簡單多面體教案

1、第九章直線、平面、簡單幾何體（四）簡單多面體與球教學知識點1 棱柱的概念及性質(zhì)；2 棱錐的概念及正棱錐的性質(zhì)3 平行六面體，長方體的概念及性質(zhì)4 直棱柱、正棱錐直觀圖的畫法5 多面體、凸多面體、正多面體的概念及多面體的歐拉公式6 球的概念、球的性質(zhì)、球的表面積和體積§9.9棱柱與棱錐（1）多面體、棱柱與性質(zhì)課題 多面體、棱柱與性質(zhì)課型 新授課目的要求1、 了解多面體和凸多面體的概念；2、 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì). （識記） 棱柱的有關(guān)概念及棱柱各部分的名稱及其表示法（理解） 棱柱的概念的兩重含義和它的兩種分類（掌握） 棱柱的性質(zhì)：底面、側(cè)面、側(cè)棱、高、平行于底面的截面等（運用

2、） 運用棱柱的概念和性質(zhì)解決一些簡單的棱柱問題（綜合） 綜合運用棱柱的有關(guān)知識解決棱柱中的點、線、面的位置關(guān) 系和量的問題。3、在學習棱柱概念和性質(zhì)的過程中，努力提高學生的觀察、抽象和概括能力重點與難點 棱柱的概念和性質(zhì)的應用教學方法 教學過程一、復習引入1、 什么是長方體、正方體？它們有什么特性（從長方體、正方體的棱和面兩方面說明）？2、 什么是平行六面體？平行六面體有什么特性（從平行六面體的棱和面兩方面說明）？3、 比較：長方體與平行六面體4、 （投影展示，讓學生觀察特點，思考共同點、不同點）二、新課（一）多面體(提出問題學生看書后總結(jié))問題：1、 什么叫多面體？什么叫多面體的面、棱、頂點

3、和多面體的對角線？2、 什么叫凸多面體？3、 什么叫四面體、五面體、六面體？(結(jié)合下圖回答上述問題).練習：P54 1、2（二）棱柱() 棱柱的概念以上三個圖形所表示的模型均為棱柱，下面我們一起來研究它們的共同特點通過觀察，讓學生們總結(jié)出它們的共同特征:有兩個面互相平行；其余各面的交線也互相平行，因此各面為平行四邊形.BCEABCDADE1、定義 ： 如果一個多面體有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線互相平行，這樣的多面體叫棱柱.2、各部分名稱：底面、側(cè)面、側(cè)棱、棱、頂點、對角線、高（.兩個平行的面叫做棱柱的底面.其余各面叫做棱柱的側(cè)面.側(cè)面的交線叫做棱柱的側(cè)棱.側(cè)面與底面的公

4、共點叫做棱柱的頂點.側(cè)棱與底面的邊叫做棱柱的棱.不在同一個面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線.兩底面間的距離叫做棱柱的高. ）請同學們看右圖說出部分點、線、面的名稱(或說出名稱請學生找點、線、面)3、表示法：如圖，棱柱ABCDEABCDE或棱柱AC（強調(diào)一定要冠以“棱柱”兩字）（）棱柱的分類：（1）按側(cè)棱與底面關(guān)系分為斜棱柱 （側(cè)棱與底面關(guān)系） 直棱柱正棱柱（底面形狀）； 正棱柱 直棱柱（2）按底面的邊數(shù)分為：三棱柱、四棱柱、五棱柱、等（）棱柱的性質(zhì)（引導學生進行探討得出此結(jié)論） （1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形. （2）兩個底面與

5、平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等的多邊形；（平行截面） （3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形。（對角面）練習：填寫下表；底面形狀側(cè)面形狀側(cè)棱與底關(guān)系對角面形狀平行截面與底面關(guān)系斜三棱柱直四棱柱正五棱柱（三）例題與練習例題1、已知正三棱柱ABCABC的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側(cè)棱CC上的點，且CN=CC，求證ABMNB'A'C'BACMN例題2、已知斜三棱柱ABCABC的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱AA長為b,且側(cè)棱AA與底面邊AB、AC所夾角為45°.求其各側(cè)面面積的和S.例題3、在三棱柱ABCABC中，四邊形AABB是菱形，四

