第七講 摩擦角及其它

1、第七講 摩擦角及其它1、“千斤頂”中的學(xué)問(wèn)【例1】在固定的斜面上放一物體，并對(duì)它施加一豎直向下的壓力，物體與斜面間的摩擦因數(shù)為。求斜面傾角的最大值，使得當(dāng)m時(shí)，無(wú)論豎直向下的壓力有多大，物體也不會(huì)滑下。分析：如圖，物體受四個(gè)力，重力和壓力的合力為G+F，靜摩擦力Fs，斜面支持力FN。將G+F分解為F1和F2，根據(jù)平衡條件得 FN = F2=（G+F）cos Fs= F1=（G+F）sin物體不會(huì)滑下的條件是Fs小于最大靜摩擦力Fm，而Fm=FN ，從而有 （G+F）sin（G+F）cos化簡(jiǎn)得 arctan所以只要arctan，無(wú)論F有多大，物體也不會(huì)滑下。說(shuō)明： “千斤頂”螺旋實(shí)際可以看作是

2、的彎曲斜面。2、推力的極大值（自鎖）【例2】在機(jī)械設(shè)計(jì)中，常用到下面的力學(xué)裝置，如圖只要使連桿AB與滑塊m所在平面法線的夾角小于某個(gè)值，那么無(wú)論連桿AB對(duì)滑塊施加多大的作用力，都不可能使之滑動(dòng)，且連桿AB對(duì)滑塊施加的作用力越大，滑塊就越穩(wěn)定，工程力學(xué)上稱為自鎖現(xiàn)象。則自鎖時(shí)應(yīng)滿足什么條件？設(shè)滑塊與所在平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。分析：將連桿AB對(duì)滑塊施加的推力F分解，且F遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于mg，可以忽略。則滑塊m 不產(chǎn)生滑動(dòng)的條件為 FsinFcos化簡(jiǎn)得自鎖的條件為 arctan。3、運(yùn)動(dòng)員的彎道技術(shù)【例3】在田徑比賽、摩托車賽、自行車賽等運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中，當(dāng)通過(guò)彎道時(shí)，運(yùn)動(dòng)員必須傾斜與路面保持一定的角度才能順利

3、通過(guò)彎道，這就是運(yùn)動(dòng)員的彎道技術(shù)。路面的彎道半徑越小，運(yùn)動(dòng)員的速度越快，運(yùn)動(dòng)員的傾斜角就越大。設(shè)在摩托車比賽中，摩托車與路面間的摩擦因數(shù)為，試求摩托車所能達(dá)到的最大傾角。分析：運(yùn)動(dòng)員要穩(wěn)定地平動(dòng)，路面對(duì)摩托車的力必須通過(guò)整體的重心，所以靜摩擦力F1與支持力F2的夾角等于運(yùn)動(dòng)員與路面的傾斜角度。而路面對(duì)摩托車整體的力F是F1和F2的合力，由圖知 F1= F2tan=mg tan對(duì)摩托車的最大靜摩擦力為 Fm=F2=mg則摩托車不傾倒的條件是 F1Fm 化簡(jiǎn)得 arctan所以摩托車所能達(dá)到的最大傾角為m= arctan。4、拉力的極小值【例4】在水平面上放有一質(zhì)量為m的物體，物體與地面的動(dòng)摩擦因

4、數(shù)為，現(xiàn)用力F拉物體，使其勻速運(yùn)動(dòng)，怎樣施加F才能最小。分析：設(shè)拉力與水平面間的夾角為，將拉力F分解，并列出平衡方程，由動(dòng)摩擦力公式得 Fcos=（mg-Fsin），化簡(jiǎn)為 （其中令）當(dāng)時(shí)F有最小值： ， 且 = arctan。5、破冰船中的道理【例5】1999年，中國(guó)首次北極科學(xué)考察隊(duì)乘坐我國(guó)自行研制的“雪龍”號(hào)科學(xué)考察船?！把垺碧?hào)科學(xué)考察船不僅采用特殊的材料，而且船體的結(jié)構(gòu)也滿足一定的條件，以對(duì)付北極地區(qū)的冰塊和冰層。它是靠本身的重力壓碎周圍的冰塊，同時(shí)又將碎冰塊擠向船底，如果碎冰塊仍擠在冰層與船體之間，船體由于受到巨大的側(cè)壓力而可能解體。為此，船體與豎直方向之間必須有一傾角。設(shè)船體與冰

