王明慈版 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題三

1、習(xí)題三1 甲，乙兩臺(tái)機(jī)器一天中出現(xiàn)次品的概率分布分別為X0123PX ( xi )Y0.40.30.20.10123PY ( yi )0.30.50.20若兩臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量相同，問哪臺(tái)機(jī)器較好？解：甲臺(tái)機(jī)器一天的平均次品數(shù) EX = 0 × 0.4 +1× 0.3 + 2 × 0.2 + 3 × 0.1 = 1;乙臺(tái)機(jī)器一天的平均次品數(shù) EY = 0 × 0.43 +1× 0.5 + 2 × 0.2 + 3 × 0 = 0.9 ， EX > EY , 而兩臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量相同，所以乙臺(tái)機(jī)器較好。x2 某種電子元

2、件的壽命 X （單位： h ）的概率密度為：f ( x) = áá2 x ,xex> 0;其中> 0為常數(shù).求這種電子元件的平均壽命。á0, x < 0.+2解：= ( )= 2á= 2 2 á利用兩次分部積分，可得= 。EXxf x dxxáxedx áx edxEX00á3 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為xk á , 0 < x < 1;的值f x( ) = 0, 其它.已知= 0.75, 求 及.xEX+f解：因?yàn)? x) 是密度函數(shù)，所以 f ( x) = 1, 即&#

3、225;+1á1+10 kx dx = 1 k又x= 1 + 1 0áá1ák= 1;ká1+ 2á1EX = 0.75,0 xkx dx = 0.75 kx + 2 0 =k= 075;+ 2ááá兩式聯(lián)立可解得= 3,= 2.k4 設(shè)設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布如下：-1012X1111P ( x )6662Xi求, (2+ 1),2 .EX EXEX 解：= (1) × 1 + 0 × 1 + 1× 1 + 2 × 1 = 1;EX6662E (2 X + 1)

4、 = (2) EX + 1 = 1; 1 = .EX666235 一批零件中有 9 個(gè)合格品與 3 個(gè)廢品，安裝機(jī)器時(shí)從這批零件中任取一個(gè)。如果取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望，方差與標(biāo)準(zhǔn)差。 解：設(shè)表示取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則的概率分布為XX0123PX91 1212 P3 P9 P12即2 1 P3 P9 3P123 1 P3 P9 4P120123X330P44090440184401440 1 = 0.29;EX440440440440 =2 ()2 = 12 × 90 + 22 × 18 + 32 × 1 (129

5、 )2 0.30DXEXEX440440440440ó X =DX 0.55.x0,< 1;6 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 F ( x) = a + b arcsin x, 1 x 1; 試確定常數(shù) a, b ，并求X與。EXDX1, x > 1. b, 1 1; 1x+解： ( ) = 1 2又( )= 1,f xx f x dx0, 其它.1 =b= 1, arcsin1 arcsin(1) = 1 = ;x1 1 2 dxbbðF (0) = a + b arcsin 0 = a;又 (0) =(0 0) = 0 111=( )= ,FP X = 1 . f

6、x dx1 ð1 2 dx2xa2+11111 dx11 21 2EX =xf ( x)=xdx, x是奇函數(shù)，積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，所以= 0;EXðxðx=2 2=+2 = 2 ( )DXEXE XEX21111= = . x f x dx1 xð1 x2 dx227 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從自由度為 k 的 ÷分布，其概率密度為1= k 1/ 2 2,> 0; x( ) = 2k / 2 Ã( k ) xex其中 k 為正整數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差。f x2X0, 其它.+解： Ã 函數(shù)： Ã( ) = 

7、25; 1 x, Ã(+ 1) = Ã( ),> 0,á0 xe dxááá á2+ 1 1/ 2+ 2/ 21kkEX = 0 x=x 2 / 2 Ã( k ) xedx02 / 2 Ã( k ) xx edxkk22xt令 = = x 則 = 2 ，所以t21k=(2 ) 2 t(2 )0EX2k / 2 Ã( k )te dt2=1+ = k +1 k0 222 t2k / 2 Ã( k )t e dt2= k +12 22k + 10= +2t2k / 2 Ã(

8、 k )te dt2= k +12 2+ 2= Ã( k) = 2 = k = k;2k / 2 Ã( k )2222= + 2 1= k 1 x / 2 ()2DX0x 2k / 2 Ã( k ) xedxEX22令 t = = x 則x = 2t ，所以=1+= k +1 (2 ) 2t(2 ) 20DX2k / 2 Ã( k )te dtk2= k + 22 2+ k + 4 1220= t2k / 2 Ã( k )te dtk2=k4+ 4 Ã( ) Ã( ）,2 , 又Ã( k + 4 ) = Ã