6、邊形BCCB是矩形，CBAB. （1）求證：平面CAB平面AAB；ABABHCC（2）若CB=3，AB=4，ABB=60°，求AC與平面BCC所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）.練習：P5614 5、四棱柱的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱長為b（a<b），上底的一個頂點A與下底的各個頂點等距離。CDABCDAB （1）求證：A在下底面的射影是下底面的中心； （2）求兩個對角面的面積。（ab）三、小結(jié)棱柱的概念（兩平行）分類（兩種）性質(zhì)（兩截面）應用.四、作業(yè)：課本P63中 習題9.9 1、2、3（注：例題和習題請您適當篩選）§9.9棱柱與棱錐（2）平行六面體與長方體課題平

7、行六面體與長方體課型 新授課目的要求1. 使學生掌握四棱柱、平行六面體，長方體的概念及類屬關(guān)系；2. 使學生掌握平行六面體，長方體的性質(zhì)3. 通過對平行六面體、長方體性質(zhì)的研究，培養(yǎng)學生的空間想象能力；通過由長方形性質(zhì)推導長方體性質(zhì)的類比方法對學生進行辯證唯物主義的思想教育.重點與難點 平行六面體、長方體性質(zhì)教學方法 教學過程 一、復習提問1棱柱的定義中，強調(diào)了棱柱的二個特點，它們分別指什么？2棱柱分為斜棱柱、直棱柱的依據(jù)是什么？3棱柱有三條性質(zhì)，它們所涉及的對象各是什么？（有二個面互相平行，其余各面均為四邊形；側(cè)棱互相平行側(cè)棱與底面是否垂直第一條性質(zhì)是側(cè)棱、側(cè)面；第二條是上下底面與平行于底面

8、的截面；第三條是過不相鄰的棱的截面 ）二、進行新課(一)概念觀察以下幾何體的變化，通過比較，說出他們的特征. (底面是平行四邊形) （底面是矩形） (板書上面圖表，從兩個不同的角度帶領(lǐng)學生分析各面的形狀對四棱柱分類)聯(lián)系1(通過這組練習，使學生搞清不同的四棱柱間的區(qū)間與聯(lián)系) :1.平行六面體的各個面是什么樣的四邊形?直平行六面體、長方體、正方體呢?2.長方體是直四棱柱，直四棱柱是長方體嗎?3.正方體是正四棱柱，正四棱柱是正方體嗎? （引導學生回答：1、平行六面體的六個面都是平行四邊形.直平行六面體的一組相對的面是平行四邊形，其余四個面是矩形.長方體的六個面都是矩形；正方體的六個面都是正方形.

9、2、不一定.因為直四棱柱的底不一定是矩形.3、不一定.因為正四棱柱的底是正方形，而側(cè)面不一定是正方形.）總結(jié)：特殊四棱柱及它們之間的關(guān)系，用集合表示為:四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體.特別是長方體、正四棱柱、正方體，它們較接近，要注意它們之間的區(qū)別.練習2：P. 58 13（二）性質(zhì)問題1：在平面幾何中平行四邊形、長方形各有什么性質(zhì)?（篩選答案：平行四邊形對角線互相平分長方形的長為a，寬為b，則對角線長為l2=a2+b2.）問題2：在立體幾何中平行六面體、長方體是否也有類似的性質(zhì)呢?(給學生時間思考，討論，請學生回答)(板書：平行六面體、長方體的性質(zhì)定理)定理：平行六面體的對

10、角線相交于一點，并且在交點處互相平分.定理：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上的三條棱的長的平方和.（畫圖、分析、學生板演證明）. （三）應用例:  有一矩形紙片ABCD，AB=5,BC=2,E,F分別是AB，CD上的點，且BE=CF=1，把紙片沿EF折成直二面角.(1)求B、D兩點的距離；(2)求證AC，BD交于一點且被這點平分.分析:將平面BF折起后所補形成長方體AEFD-A1BCD1，則BD、AC恰好是長方體的對角線.(1)解:因為AE，EF，EB兩兩垂直，所以BD恰好是以AE，EF，EB為長、寬、高的長方體的對角線，所以 . (2)證明:因為AD=EF，EF=

