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文檔簡(jiǎn)介
1、第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題10-11. 寫(xiě)出下列級(jí)數(shù)的前五項(xiàng):(1); (2);(3); (4).解(1)(2) (3)(4).2. 寫(xiě)出下列級(jí)數(shù)的一般項(xiàng):(1) ;(2) ;(3);(4) ().解(1)因?yàn)?,因此一般項(xiàng) (2) 因?yàn)?,因此一般項(xiàng)(3)因?yàn)?,因此一般項(xiàng)(4)因?yàn)?,因此一般項(xiàng).3. 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1); (2);(3); (4);(5); (6);(7);(8);(9) ();(10) .解(1)因?yàn)楫?dāng)時(shí),故級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)因?yàn)?, 當(dāng)時(shí),故級(jí)數(shù)收斂.(3) 因?yàn)?,當(dāng)時(shí),故級(jí)數(shù)收斂.(4)因?yàn)?由于 不存在,所以不存在,因而級(jí)數(shù)發(fā)散.(5)因?yàn)?當(dāng)時(shí),故級(jí)數(shù)收斂.
2、(6) 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知,該級(jí)數(shù)發(fā)散.(7) 該級(jí)數(shù)為公比的等比級(jí)數(shù),該級(jí)數(shù)收斂,而該級(jí)數(shù)為公比的等比級(jí)數(shù),該級(jí)數(shù)也收斂,故也為收斂級(jí)數(shù).(8) 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知,該級(jí)數(shù)發(fā)散.(9) 因?yàn)?當(dāng)時(shí),故該級(jí)數(shù)收斂.(10) 該級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知,該級(jí)數(shù)發(fā)散.4. 證明下列級(jí)數(shù)收斂,并求其和:.證當(dāng)時(shí),故該級(jí)數(shù)收斂,且.5若級(jí)數(shù)與都發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)的收斂性如何?若其中一個(gè)收斂,一個(gè)發(fā)散,那么,級(jí)數(shù)收斂性又如何?解 若級(jí)數(shù)分別為;(發(fā)散);(發(fā)散)則級(jí)數(shù)顯然收斂;但是如果另外有級(jí)數(shù),則級(jí)數(shù)顯然發(fā)散。即兩個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)相加減所得級(jí)數(shù)可能
3、收斂,也可能發(fā)散。若其中一個(gè)級(jí)數(shù)收斂,另一個(gè)發(fā)散,則肯定發(fā)散.若不然,收斂,則應(yīng)該收斂,與假設(shè)矛盾.同理,若收斂,則應(yīng)該收斂,與假設(shè)矛盾.習(xí)題10.21. 用比較判別法或其極限形式判定下列各級(jí)數(shù)的斂散性:(1);(2)1+;(3);(4);(5).解(1)由于而級(jí)數(shù) 收斂,由比較判別法的極限形式,故原級(jí)數(shù)收斂.(2) 由于,而級(jí)數(shù) 發(fā)散,由比較判別法的極限形式,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)由于而級(jí)數(shù) 收斂,由比較判別法的極限形式,故原級(jí)數(shù)收斂. (4),而為公比的等比級(jí)數(shù),該級(jí)數(shù)收斂,由比較判別法,故級(jí)數(shù) 也收斂.(5)由于 ,而收斂,故也收斂.2. 用比值判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1);(2);
4、(3);(4);(5);(6); (7).解(1),故該級(jí)數(shù)收斂. (2),故該級(jí)數(shù)發(fā)散. (3),故該級(jí)數(shù)收斂.(4),故該級(jí)數(shù)收斂.(5),故該級(jí)數(shù)收斂.(6),故該級(jí)數(shù)發(fā)散.(7),故該級(jí)數(shù)收斂.3. 用根值判別法判定下列各級(jí)數(shù)的斂散性:(1) ; (2);(3); (4);(5),其中均為正數(shù);(6)解(1)由于,故該級(jí)數(shù)收斂.(2) 由于,故該級(jí)數(shù)發(fā)散.(3) 由于,故該級(jí)數(shù)發(fā)散.(4) 由于,故該級(jí)數(shù)發(fā)散.(5) 當(dāng),該級(jí)數(shù)收斂;當(dāng),該級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng),不能判斷.(6) 1)當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)發(fā)散2)當(dāng)時(shí),有當(dāng),該級(jí)數(shù)收斂;當(dāng),該級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng),根值法不能判斷.4. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1