9、;( k + 2 + 1) = k + 2 Ã( k + 2）= k + 2 kkÃ( k )2k2=kkk4+ 2 Ã( ）-22222222Ã( k )2= 2k.222k8 證明：函數(shù)( ) =( )2 當(dāng) =時(shí)取得最小值，且最小值為。提示：考慮ø tE XttEXDX( ) =() + ( )2 . tEXEXEXt證明：( ) =() + ( )2 tEXEXEXt=()2 + 2 ()( ) +( )2E XEXE XEXEXtE EXt=()2 + ( )2E XEXEXt2要使 (t) 最小，則后面加上的常數(shù)項(xiàng) (EX t )就

10、要最小，所以EX2當(dāng) t = 0 時(shí) (t) 最小，最小值為 E ( X EX )，即。DX9 某人的一串鑰匙有 n 把，其中只有一把能開自己的門，他隨意地試用這些鑰匙，并且試用過的鑰匙不再試用，求試用次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，提示：12 + 22 + 32 + +2 = n(n + 1)(2n + 1)n6解：設(shè)隨機(jī)變量表示試用次數(shù)，則的概率分布為XX (= ) = 1 ,= 1, 2, 3; 所以= nn1+ 1 = ;P Xkknnn1EXkk =1+ 1n22 1=2 ()2 = 2 ( n)2 = = n.DXEXEXk =1 kn1212210 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 0, 2 上服從均勻

11、分布，Y = 2 X，求,。DYEY 12, 0 1 ,X解： 0, , f ( x) = x220, 其它.13 11=(22 ) = 2 22 2= 4 × x2 = ;EYEX0xdx3 061 =2 ()2 = 2 4 4 2 ( 1)2 = 1 ;DYEYEY0xdx64511 在國(guó)際市場(chǎng)上，每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量為隨機(jī)變量（單位： ）， 它 在Xt2000, 4000 上服從均勻分布。若每售出 1 ，可得外匯 3 萬元。如果銷售不出而積壓，則t需要浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi) 1 萬元/t，問應(yīng)組織多少貨源，才能使得平均收益最大？ 1 , 2000 4000,X解： U 2000,

12、 4000 ，則 f ( x) = 2000x0, 其它.設(shè)隨機(jī)變量表示平均收Y益，貨源為 s 噸，由題意= 3x (s x), 2000 X < s ，= s)(4 Y3s,14000 + 3s < X 40001EY2000xs 2000 dxss 2000 dx= 22 + 14000ss 2 × 200022000要使取得最大值，則由二次函數(shù)的極值情況知當(dāng) = 3500s時(shí)，最大。EYEYt12 游客從電視塔的底層乘電梯到頂層觀光，電梯于每個(gè)整點(diǎn)后的第 6 分鐘，第 24 分鐘，第42 分鐘從底層上行。假設(shè)某游客在上午 8 : 00 9 : 00 之間到達(dá)電視塔底

13、層等候電梯處，到達(dá)的時(shí)刻是 8 點(diǎn)后的第 X 分鐘，且 X 在區(qū)間0, 60 上服從均勻分布。求該游客等候電梯的時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。YU解：0, 60, 等候時(shí)間與到達(dá)時(shí)刻的關(guān)系有：X6 x, 0 x 6;24 x, 6 < x 24;Y= 所以42 x, 24 < x 42;66 x, 42 < x 60.x6 6 = 24 24 x+ 42 42 x+ 60 66 x+ EY060 dx660 dx2460 dx4260 dx= 10.2n13 設(shè)隨 機(jī)變量 X1 , X 2 X相互 獨(dú)立， 并且 服從同 一分 布，數(shù) 學(xué)期 望EX i=，方差µ=2 ,= 1, 2

14、_. 求這些隨機(jī)變量的算術(shù)平均值= 1 n的數(shù)學(xué)期望與方差。DX ióinXX i 1n i =_1 n1n1 n1 nE X解：= E( X ) =( X ) = EX= µ = µin i =1ini =1n i =1i=1i_1 n1n1n1n2=( ) = () = = 2 = ó=;D XDX in i =12 DX ini =12n i =1DX i2ónn i =1n14 計(jì)算泊松分布 P(ë ) 的三階原點(diǎn)矩及三階中心矩。kX解： P(ë ), P ( X = k ) = ë , 三階原點(diǎn)矩為：&#