11、BC，所以AD=BC.所以ABCD在同一平面內(nèi)，且四邊形ABCD為平行四邊形.所以AC、BD交于一點且被這點平分.（或用平行六面體的性質(zhì)定理證明）（注：通過此例可把求空間兩點間距離問題轉(zhuǎn)化為求長方體的對角線長的問題.）練習3：1、 長方體的一條對角線與一個頂點上的三條棱所成的角分別為、，求證:cos+cos+cos=1.2、 長方體的一條對角線與各個面所成的角分別為，求證:     cos+cos+cos=2.3、P. 58 4、5三、小結(jié):1.特殊四棱柱及它們之間的關(guān)系，用集合表示為:四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體.特別是長方體、正四

12、棱柱、正方體，它們較接近，要注意它們之間的區(qū)別.2.平行六面體和長方體的性質(zhì)四、作業(yè):P. 63 第4、5題.思考題:在例題中若沿對角線AC折起成直二面角，是否可構(gòu)造一長方體，去求BD的距離?若能構(gòu)造成長方體，是怎樣的長方體?§9.9棱柱與棱錐（3）棱錐與它的性質(zhì)課題棱錐與它的性質(zhì)課型 新授課目的要求1. 理解棱錐及正棱錐的概念.2. 掌握正棱錐的性質(zhì),并能利用性質(zhì)進行有關(guān)的計算與證明3. 掌握一般棱錐的 “平行與底面的截面”的性質(zhì),并會計算其截面積.教學重點 棱錐及正棱錐的概念和性質(zhì)教學難點一般棱錐的 “平行與底面的截面”的性質(zhì)教學手段幾何模型及投影儀教學方法 教學過程 一、新課（

13、一）引入實例,導入新課用現(xiàn)實生活中的例子說明棱錐的概念:埃及金字塔、帆布帳篷、農(nóng)村肥堆等都給我們以棱錐的形象. 請根據(jù)你的觀察和理解給棱錐下一個定義,由學生討論,教師指導得出:SDABCEO棱錐的定義:有一個面是多邊形,其余各面是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.這個多邊形叫做棱錐的底面,其余各面叫做棱錐的側(cè)面,各側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱,各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點,頂點到底面的距離叫做棱錐的高,如圖中的棱錐,多邊形ABCDE是底面,三角形SAB ,SAC, 等等是棱錐的側(cè)面,SA,SB,SC,SD,SE是棱錐的側(cè)棱,S是棱錐的頂點,SO是棱錐的高.棱錐的表示法:用

14、底面和頂點表示;如圖棱錐可以表示為棱錐S-ABCDE 也可以用底面一條對角線端點的字母來表示,例如:棱錐S-ACBSACDEFOH棱錐的分類 (1)按底面多邊形的邊數(shù)為來分:三棱錐,四棱錐;五棱錐;六棱錐,如下面的棱錐為五棱錐.（二）研究問題，發(fā)現(xiàn)定理1、關(guān)于截面問題：（1）在三棱錐S-ABC中, AB=10,BC=8,AC=6,過三棱錐S-ABC中高的中點作一個平面與底面平行,求所得的截面（稱為中截面）面積.（2） 一個平行于棱錐底面的平面截棱錐所得的截面與底面有什么關(guān)系?問題解決：(1)由于H為SO的中點，又平面DEF/平面ABC，所以HE/OC，故E為SC中點，同理D，F(xiàn)分別為SB，SA

15、中點，所以三角形DEF相似于三角形ABC，且相似比為1：2，故面積之比為1：4，而三角形ABC為直角三角形，面積為24，因此三角形DEF的面積為6；（2）截面與底面相似，且它們的面積之比為截得的棱錐的高和已知棱錐的高的平方比。證明過程與（1）類似，兩個多邊形相似的的條件是對應角都相等，對應邊都成比例；請學生完成；定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積之比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比.2、正棱錐及其性質(zhì) 棱錐的分類除了按底面多邊形的邊數(shù)來分之外,還有 一種十分特殊的棱錐定義：底面是正多邊形,且頂點在底面的射影是底面多邊形的中心的棱錐稱為正棱錐.問