5、塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。試問(wèn)使壓碎的冰塊能被擠壓向船底，角應(yīng)滿足的條件。分析：冰塊受到三個(gè)力：冰層對(duì)冰塊的水平向后的擠壓力，船體對(duì)冰塊的側(cè)壓力F，以及沿船體方向的摩擦力（冰塊的重力和浮力可以忽略）。將F分解，如圖 FN = F1=Fcos Ff =FN 能使壓碎的冰塊被擠壓向船底必須滿足的條件為F2Ff ，有Fsin Fcos 化簡(jiǎn)得 arctan6、壓延機(jī)原理【例6】壓延機(jī)由兩輪構(gòu)成，兩輪的直徑均為d=50mm，輪間的間隙為a=5mm，兩輪按反方向轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖中箭頭所示。已知燒紅的鐵板和鑄鐵輪之間的摩擦因數(shù)為=0.1，問(wèn)能壓延的鐵板厚度b是多少？分析：鐵板的A、B兩點(diǎn)和鑄鐵輪接觸，接觸點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸連

6、線的夾角為。在A點(diǎn)鐵板受到FN1和Ff1兩個(gè)力，在B點(diǎn)鐵板受到FN2和Ff2兩個(gè)力，如圖所示。要使鐵板能壓延鐵板所受合力必須向右，則 =arctan則鐵板的最大厚度為 bm= a+2（r-rcos）=7.48mm所以能壓延的鐵板厚度 b7.48mm【例7】物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時(shí)，物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動(dòng)摩擦因素。答案：引進(jìn)全反力R ，對(duì)物體兩個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），m指摩擦角。再將兩圖重

7、疊成圖的右圖。由于灰色的三角形是一個(gè)頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊故有：m = 15°。最后，= tgm=0.268。【例8】(第三屆全國(guó)預(yù)賽)如圖217所示用力F推一放在水平地面上的木箱，質(zhì)量為M，木箱與地面間摩擦因數(shù)為 問(wèn)：當(dāng)力F與豎直成夾角j多大時(shí)，力F再大也無(wú)法推動(dòng)木箱? 思路分析本題屬于物體平衡問(wèn)題，一般方法是用平衡條件列方程求極值，但這里用摩擦角的概念分析，問(wèn)題會(huì)更加簡(jiǎn)單解:選物體為研究對(duì)象，受力如圖2-1-8所示，其受四個(gè)力作用而靜止，將彈力N和摩擦力f合成作出全反力F 當(dāng)物體將要發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，靜摩擦角j0。滿足tgj0=m，由平衡條件知當(dāng)

8、0<j<j0時(shí)，物體出現(xiàn)自瑣現(xiàn)象，也就是說(shuō)此時(shí)無(wú)論用多大的力都不會(huì)使物體推動(dòng)，故j角屬于范圍(0,j0)。 一個(gè)接觸面的平衡問(wèn)題【例9】一物體質(zhì)量為m，置于傾角為的斜面上，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，若要使物體沿斜面勻速向上滑動(dòng)，求拉力的最小值。解析：本題有兩種解法，一種是根據(jù)平衡條件利用數(shù)學(xué)建模得到后再求極值，另一種是引入全反力（摩擦角）化四力平衡為三力平衡根據(jù)矢量三角形直觀快速地求解。解法一：（利用平衡條件求解）設(shè)拉力與斜面夾角為，則由平衡條件可得：即有 令，則有 解法二：（引入摩擦角）如圖1所示，設(shè)，則由平衡條件和矢量三角形可得：當(dāng)拉力F垂直于全反力方向時(shí)此時(shí)F的拉力最小，即

9、：【例10】結(jié)構(gòu)均勻的梯子AB，靠在光滑豎直墻上，已知梯子長(zhǎng)為L(zhǎng)，重為G，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，如圖所示，（1） 求梯子不滑動(dòng)，梯子與水平地面夾角的最小值0；（2） 當(dāng)=0時(shí)，一重為P的人沿梯子緩慢向上，他上到什么位置，梯子開始滑動(dòng)？分析：本題也有兩種解法：解法一是根據(jù)物體的平衡條件求解，這是常規(guī)解法；另一解法是分析出它臨界條件0再引入摩擦角解。解法一：（1）如圖2所示，平衡條件可得：由上述3式可解得：（2）如圖3所示，由平衡條件可得：由上述3式可解得： 解法二：（1）（引入摩擦角）如圖4所示，由平衡條件可得： 所以有 （2）如圖5所示，將梯子和人的重力用其等效重力代替，當(dāng)?shù)刃е亓Φ闹匦倪€在

