第10章無窮級數(shù)習(xí)題詳解

1、第十章 無窮級數(shù)習(xí)題10-11. 寫出下列級數(shù)的前五項:（1）; （2）;（3）; （4）.解（1）（2） （3）（4）.2. 寫出下列級數(shù)的一般項:(1) ;(2) ;(3);(4) ().解（1）因為 ，因此一般項 (2) 因為 ，因此一般項（3）因為 ，因此一般項（4）因為 ，因此一般項.3. 判定下列級數(shù)的斂散性:（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）;（7）;（8）;（9） （）;(10) .解（1）因為當(dāng)時，故級數(shù)發(fā)散.（2）因為 , 當(dāng)時，故級數(shù)收斂.(3) 因為 ，當(dāng)時，故級數(shù)收斂.（4）因為 由于 不存在，所以不存在，因而級數(shù)發(fā)散.（5）因為 當(dāng)時，故級數(shù)收斂.

2、(6) 該級數(shù)的一般項，故由級數(shù)收斂的必要條件可知，該級數(shù)發(fā)散.(7) 該級數(shù)為公比的等比級數(shù)，該級數(shù)收斂，而該級數(shù)為公比的等比級數(shù)，該級數(shù)也收斂，故也為收斂級數(shù).(8) 該級數(shù)的一般項，故由級數(shù)收斂的必要條件可知，該級數(shù)發(fā)散.(9) 因為 當(dāng)時，故該級數(shù)收斂.(10) 該級數(shù)的一般項，故由級數(shù)收斂的必要條件可知，該級數(shù)發(fā)散.4. 證明下列級數(shù)收斂，并求其和：.證當(dāng)時，故該級數(shù)收斂，且.5若級數(shù)與都發(fā)散時，級數(shù)的收斂性如何？若其中一個收斂，一個發(fā)散，那么，級數(shù)收斂性又如何？解 若級數(shù)分別為；(發(fā)散)；（發(fā)散）則級數(shù)顯然收斂；但是如果另外有級數(shù)，則級數(shù)顯然發(fā)散。即兩個發(fā)散的級數(shù)相加減所得級數(shù)可能

3、收斂，也可能發(fā)散。若其中一個級數(shù)收斂，另一個發(fā)散，則肯定發(fā)散.若不然，收斂，則應(yīng)該收斂，與假設(shè)矛盾.同理，若收斂,則應(yīng)該收斂，與假設(shè)矛盾.習(xí)題10.21. 用比較判別法或其極限形式判定下列各級數(shù)的斂散性：（1）;（2）1+;（3）;（4）;（5）.解（1）由于而級數(shù) 收斂，由比較判別法的極限形式，故原級數(shù)收斂.(2) 由于，而級數(shù) 發(fā)散，由比較判別法的極限形式，故原級數(shù)發(fā)散.（3）由于而級數(shù) 收斂，由比較判別法的極限形式，故原級數(shù)收斂. （4），而為公比的等比級數(shù)，該級數(shù)收斂，由比較判別法,故級數(shù) 也收斂.（5）由于 ，而收斂，故也收斂.2. 用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：（1）;（2）;

4、（3）;（4）;（5）;（6）; （7）.解（1），故該級數(shù)收斂. （2），故該級數(shù)發(fā)散. （3），故該級數(shù)收斂.（4），故該級數(shù)收斂.（5），故該級數(shù)收斂.（6），故該級數(shù)發(fā)散.（7），故該級數(shù)收斂.3. 用根值判別法判定下列各級數(shù)的斂散性：（1） ; （2）;（3）; （4）;（5），其中均為正數(shù)；（6）解（1）由于，故該級數(shù)收斂.(2) 由于，故該級數(shù)發(fā)散.(3) 由于，故該級數(shù)發(fā)散.(4) 由于，故該級數(shù)發(fā)散.(5) 當(dāng)，該級數(shù)收斂；當(dāng)，該級數(shù)發(fā)散；當(dāng)，不能判斷.(6) 1）當(dāng)時，該級數(shù)發(fā)散2）當(dāng)時，有當(dāng)，該級數(shù)收斂；當(dāng)，該級數(shù)發(fā)散；當(dāng)，根值法不能判斷.4. 判別下列級數(shù)的斂散性：（1