16、題1：下列說法是否正確(1) 底面是正多邊形的棱錐是正棱錐(2) 底面是正多邊形,各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐.(3) 底面是正多邊形,各側(cè)棱與底面所成的角相等的棱錐是正棱錐 (4) 頂點在底面的射影為底面多邊形的外心的棱錐是正棱錐.問題2：（1） 各側(cè)棱的關(guān)系如何？,各側(cè)面三角形關(guān)系如何？（2） 正棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成什么三角形？ 棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影組成什么三角形？正棱錐的性質(zhì)(教師指導學生完成)SODA(1) 各側(cè)棱相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做叫做正棱錐的斜高）.(2) （兩個重要的直角三角形）正棱錐的高,斜高

17、和斜高在底面上的射影組成直角三角形; 棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也組成直角三角形.(注：兩個三角形的銳角都有十分重要的含義.如圖中為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角；中為側(cè)棱與底面所成的角)練習:正三棱錐的底面邊長和高均為a,側(cè)面與底面所成二面角的正切為 ,側(cè)棱與底面所成的角的正弦為 .（三）例題例1已知正三棱錐SABC的高SO=h. 斜高. 求經(jīng)過SO的中點O平行與底面的截面（中截面）的面積SABCABCMOO分析：關(guān)鍵在求出底面積，在直角三角形SMO中，OM=，設(shè)底面邊長為則OM=所以，因此所求BOSACDEH面積為例2:正四棱錐S-ABCD中,高為a, 底面邊長為2a, 求:(1)

18、 底面與側(cè)面所成的二面角(2) 點B到側(cè)棱SC的距離(3) 相鄰兩個側(cè)面所成的二面角略解(1)為底面與側(cè)面所成的二面角的平面角為45度(2)作,由面積關(guān)系式有(3)連接DE,三角形BEC全等與三角形DEC,A故為相鄰兩側(cè)面DSC和BSC所成二面角的平面角,由余弦定理即得=120度例3:正六棱錐S-ABCDEF的側(cè)棱SA的長為10cm,底面ABCDEF是邊長為8cm, 這個正六棱錐被平行于底面的平面所截,截得的截面面積為,求這個截面和底面之間的距離 (主要由學生完成)先求正六棱錐的高SO=6,過S作SH截面,則,SH=2,故求得的截面和底面之間的距離為6-2=4cm(四) 限時練習,鞏固知識下列

19、練習限定8分鐘完成（前面兩題必做，后面一題選做）1. 已知平行于棱錐底面的平面把棱錐的高從頂點起分成2:3的兩部分,截面面積為Q,則棱錐的底面積為 ()2. 已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為a,側(cè)棱長為b,則過側(cè)棱PA和高PO所作截面面積為 ( )3、已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為6,高為3,被一個過底面中心而平行于一個側(cè)面的平面所截,求這個截面面積及該截面與底面所成的二面角 ()二、小結(jié)整理，揭示規(guī)律（1） 棱錐的概念（2） 正棱錐的概念及性質(zhì)(兩個直角三角形各邊及角的含義（3） 棱錐 “平行于底面的截面”的性質(zhì)。（4） 對于正棱錐要熟悉兩個直角三角形。三、作業(yè) 課本63頁710 選作

20、：課本63頁 6§9.9棱柱與棱錐（4）直棱柱、正棱錐直觀圖的畫法課題 直棱柱、正棱錐直觀圖的畫法課型 新授課目的要求1、 理解直棱柱、正棱錐的直觀圖的畫法2、 會畫直棱柱、正棱錐的直觀圖3、 了解正多面體的概念教學重點直棱柱、正棱錐的直觀圖的畫法、正多面體的概念教學難點直棱柱、正棱錐的直觀圖的畫法教學手段投影儀教學方法 教學過程 一、復習引入（一）練習1. 側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是(A) 正棱錐 (B)側(cè)棱長都相等的棱錐(C)斜高相等的棱錐(D)以上都不一定是因為側(cè)面的等腰三角形中,其底邊可以是側(cè)棱可以是底面的一邊2. 已知一個正四棱錐,它的相鄰兩個側(cè)面所成的二面角是(A)