5、); (2);(3); (4);(5);(6); (7).解(1),故該級(jí)數(shù)收斂.(2),所以發(fā)散.(3) ,故該級(jí)數(shù)收斂.(4) ,因 ,故,而收斂,故該級(jí)數(shù)收斂.(5) ,因,有,收斂,由比較收斂法,故該級(jí)數(shù)收斂.(6) ,因,而級(jí)數(shù)收斂,由比較收斂法,故該級(jí)數(shù)收斂.(7) , (由羅比達(dá)法則),故該級(jí)數(shù)收斂.5判別下列級(jí)數(shù)是否收斂?若收斂的話,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?(1); (2);(3); (4);(5)(不為負(fù)整數(shù));(6);(7);(8).解(1),顯然為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且,故該級(jí)數(shù)收斂,又因?yàn)?是級(jí)數(shù),故發(fā)散,即原級(jí)數(shù)是條件收斂.(2) 因?yàn)?,故收斂,即原?jí)數(shù)是絕對(duì)收斂。(3) 因?yàn)?/p>
6、,而收斂,故收斂,即原級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂。(4) ,顯然為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且,故該級(jí)數(shù)收斂。又因?yàn)?,而發(fā)散,故發(fā)散,即原級(jí)數(shù)是條件收斂.(5) ,顯然為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且,故該級(jí)數(shù)收斂;又因?yàn)?,而發(fā)散,故發(fā)散,即原級(jí)數(shù)是條件收斂.(6) ,顯然為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且,故該級(jí)數(shù)收斂,又因?yàn)?,因,由比較收斂法,而發(fā)散,故發(fā)散,即原級(jí)數(shù)是條件收斂.(7) 因?yàn)?因 ,而,收斂,故收斂,即原級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂。(8) 因?yàn)?,故收斂,即原級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂。習(xí)題 10.31. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:(1); (2);(3); (4);(5);(6);(7); (8);(9); (10).解(1),所以收斂半徑當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該
7、級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)發(fā)散因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.(2) ,所以收斂半徑.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,為交錯(cuò)級(jí)數(shù),該級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)也收斂,因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.(3),故收斂半徑,因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.(4) ,所以收斂半徑.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)也收斂,因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.(5),故收斂半徑,因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.(6) ,所以收斂半徑.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂,因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.(7) 因?yàn)樵摷?jí)數(shù)缺少偶次冪,我們根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑,因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.(8) 令,則,收斂半徑,有
8、,即當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂.因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(9) 因?yàn)樵摷?jí)數(shù)缺少奇次冪,我們根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑.當(dāng),即時(shí),該級(jí)數(shù)收斂.當(dāng),即時(shí),該級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng) 時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng) 時(shí),原級(jí)數(shù)也為,該級(jí)數(shù)發(fā)散.因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.(10) 令,則,收斂半徑,有 ,即當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)發(fā)散.因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.2. 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分,求下列級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù):(1); (2);(3).(4),并求的和.解(1)由于.故有 .(2) 由于.故有 .(3) 由于 .故有 .(4) 由于