5、）; （2）;（3）; （4）;（5）;（6）； （7）.解（1），故該級數(shù)收斂.（2），所以發(fā)散.(3) ，故該級數(shù)收斂.(4) ,因 ，故，而收斂，故該級數(shù)收斂.(5) ,因,有,收斂，由比較收斂法，故該級數(shù)收斂.(6) ,因，而級數(shù)收斂，由比較收斂法，故該級數(shù)收斂.(7) , (由羅比達(dá)法則)，故該級數(shù)收斂.5判別下列級數(shù)是否收斂？若收斂的話，是絕對收斂還是條件收斂？（1）; （2）;（3）; （4）;（5）（不為負(fù)整數(shù)）;（6）;（7）;（8）.解（1），顯然為交錯級數(shù)，且，故該級數(shù)收斂，又因為 是級數(shù)，故發(fā)散，即原級數(shù)是條件收斂.(2) 因為，故收斂，即原級數(shù)是絕對收斂。(3) 因為

6、,而收斂，故收斂，即原級數(shù)是絕對收斂。(4) ,顯然為交錯級數(shù)，且，故該級數(shù)收斂。又因為 ，而發(fā)散，故發(fā)散，即原級數(shù)是條件收斂.(5) ,顯然為交錯級數(shù)，且，故該級數(shù)收斂；又因為 ，而發(fā)散，故發(fā)散，即原級數(shù)是條件收斂.(6) ,顯然為交錯級數(shù)，且，故該級數(shù)收斂，又因為 ，因，由比較收斂法，而發(fā)散，故發(fā)散，即原級數(shù)是條件收斂.(7) 因為,因 ,而，收斂，故收斂，即原級數(shù)是絕對收斂。(8) 因為 ，故收斂，即原級數(shù)是絕對收斂。習(xí)題 10.31. 求下列冪級數(shù)的收斂域：（1）; （2）;（3）; （4）;（5）;（6）;（7）; （8）;（9）; （10）.解（1），所以收斂半徑當(dāng)時，原級數(shù)為，該

7、級數(shù)發(fā)散當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散因而該級數(shù)的收斂域為 .(2) ,所以收斂半徑.當(dāng)時，原級數(shù)為，為交錯級數(shù)，該級數(shù)收斂.當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)也收斂,因而該級數(shù)的收斂域為 .(3),故收斂半徑，因而該級數(shù)的收斂域為 .(4) ,所以收斂半徑.當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)收斂.當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)也收斂,因而該級數(shù)的收斂域為 .(5),故收斂半徑，因而該級數(shù)的收斂域為 .(6) ,所以收斂半徑.當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)為交錯級數(shù)，收斂,因而該級數(shù)的收斂域為 .(7) 因為該級數(shù)缺少偶次冪，我們根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑,因而該級數(shù)的收斂域為 .(8) 令，則,收斂半徑，有

8、，即當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)為交錯級數(shù)，收斂.因而該級數(shù)的收斂域為 (9) 因為該級數(shù)缺少奇次冪，我們根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑.當(dāng)，即時，該級數(shù)收斂.當(dāng)，即時，該級數(shù)發(fā)散.當(dāng) 時，原級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散.當(dāng) 時，原級數(shù)也為，該級數(shù)發(fā)散.因而該級數(shù)的收斂域為 .(10) 令，則,收斂半徑，有 ，即當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)為交錯級數(shù)，收斂.當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散.因而該級數(shù)的收斂域為 .2. 利用逐項求導(dǎo)或逐項積分，求下列級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)：（1）; （2）;（3）.（4），并求的和.解（1）由于.故有 .(2) 由于.故有 .(3) 由于 .故有 .(4) 由于