21、 銳角(B)直角(C)鈍角(D)不確定3. 在三棱錐S-ABC中, AB=10,BC=8,AC=6,過三棱錐S-ABC中高的中點作一個平面與底面平行,求所得的中截面面積.（二）引入：在第一章中我們學過水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法，所采用的方法叫做斜二測畫法，它有三條規(guī)則，請同學們一起回憶一下(請一位同學回答，其他同學補充)（ (1)在已知圖形中的互相垂直的軸ox，oy，畫直觀圖時，把它畫成對應的軸o'x'，o'y'，使x'o'y'=45°(或135°)(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于

22、x'軸或y'軸的線段(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半）二、進行新課（一）直棱柱直觀圖的畫法請同學們畫一個邊長為2cm的正六邊形的直觀圖(教師以放大10倍后，同時在黑板上畫出)師：請同學們在所畫的圖形中再畫上一條軸O'z'使z'O'x'90°，z'O'y'45°，然后分別過A'，B'，C'，D'，E'，F(xiàn)'作Oz'軸的平行線，并在其上截取3cm長的線段，最后依次過線所得的點師：(待

23、學生畫好后)，大家所畫的圖形就是底面邊長為2cm，高為3cm的正六棱柱的直觀圖下面請一位同學來總結(jié)直棱柱直觀圖的畫法，讓學生舉手挑選程度高的同學回答(只要說出方案即可)生：先畫底面的直觀圖，接著畫O'z'軸，使x'O'z=90°，再過底面各頂點作O'z'軸的平行線并截取等于高的線段長，最后依次連結(jié)各截點，并去掉輔助線所遮擋部分為虛線(學生表達不清時教師可提示)練習：課本第62頁第1題（二）正棱錐直觀圖的畫法正棱錐的直觀圖與正棱柱的畫法一樣，由底面與高來決定，底面圖形的畫法即平面直觀圖的畫法，高的畫法是過底面中心作地面的垂線，其長度即為原

24、棱錐的高，垂線段的另一端點即為正棱錐的頂點。請學生自己畫一個底面邊長為5cm，高為11.5cm的正五棱錐的直觀圖。比例尺為1：5；練習：課本第62頁第2題（三）正多面體1、定義：各面都有相同的邊數(shù)，每個頂點為端點都有相同的棱數(shù)的凸多面體，稱為正多面體請學生舉例說明2、正多面體有且僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.（證明方法：利用多面角的所有面角之和小于2；利用簡單多面體的歐拉公式V+F-E=2.在高等數(shù)學中，用“變換群”的理論定義正多面體，并證明正多面體有且僅有五種.在拓撲學中定義“拓撲正多面體”，并證明拓撲正多面體屬于五個拓撲型之一.）（圖示：P. 62 圖99

25、7） 3、正多面體的展開圖（圖示：P. 63 圖998）練習：課本第63頁第1、2題 (重要提示：本練習需要學生提前做好模型)（四）例題：求棱長為a的正八面體的對角線的長 （）三、歸納小結(jié)1、 直棱柱、正棱錐的直觀圖的畫2、 正多面體的概念四、作業(yè)布置：課本64 1114 16§9.9棱柱與棱錐（5）習題課課題棱柱與棱錐習題課課型 習題課目的要求1、 進一步理解棱柱、棱錐的有關(guān)概念和性質(zhì)，能較熟練的應用棱柱、棱錐的有關(guān)概念和性質(zhì)解決有關(guān)問題2、 通過對棱柱、棱錐相互關(guān)系及內(nèi)在聯(lián)系的進一步研究，培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯思維能力和辯證唯物主義觀點教學重點 棱柱、棱錐的有關(guān)概念和性質(zhì)的應用教學難點 棱柱、棱錐的有關(guān)概念和性質(zhì)的應用教學手段 投影儀教學方法 教學過程 一、復習（投影）1、 2、有關(guān)性質(zhì)、定理3、練習(1)設(shè)有四個命題底面是矩形的平行六面體是長方體棱長相等的