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1、2導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)范圍的求法一、與單調(diào)性有關(guān)的參數(shù)問題此時參數(shù)可以位于函數(shù)中也可以位于區(qū)間內(nèi),常見的提問方式是函數(shù)在某個區(qū)間 單調(diào)遞減、單調(diào)遞增、單調(diào)、不單調(diào),研究這類問題的關(guān)鍵是把握原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的 關(guān)系,這里需要注意的一個問題:若函數(shù)f(x)單調(diào),則f(x)恒為非正或非負(fù),函數(shù) 的極值點并不等同于導(dǎo)函數(shù)的零點,極值點的個數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的根的個數(shù)也不能直接劃 等號。例1.已知函數(shù)f (x) =x3-3X?-9x在區(qū)間(a,2a-1)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍。解析:先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性作出函數(shù)的趨勢圖像,再安排存在參數(shù)的區(qū)間位置即可。 2f (x) =3x -6x -9 =3(x 1)(x -3)令f(
2、x)0,則x - 3或x:-1;令f(x):0,則-1:x:3,作出趨勢圖像如下:a -1函數(shù)在區(qū)間(a,2a-1)上單調(diào)遞減,需滿足2a-仁3=1ca2Na-Ia22例2已知函數(shù)f(x)=x a lnx在1,4上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍xa2解析:轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性的關(guān)系即可,f (x) =2x2x x22在1,4上是減函數(shù),即f (x)乞0= a乞-2x2在1,4上恒成立x令g(x) = -2x2,因為g(x)在1,4上遞減,則g(x)min= g=-一x22所以a豈-63(1)xf(x)2、例 3.3.已知函數(shù)f (x)二ax, g(x) = Inx,aR,若函數(shù)G(x
3、)ag(x)在區(qū)間ax1,:)上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍。解析:題目只是說明函數(shù)是單調(diào)函數(shù),并未說明是單增還是單減,因此需要分兩種情 況討論,將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立問題即可。3xf (x)2a 2 2x +ax2G(x)ag(x),G(x)=2x22axx xx若G(x)在區(qū)間1,=)上單調(diào)遞增,則G(x)_O在1,:)上恒成立,即22一22a3-2x在1,丘)上恒成立,令h(x) =-2x,因為h(x)在1,畑)遞減,則xxh(x)max二h(1)=0,此時aO若G(x)在區(qū)間1,=)上單調(diào)遞減,則G(X)乞0在1,:)上恒成立,即2222a 2x在1,=)上恒成立,令h(x) 2x,因
4、為h(x)無最小值,則不存xx在這樣的a綜上,a-0例 4.4.已知函數(shù)f (x) = x3 (k -1)x2(k 5)x,其中kR,若函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,3)上不是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍。解析:這個問題相對復(fù)雜些,但是思路還算清晰,函數(shù)在(0,3)上不是單調(diào)函數(shù),意味著原函數(shù)在(0,3)上存在極值點,因為三次函數(shù)極值點的個數(shù)可能是兩個也可能沒 有,原題目中排出沒有的情況,因此題目存在兩個極值點,但是這兩個極值點有 幾個落在區(qū)間(0,3)內(nèi)這是個問題,可能只有一個極值點在,也可能兩個都在,此 外極值點是導(dǎo)函數(shù)的根,題目即可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)根的分布問題。 2f (x) =3x 2(
5、k -1)x k 5,函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,3)上不是單調(diào)函數(shù),則f(x)在(0,3)內(nèi)必定存在極值點,此時f(x)不能單調(diào)遞增,只能是保持一種增減增的狀態(tài),因此f (x)在(0,3)內(nèi)的極值點可能是一個也可能是兩個。(1)若極值點在(0,3)內(nèi)只有一個,情況如下:5 3:1/-4-2134!i 6r e o io-11o(2)If (0) o26此時f (x)只需要滿足gn a J(3) 0 f0 A 0二、與極值有關(guān)的參數(shù)范圍問題此時f (x)只需要滿足常見的問法是函數(shù)有無極值點, 有幾個極值點的問題,極值點是函數(shù)單調(diào)性發(fā)生 改變的點,因此有極值點意味著函數(shù)不單調(diào),沒有極值點則意味著函