9、 ,故有 ,令, 得. 習(xí)題 10.41.求下列函數(shù)的麥克勞林公式：（1）; （2）;解（1）.(2) 因為 .則有 .2. 求下列函數(shù)展開成關(guān)于的冪級數(shù)，并求收斂區(qū)域：（1）（）; （2）;（3）; （4）;（5）; 解(1)由于 ，則有 (2) 因為 ，(3) .(4).(5) 因為 .3. 將展開為關(guān)于的冪級數(shù).解.4. 將展開為泰勒級數(shù).解而 ;因此 .5. 將函數(shù)展開成的冪級數(shù).解.6. 將展開成關(guān)于的冪級數(shù).解,給上式左右兩邊同時求導(dǎo)數(shù)，得所以 .7. 將展開為的冪級數(shù).（）.解因為 習(xí)題10.6 1. 證明下列各式：(1)(2)證明.2. 將下列函數(shù)展開成以為周期的傅立葉級數(shù)：（

10、1） （2）解（1）由于該函數(shù)為偶函數(shù)，可利用積分的性質(zhì)：;故.（2）;故.3將下列函數(shù)展開成以為周期的傅立葉級數(shù)，并分別作出原函數(shù)與傅立葉級數(shù)的和函數(shù)在上的圖形.（1） （2）解(1)設(shè)為周期延拓而得到的新函數(shù)，在中連續(xù)，是的間斷點，且，故在中的傅里葉級數(shù)收斂于，在，的傅里葉級數(shù)不收斂于，計算傅里葉系數(shù)如下：因為 是奇函數(shù)，所以故.（2）即，類似地可得：;故.其中。4將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解（1）正弦級數(shù)對作奇延拓，得 再周期延拓到，易見是一個間斷點,的傅里葉系數(shù)為 由于處，故.（2）余弦級數(shù)對作偶延拓，得 ，再周期延拓到，則在內(nèi)處處連續(xù)，且，的傅里葉系數(shù)為：故 .5設(shè)的周期為

11、2，且 使將其展開成傅立葉級數(shù).解,.而在上，的間斷點為,故,.6將，在上展開成傅立葉級數(shù)，并求級數(shù)的和.解,故.令上式，有，因此 .習(xí)題10.71 設(shè)籃球架上的籃筐到地面的距離為3.05m，一學(xué)生投籃未進，籃球落到地面后反彈到原來高度的40%處，落地后又反彈，后一次反彈的高度總是前一次高度的40%. 這樣一直反彈下去，試求籃球反彈的高度之和.解設(shè)第次的反彈高度為,根據(jù)題意,則籃球反彈的高度之和.即籃球的反彈高度之和為7.12m.2. 2000年保險公司可以保證預(yù)定年利率一直是6.5%，幾十年不變. 某人每年在保險公司存入1000元（每年按復(fù)利計算）. 試求（1）10年后，投資額累積（即本息和

12、）是多少？（2）要存入多少年后才能存到10萬元？解（1）由題意可知2001年本息和是2002年本息和是2010年本息和是（元）（2）由題意可知即 （年） 本章復(fù)習(xí)題A一、選擇題1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D二、填空題1.；2.3.4.；5.6.二、判斷題12×3×4×5×6×四、計算題1.判斷下列級數(shù)的斂散性：（1）; （2）； （3）（）; （4）； （5）； (6) .（7）； （8）. 2. 求下列級數(shù)的收斂域:（1）; （2）.3. 求下列級數(shù)的收斂區(qū)間：（1）; （2）.4. 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑:

13、（1）; （3）; 5. 將函數(shù)展成為關(guān)于的冪級數(shù).6. 將函數(shù)展成的冪級數(shù).7. 求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).（1）; （2）.四計算題解答1判斷下列級數(shù)的斂散性：（1）因為，而時，當(dāng)時，該級數(shù)收斂，當(dāng)時，該級數(shù)發(fā)散。（2），故該級數(shù)收斂。（3）該級數(shù)為交錯級數(shù)，且，故該級數(shù)收斂，又因為 ，而發(fā)散，故發(fā)散，即原級數(shù)是條件收斂.（4）由于，故該級數(shù)收斂。（5）該級數(shù)為交錯級數(shù)，且，故該級數(shù)收斂，又因為 ，而發(fā)散，故發(fā)散，即原級數(shù)是條件收斂.（6）由于，故該級數(shù)收斂。（7）該級數(shù)為交錯級數(shù)，且，故該級數(shù)收斂，又因為 ，而發(fā)散，故發(fā)散，即原級數(shù)是條件收斂.（8）由于，故該級數(shù)收斂。2(1) ,故