15、235;k !1k3 = 3 ë ë = 3 ë ëEXk =0 kk ! ekk = kk ! ek2k 12= k k =1ëë =(k 1)! emmë k k =1ë ë(k 1)! e= (+ 1)2 ëë (令= 1)ë m =0 mm! emk= (mm2 +2+ 1) ë ëë m =0m! e= 2 ë mm+2ëm+ ëë m =0 mm! em =0 m m! em =0 m m! e

16、= ë (2 +1)EXEX32ëë= ë (ë + 1) + ë + 1 = ë + 3+ ë()3 =( )3 =(3 32 + 3 2 3 )E XEXE XëE Xë Xë Xë= EX3 3ë EX2 + 3 2 3ë EXë= 3 + 32 + 3 (+1) + 3 2 3ëëëë ë ëë ëë=ë15 設(shè) X ,Y 是隨機(jī)變量，證明

17、 DX = DY 的充要條件是 X + Y 與 X Y 不相關(guān)。證明： DX = DY ,cov( X + Y )( X Y ) = E( X + Y )( X Y ) ( X + Y) ( X Y)=(2 EE2 ) ()2 + ()2所以 X + YE XYEXEY= DX DY = 0X與 Y 不相關(guān)；另一方面，若 X + Y 與 X Y 不相關(guān)，則cov( X + Y )( X Y ) = 0， DX = DY .16 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( X , Y ) 的概率密度為( , ) = 1, y <, 0 << 1;xx求 cov( X , Y ); 并問 X 與 Y 是

18、否相關(guān)，是否獨(dú)立？為什么？f x y0, 其它.解：cov( X , Y ) = EXY EXEY ，+ +EXY = xyf (x, y )dy = xydxdydxy<0 x 1x1= x(ydy)dx = 0< x <0 x+ xf X ( x) = f ( x, y)dy = 1= 2x, 0 < x < 1; x+fY ( y) = 1dxf ( x, y)dx = 1ydyx= 1 y , y < ;1所以=EXx2xdx =2x, EY = y(1 y )= 0(被積函數(shù)是奇函數(shù)),03 xdycov( X , Y ) = EXY EXEY =

19、 0, 但 X 與 Y 不獨(dú)立，因?yàn)槎叩穆?lián)合密度不等于邊緣密度的乘積。17 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( X , Y ) 的概率密度為 32xyxyx , 0 2, 0 ;f ( x, y) = 160, 其它.求（1）數(shù)學(xué)期望 EX , EY 。（ 2）方差 DX , DY .（3）協(xié)方差 cov( X , Y ) 及相關(guān)系數(shù) R( X , Y ).解：5+2 33(1)( ) = ( , )= x = , 0 2,f X x f x y dy0 16 xydy32 xx= 23312127= ;EX0 x 32 x dx32 7 x 07+y)( , )2 33 (4), 024,fY ( y=

20、f x y dx = 16 xydx = 32 y y y x 43= (4 )=2;EY0 y 32 yy dy(2)2 = 2 2 35= 3,=2 2= 3 123 )2 = ;EXxx dxDXEXE X(03274942 = 3242y= (4 ) ,=2 4=2 ;EY0 y 32y dy5 DYEYE Y5(3) cov( X , Y ) = E( XY ) EXEY = xy f (x, y )dyx22= 0 02 2x y dxdydx 24 = 32 24 = 8 ;79763(, ) =X Ycov(, )R X Y 0.874.DXDY18 已知隨機(jī)變量 X ,Y 相

21、互獨(dú)立，且 EX = 5, DX = 1, EY = 2, DY = 1, 設(shè)YU = X 2 ,V = 2 X Y , 求（1）數(shù)學(xué)期望 EU , EV ; （2）方差 DU , DV ; （3）cov( ,V ), R( ,V ).UUY解：(1)EU = E ( X 2 ) = EX 2EY = 5 2 × 2 = 1;EV = E (2 X Y ) = 2EX EY = 2 × 5 2 = 8;(2)DU = D( X 2 ) = DX + D(2 ) = DX + 4DY = 5;YYDV = D(2 X Y ) = D(2 X ) + DY = 4DX + DY = 5;U(3) cov( ,V ) = EUV EUEVY= E( X 2 )(2 X Y ) 8=(22 5+ 2 2 ) 8EXXYY= 12 8 = 4;( , ) =Vcov( , )44=U= = .R U VDXDY5 5519 已知正常男性成人的每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)平均在 7300，標(biāo)準(zhǔn)差是 700，利用切比雪夫 不等式估計(jì)每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)在 5200 9400 之間的概率。解：設(shè)隨機(jī)變量表示白細(xì)胞數(shù)，則X