6、數(shù)單調(diào),有幾個 極值點意味著導(dǎo)函數(shù)有幾個零點,但是導(dǎo)函數(shù)有幾個零點不等同于函數(shù)有幾個極值點(導(dǎo)函數(shù)為零的點不一定為極值點,極值點一定為導(dǎo)函數(shù)為零的點) 例 5.5.已知函數(shù)f (x)n(X,設(shè)h(x) =xf (x)-x-ax3在(0,2)上有極值,求a的取x值范圍。解析:h(x)二ln(x 1)xax3(x *1且x = 0),2h(x)二-3ax2-1二(),h(x)在(0,2)上有極值,則h (x)x+1x + 12在(0, 2)上有零點,即-3ax -3ax-1=0在(0,2)有根C11從13a =一,故a -x2+x618例 6.6.若函數(shù)f (x ex(x2ax a 1)沒有極值點
7、,求a的取值范圍解析:f (x) = exx2(a 2)x 2a 1),令f (x) = 0,即x2(a 2)x 2a 1 = 0函勺數(shù)無極值點,貝V厶=(a,2)24(2a *1)0= 0乞a乞43例7.7.已知函數(shù)f (x) = a In x - ax - 3,函數(shù)f (x)的圖像在x = 4處的切線的斜率為,且g(x)=-x3x2 f (x)在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍。3213m22解析:由已知得a = -2,g(x)x3(2)x2- 2x,g (x x2(m 4)x - 2,函32數(shù)在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點,根據(jù)二次函數(shù)根的I g:0
8、 19分布列不等式,:一::m:-3lg( 3)=03二、與雙參數(shù)有關(guān)的參數(shù)冋題在參數(shù)問題中參數(shù)的個數(shù)可能不止一個,另外在此類問題中變量的個數(shù)也可能不 止一個,也可能會出現(xiàn)雙變量的問題。題目中若含有雙參數(shù)m,n,其中一個一般是給出了區(qū)間,而讓求另一個未給出的 參數(shù)的取值范圍,除了這個之外一般還會給出未知量x的區(qū)間,一個參數(shù)一個未知量是以任意性和存在性方式給出,其實這種題目大多是參數(shù)恒成立或存在性問題的延伸, 只不過需要求兩次最值,因為多了一個參數(shù),所以在難度上會適當(dāng)?shù)慕档?。解題的思路是將所求的參數(shù)m單獨分離,另一邊包括另外一個參數(shù)n和變量x,此時可以將參數(shù)n或變量x中的一個當(dāng)成自變量,另外一個
9、當(dāng)做常量即可,求出最值 后可消去參數(shù)n或自變量x,再將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)恒成立問題即可,但是如果所求的 參數(shù)m不能分離,可分離的是另一個參數(shù)n,這樣反而簡單,直接利用任意性或存在性消去參數(shù)n。例 8.8.已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3,若函數(shù)f(x)的圖像在點(2, f(2)處的切線 的傾 斜角為45,對于任意的r 1,2,函數(shù)g(xx3x2 f (x) 在區(qū)間(t,3)上總不 是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍。、.3rm2解析:由題意知a =-2,g(x)=x (2)x -2x2g (x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),即g (x)在(t,3)上存在零點g (x) =3x2 (m 4)x -2
10、,根據(jù)二次函數(shù)根的分布列不等式37m *-3Jm+4)t c2_3t22成立,則m 4 3tt2_ 2因為3t在t 1,2上單調(diào)遞減,及(7 - 3t)min- 5,綜上所述,m:-932例 9.9.設(shè)函數(shù)f (x) = a ln x - bx,當(dāng)b= 0時,若不等式f (x)一m x對所有的32a 0, , x 1,e 都成立,求實數(shù)m的取值范圍。2解析:當(dāng)b=0時,f (x) =aln x,f (x)亠m x= a ln x亠m x對所有的3232a 0,-, x,1,e2都成立,即m空alnx-x對所有的a 0,x 1,e2都成立2 22令h(a)二alnx-x,h(a)為一次函數(shù),當(dāng)x 1,e 時
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