10、梯子重心下面時(shí)梯子還不會(huì)滑倒，當(dāng)?shù)刃е亓Φ闹匦倪€在梯子重心上面時(shí)梯子就會(huì)滑倒，所以當(dāng)人上到梯子一半即L/2時(shí)，梯子開始滑動(dòng)。一 兩個(gè)接觸面的平衡問(wèn)題【例11】一架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻的靜摩擦系數(shù)分別為1、2，求梯子能平衡時(shí)與地面所成的最小夾角。分析：此題同樣有兩種解法，為了節(jié)省篇幅，接下來(lái)只介紹引入摩擦角的解法。此題是多點(diǎn)摩擦的問(wèn)題，而且又是多點(diǎn)同時(shí)滑動(dòng)，所以系統(tǒng)達(dá)到臨界平衡狀態(tài)（極限平衡狀態(tài)）時(shí)，即梯子與水平所成的夾角最小時(shí)，各處摩擦力均達(dá)到最大值?，F(xiàn)把兩端點(diǎn)的受力用全反力表示，則梯子就只受三個(gè)力，且三個(gè)力必共點(diǎn)。解：如圖6所示， ，由平

11、衡條件和幾何關(guān)系可得： 即梯子與地面所成的最小的角為 想一想為什么多點(diǎn)摩擦同時(shí)滑動(dòng)的臨界條件是多點(diǎn)的摩擦力同時(shí)達(dá)到最大值？思考題質(zhì)量為m的均勻梯子，一端在堅(jiān)直光滑的墻上，另一端置于粗糙的水平地面上，靜摩擦系數(shù)為，一個(gè)質(zhì)量為M的人沿梯往上爬，為了保證該人的安全，對(duì)梯子的放置有什么要求？（答案：）【例12 】一梯子長(zhǎng)為L(zhǎng)，斜靠在豎直的墻壁上，梯子的傾角為，與水平地面間的靜摩擦系數(shù)為，與豎直墻面間的靜摩擦系數(shù)為為，不計(jì)梯子的重力，求：重為G的人沿梯子能上升的最大高度。解：以梯子和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，如圖所示，建立直角坐標(biāo)系：地面對(duì)梯子的全反力F1的直線方程：y=(xLcos) （1）豎直墻面對(duì)梯

12、子的全反力F2的直線方程：y=tanx +Lsin （2）梯子AB的直線方程：y=tan（xLcos） （3）當(dāng)人達(dá)最高時(shí)，梯子將要滑動(dòng)，此時(shí)有： tan= tan= 代入上式由（1）、（2）兩式可得F1 與F2的交點(diǎn)P坐標(biāo)為：x=代入（3）式得人達(dá)到的最大高度為：y=令h=Lsin 則：y=討論：（1）當(dāng)tan時(shí)，y,說(shuō)明人可到達(dá)梯子的頂端，即：ymax=L sin。也就是說(shuō)，梯子的傾角大于某一臨界角時(shí)（tan=），梯子會(huì)處于自鎖狀態(tài)。這種情況在實(shí)際中正是人們所希望的，因此人們通常把梯子放得陡一些，使得人無(wú)論爬到梯子的任何位置，梯子都將因自鎖而不至滑倒，而且梯子與水平地面間的靜摩擦系數(shù)越大，

13、臨界角就會(huì)越小，梯子會(huì)更容易實(shí)現(xiàn)自鎖狀態(tài)。（2）、當(dāng)tan時(shí)，y<h,說(shuō)明人不能到達(dá)梯子的頂端，即：ymax= 如果此題考慮到梯子的重力，則上述結(jié)果便是人與梯子系統(tǒng)重心的最大高度，根據(jù)系統(tǒng)重心的計(jì)算公式，也可計(jì)算出人沿梯子上升的最大高度。小結(jié)：由于摩擦角與全反力所在直線的斜率存在著特殊的關(guān)系，所以在解決此類有關(guān)全反力及摩擦角的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首選“坐標(biāo)法”，這樣可避免解繁瑣的三角形，使解題的目的性更加明確，從而達(dá)到事半功倍的效果?！纠?2 】 如圖9所示，每側(cè)梯長(zhǎng)為的折梯置于鉛垂平面內(nèi)，已知A、B兩處動(dòng)摩擦因數(shù)分別為A=0.2、B=0.6 ，不計(jì)梯重，求人能爬多高而梯不滑到。解析：這是多點(diǎn)摩擦不同時(shí)滑動(dòng)的平衡問(wèn)題，比前面的例題要復(fù)雜。如果地面與梯的摩擦系數(shù)足夠大，則梯子不會(huì)滑到，現(xiàn)兩邊的摩擦系數(shù)較小，所以梯子有可能滑到，所以必須對(duì)A、B分別分析。解：由題意可得：，如果從A開始往上爬，爬到如圖所示時(shí)梯子將滑到，此時(shí)受力如圖9所示，設(shè)此時(shí)人離A端的距離為S，則由平衡條件和幾何關(guān)系可得： 所以從A端能爬的最大