強,可以求回歸直線方程,并可用求得的回歸直線方程來預測變量的取值;當|r|越接近0時,認為兩個變量之間線性相關關系越不顯著,這時求回歸直線方程沒有多大的實際價值,要采用變量變換(即換元法)轉(zhuǎn)化為線性回歸問題求解.由施肥量x與水稻產(chǎn)量y試驗數(shù)據(jù)的關系,畫出散點圖,并指明相關性.施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455【解析】散點圖為:通過圖像可知是正相關.已知x、y的取值如表所示,若從散點圖分析,y與x線性相關,且y=0.95

13、x+a,求a的值.x01234y2.24.34.84.86.7【解析】由表中數(shù)據(jù)得=2,=4.56,由于線性回歸方程一定經(jīng)過樣本中心點(,),即(2,4.56),在回歸直線方程y=bx+a中,代入點(2,4.56)得a=-b=4.56-0.95×2=2.66.10名同學在高一和高二的數(shù)學成績?nèi)缦卤?x74717268767367706574y76757170767965776272其中x為高一數(shù)學成績,y為高二數(shù)學成績.(1)y與x是否具有相關關系;(2)如果y與x具有相關關系,求回歸直線方程.【解析】(1)由已知表格中的數(shù)據(jù),利用計算器進行計算得=71,=72.3,xiyi=514

14、67,=50520,=52541.則r=0.78.即認為x與y之間具有線性相關關系.(2)y與x具有線性相關關系,設回歸直線方程為y=a+bx,則b=1.22,a=-b=72.3-1.22×71=-14.32,所以y關于x的回歸直線方程為y=1.22x-14.32.1.對相關系數(shù)r,下列說法正確的是().A.r越大,兩變量的線性相關程度越大B.r越小,兩變量的線性相關程度越大C.|r|越大,兩變量的線性相關程度越大;|r|越小,兩變量的線性相關程度越小D.|r|1,且|r|越接近1,兩變量的線性相關程度越大;|r|越接近0,兩變量的線性相關程度越小【解析】由兩個變量的相關系數(shù)公式r=

15、可知,相關程度的強弱與|r|和1的接近程度有關,|r|越接近1,兩變量的線性相關程度越大,|r|越接近0,兩變量的線性相關程度越小.【答案】D2.工人月工資y(元)關于勞動生產(chǎn)率x(千元)的回歸方程為y=650+80x,下列說法正確的個數(shù)是().勞動生產(chǎn)率為1000元,工資約為730元;勞動生產(chǎn)率提高1000元,則工資約提高80元;勞動生產(chǎn)率提高1000元,則工資約提高730元;當月工資為810元,勞動生產(chǎn)率約為2000元.A.1B.2C.3D.4【解析】正確,注意單位的一致性,故選C.【答案】C3.若預報體重y(kg)和身高x(cm)之間的線性回歸方程為y=0.849x-85.712,如果要

16、找到體重為41.638 kg的人,(填“一定”或“不一定”)在身高為150 cm的人群中. 【解析】體重不僅受身高的影響,還受其他因素的影響.【答案】不一定4.某個體服裝店經(jīng)營某種服裝,一周內(nèi)獲純利潤y(元)與該周每天銷售這種服裝的件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)如下:x3456789y66697381899091已知=280,=45309,xiyi=3487.(1)求,;(2)一周內(nèi)獲純利潤y與該周每天銷售件數(shù)x之間是否線性相關?如果線性相關,求出回歸直線方程.【解析】(1)=(3+4+5+6+7+8+9)=6,=(66+69+73+81+89+90+91)79.86.(2)根據(jù)已知=280,

17、=45309,xiyi=3487,得相關系數(shù)r=0.973.所以純利潤y與每天銷售件數(shù)x之間具有顯著的線性相關關系.利用已知數(shù)據(jù)可求得回歸直線方程為y=4.746x+51.386.(2022年·湖南卷)四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關關系,并求得回歸直線方程,分別得到以下四個結論:y與x負相關且y=2.347x-6.423;y與x負相關且y=-3.476x+5.648;y與x正相關且y=5.437x+8.493;y與x正相關且y=-4.326x-4.578.其中一定不正確的結論的序號是().A.B.C.D.【解析】由正相關、負相關的性質(zhì)可知在中,斜率為2.347&g