14、收斂半徑,，即當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)收斂 因而該級數(shù)的收斂域為 （2）因為該級數(shù)缺少偶次冪，我們根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑當(dāng)，即時，該級數(shù)收斂當(dāng)，即時，該級數(shù)發(fā)散當(dāng) 時，原級數(shù)為，該級數(shù)收斂當(dāng) 時，原級數(shù)也為，該級數(shù)也收斂因而該級數(shù)的收斂域為 3（1），則有，,故收斂半徑, 即，故收斂區(qū)間為（2），故收斂半徑故收斂區(qū)間為4（1），則有，即，故收斂半徑，故收斂區(qū)間為（2），則有，故收斂半徑，即，故收斂區(qū)間為5 解6（1）解,故收斂半徑,當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散，故收斂域為(2) 解,故收斂半徑,故該級數(shù)的收斂域為。五、證明題1.設(shè)且，證明發(fā)散.2.證明：若收斂，則絕

15、對收斂.3.設(shè)，試證：（1）如果收斂，則收斂；（2）如果發(fā)散，則發(fā)散.五證明解答1因為，所以由極限定義，對任意給定的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，有成立，即也就是說，有，此即，而級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散.2因為，而級數(shù)和級數(shù)都絕對收斂，所以級數(shù)絕對收斂.3（略）六、傅里葉級數(shù)的計算1將在上展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù). 2將在內(nèi)展開成以為周期的正弦級數(shù)，并在寫出該級數(shù)的和函數(shù).3將展開成以2為周期的傅立葉級數(shù)，并由此求級數(shù)的和.六傅里葉級數(shù)的計算解答1解：正弦級數(shù)對作奇延拓，得 再周期延拓到，易見是一個間斷點，的傅里葉系數(shù)為 余弦級數(shù)對作偶延拓，得，再周期延拓到，則在內(nèi)處處連續(xù)，且，的傅里葉系數(shù)為：故 2

16、解正弦級數(shù)對作奇延拓，得 再周期延拓到，易見是一個間斷點的傅里葉系數(shù)為 3解故本章復(fù)習(xí)題B1.略2略3設(shè)正項級數(shù)單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級數(shù)是否收斂？并說明理由.解因為單調(diào)下降且有下界0，則有，若，由萊布尼茨法則，交錯級數(shù)收斂，與假設(shè)矛盾，于是，現(xiàn)在對正項級數(shù)可用根式判別法：，故收斂。4. 設(shè).（1）求的值；（2）試證：對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂.解（1）不必先求出，只須先求出（2）證明顯然，為了證明正項級數(shù)收斂，對作出估計：于是 ，由于，收斂，故也收斂。5求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，并討論級數(shù)在該區(qū)間端點處的收斂性.解收斂半徑為：收斂區(qū)間為.當(dāng)時，原級數(shù)為正項級數(shù) ，因，且發(fā)散，故正項級數(shù) 發(fā)散。當(dāng)時，原級數(shù)為，該級數(shù)為交錯級數(shù)，且滿足萊布尼茨法則，故該級數(shù) 收斂.6設(shè)函數(shù)，試將展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和.解積分得 .當(dāng)時，右端級數(shù)均收斂，又在連續(xù)，所以收斂域為，當(dāng)時，于是,上式令，.7設(shè)，求.解,因為 ,故 .8求函數(shù)的麥克勞林公式中項的系數(shù).解故的系數(shù)為.9. 求冪級數(shù)的和函數(shù)及其極值.解,積分得因為 ，故 ，令，得駐點，又,故在處有極大值，且極大值為.10.設(shè)有