9、 ,故有 ,令, 得. 習(xí)題 10.41.求下列函數(shù)的麥克勞林公式:(1); (2);解(1).(2) 因?yàn)?.則有 .2. 求下列函數(shù)展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù),并求收斂區(qū)域:(1)(); (2);(3); (4);(5); 解(1)由于 ,則有 (2) 因?yàn)?,(3) .(4).(5) 因?yàn)?.3. 將展開(kāi)為關(guān)于的冪級(jí)數(shù).解.4. 將展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù).解而 ;因此 .5. 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解.6. 將展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù).解,給上式左右兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù),得所以 .7. 將展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù).().解因?yàn)?習(xí)題10.6 1. 證明下列各式:(1)(2)證明.2. 將下列函數(shù)展開(kāi)成以為周期的傅立葉級(jí)數(shù):(
10、1) (2)解(1)由于該函數(shù)為偶函數(shù),可利用積分的性質(zhì):;故.(2);故.3將下列函數(shù)展開(kāi)成以為周期的傅立葉級(jí)數(shù),并分別作出原函數(shù)與傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)在上的圖形.(1) (2)解(1)設(shè)為周期延拓而得到的新函數(shù),在中連續(xù),是的間斷點(diǎn),且,故在中的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于,在,的傅里葉級(jí)數(shù)不收斂于,計(jì)算傅里葉系數(shù)如下:因?yàn)?是奇函數(shù),所以故.(2)即,類(lèi)似地可得:;故.其中。4將函數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).解(1)正弦級(jí)數(shù)對(duì)作奇延拓,得 再周期延拓到,易見(jiàn)是一個(gè)間斷點(diǎn),的傅里葉系數(shù)為 由于處,故.(2)余弦級(jí)數(shù)對(duì)作偶延拓,得 ,再周期延拓到,則在內(nèi)處處連續(xù),且,的傅里葉系數(shù)為:故 .5設(shè)的周期為
11、2,且 使將其展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).解,.而在上,的間斷點(diǎn)為,故,.6將,在上展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)的和.解,故.令上式,有,因此 .習(xí)題10.71 設(shè)籃球架上的籃筐到地面的距離為3.05m,一學(xué)生投籃未進(jìn),籃球落到地面后反彈到原來(lái)高度的40%處,落地后又反彈,后一次反彈的高度總是前一次高度的40%. 這樣一直反彈下去,試求籃球反彈的高度之和.解設(shè)第次的反彈高度為,根據(jù)題意,則籃球反彈的高度之和.即籃球的反彈高度之和為7.12m.2. 2000年保險(xiǎn)公司可以保證預(yù)定年利率一直是6.5%,幾十年不變. 某人每年在保險(xiǎn)公司存入1000元(每年按復(fù)利計(jì)算). 試求(1)10年后,投資額累積(即本息和
12、)是多少?(2)要存入多少年后才能存到10萬(wàn)元?解(1)由題意可知2001年本息和是2002年本息和是2010年本息和是(元)(2)由題意可知即 (年) 本章復(fù)習(xí)題A一、選擇題1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D二、填空題1.;2.3.4.;5.6.二、判斷題12×3×4×5×6×四、計(jì)算題1.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1); (2); (3)(); (4); (5); (6) .(7); (8). 2. 求下列級(jí)數(shù)的收斂域:(1); (2).3. 求下列級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:(1); (2).4. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑:
13、(1); (3); 5. 將函數(shù)展成為關(guān)于的冪級(jí)數(shù).6. 將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù).7. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).(1); (2).四計(jì)算題解答1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1)因?yàn)椋鴷r(shí),當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)發(fā)散。(2),故該級(jí)數(shù)收斂。(3)該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且,故該級(jí)數(shù)收斂,又因?yàn)?,而發(fā)散,故發(fā)散,即原級(jí)數(shù)是條件收斂.(4)由于,故該級(jí)數(shù)收斂。(5)該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且,故該級(jí)數(shù)收斂,又因?yàn)?,而發(fā)散,故發(fā)散,即原級(jí)數(shù)是條件收斂.(6)由于,故該級(jí)數(shù)收斂。(7)該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且,故該級(jí)數(shù)收斂,又因?yàn)?,而發(fā)散,故發(fā)散,即原級(jí)數(shù)是條件收斂.(8)由于,故該級(jí)數(shù)收斂。2(1) ,故