18、t;0,不可能負相關;在中,斜率為-4.326<0,不可能正相關,故一定不正確.選D.【答案】D    1.下列兩個變量之間的關系是相關關系的是().A.圓的面積與半徑B.球的體積與半徑C.角度與它的正弦值D.一個考生的數(shù)學成績與物理成績【解析】由題意知A表示圓的面積與半徑之間的關系S=r2;B表示球的體積與半徑之間的關系V=r2;C表示角度與它的正弦值y=sin,以上所說的都是確定的函數(shù)關系,相關關系不是確定性的關系,故選D.【答案】D2.在對兩個變量x,y進行線性回歸分析時有下列步驟:對所求出的回歸方程作出解釋;收集數(shù)據(jù)(xi,yi),其中i=

19、1,2,n;求線性回歸方程;求相關系數(shù);根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點圖.如果根據(jù)可靠性要求能夠作出變量x,y具有線性相關結論,那么在下列操作順序中正確的是().A.B.C.D.【解析】根據(jù)線性回歸分析思想可知,兩個變量x,y進行線性回歸分析時,應先收集數(shù)據(jù)(xi,yi),然后繪制散點圖,再求相關系數(shù)和線性回歸方程,最后對所求的回歸方程作出解釋,因此選D.【答案】D3.如圖所示有5組數(shù)據(jù),去掉后,剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關性更強. 【解析】根據(jù)散點圖判定兩變量的線性相關性,樣本數(shù)據(jù)點越集中在某一直線附近,這兩變量的線性相關性越強,顯然去掉D(3,10)后,其余各點更能集中在某一直線附近,即線

20、性相關性更強.【答案】D(3,10)4.一個工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間由如下一組數(shù)據(jù):x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50(1)畫出散點圖;(2)檢驗相關系數(shù)r的顯著性水平;(3)求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程.【解析】i123456789101112xi1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07yi2.252.372.402.552.6

21、42.752.923.033.143.263.363.50xiyi2.432.6542.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.0966.6537.245=,=,=29.808,=99.2081,xiyi=54.243(1)畫出散點圖,如圖所示.(2)r=0.99,這說明每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間存在顯著的線性相關關系.(3)設回歸直線方程y=bx+a,利用計算a,b,得b1.215,a=-b0.974,即回歸直線方程為y=1.215x+0.974.5.設一個回歸方程為y=3-5x,當變量x增加一個單位時().A.y平均增加3個單位B.y平均

22、減小5個單位C.y平均增加5個單位D.y平均減小3個單位【解析】-5是斜率的估計值,說明x每增加一個單位,y平均減少5個單位.【答案】B6.對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回歸方程的截距為().A.a=y+bxB.a=+bC.a=y-bxD.a=-b【解析】回歸直線方程中的截距即為a,由公式=b+a得a=-b,故選D.【答案】D7.許多因素都會影響貧窮,教育也許是其中之一,在研究這兩個因素的關系時收集了美國50個州的成年人受過9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比(y)的數(shù)據(jù),建立的回歸直線方程為y=0.8

23、x+4.6,則成年人受過9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比(y)之間的相關系數(shù).(填“大于0”或“小于0”) 【解析】一個地區(qū)受過9年或更少教育的百分比每增加1%,收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比將增加0.8%左右.【答案】大于08.假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料:使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對x呈線性相關關系.試求:(1)線性回歸方程y=bx+a的回歸系數(shù)a,b;(2)估計使用年限為10年時的維修費用.【解析】(1)制表如下:i12345合計xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.34916253690=4,=5,=90,xiyi=112.3于是b=1.23,a=-b=5-1.23×4=0.08.(2)由(1)知回歸直線方程為y=1.23x+0.08,當x=10時,y=1.23&