14、收斂半徑,,即當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)收斂 因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(2)因?yàn)樵摷?jí)數(shù)缺少偶次冪,我們根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑當(dāng),即時(shí),該級(jí)數(shù)收斂當(dāng),即時(shí),該級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng) 時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)收斂當(dāng) 時(shí),原級(jí)數(shù)也為,該級(jí)數(shù)也收斂因而該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?3(1),則有,,故收斂半徑, 即,故收斂區(qū)間為(2),故收斂半徑故收斂區(qū)間為4(1),則有,即,故收斂半徑,故收斂區(qū)間為(2),則有,故收斂半徑,即,故收斂區(qū)間為5 解6(1)解,故收斂半徑,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)發(fā)散,故收斂域?yàn)?2) 解,故收斂半徑,故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤N?、證明題1.設(shè)且,證明發(fā)散.2.證明:若收斂,則絕
15、對(duì)收斂.3.設(shè),試證:(1)如果收斂,則收斂;(2)如果發(fā)散,則發(fā)散.五證明解答1因?yàn)椋杂蓸O限定義,對(duì)任意給定的,存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),有成立,即也就是說(shuō),有,此即,而級(jí)數(shù)發(fā)散,所以級(jí)數(shù)發(fā)散.2因?yàn)?,而?jí)數(shù)和級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂,所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.3(略)六、傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算1將在上展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù). 2將在內(nèi)展開(kāi)成以為周期的正弦級(jí)數(shù),并在寫(xiě)出該級(jí)數(shù)的和函數(shù).3將展開(kāi)成以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù),并由此求級(jí)數(shù)的和.六傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算解答1解:正弦級(jí)數(shù)對(duì)作奇延拓,得 再周期延拓到,易見(jiàn)是一個(gè)間斷點(diǎn),的傅里葉系數(shù)為 余弦級(jí)數(shù)對(duì)作偶延拓,得,再周期延拓到,則在內(nèi)處處連續(xù),且,的傅里葉系數(shù)為:故 2
16、解正弦級(jí)數(shù)對(duì)作奇延拓,得 再周期延拓到,易見(jiàn)是一個(gè)間斷點(diǎn)的傅里葉系數(shù)為 3解故本章復(fù)習(xí)題B1.略2略3設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)單調(diào)減少,且發(fā)散,試問(wèn)級(jí)數(shù)是否收斂?并說(shuō)明理由.解因?yàn)閱握{(diào)下降且有下界0,則有,若,由萊布尼茨法則,交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,與假設(shè)矛盾,于是,現(xiàn)在對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)可用根式判別法:,故收斂。4. 設(shè).(1)求的值;(2)試證:對(duì)任意的常數(shù),級(jí)數(shù)收斂.解(1)不必先求出,只須先求出(2)證明顯然,為了證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,對(duì)作出估計(jì):于是 ,由于,收斂,故也收斂。5求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,并討論級(jí)數(shù)在該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性.解收斂半徑為:收斂區(qū)間為.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,因,且發(fā)散,故正項(xiàng)級(jí)數(shù) 發(fā)散。當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且滿(mǎn)足萊布尼茨法則,故該級(jí)數(shù) 收斂.6設(shè)函數(shù),試將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)的和.解積分得 .當(dāng)時(shí),右端級(jí)數(shù)均收斂,又在連續(xù),所以收斂域?yàn)?,?dāng)時(shí),于是,上式令,.7設(shè),求.解,因?yàn)?,故 .8求函數(shù)的麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù).解故的系數(shù)為.9. 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及其極值.解,積分得因?yàn)?,故 ,令,得駐點(diǎn),又,故在處有極大值,且極大值為.10.設(shè)有
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