第五章 向量空間

1、第五章 向量空間基礎(chǔ)訓(xùn)練題1. 設(shè)V是數(shù)域F上向量空間，假如V至少含有一個(gè)非零向量a，問(wèn)V中的向量是有限多還是無(wú)限多？有沒(méi)有n(n ³ 2)個(gè)向量構(gòu)成的向量空間？ 解 無(wú)限多；不存在n(n ³ 2)個(gè)向量構(gòu)成的向量空間(因?yàn)槿绻鸉上一個(gè)向量空間V含有至少兩個(gè)向量, 那么V至少含有一個(gè)非零向量a , 因此V中含有a , 2a , 3a , 4a , ,這無(wú)窮多個(gè)向量互不相等,因此V中必然含有無(wú)窮多個(gè)向量).2. 設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間，V中的元素稱為向量，這里的向量和平面解析幾何中的向量，空間解析幾何中的向量有什么區(qū)別？解 這里的向量比平面中的向量意義廣泛得多,它可以是多項(xiàng)

2、式,矩陣等,不單純指平面中的向量.3. 檢驗(yàn)以下集合對(duì)所指定的運(yùn)算是否構(gòu)成數(shù)域F上的向量空間. （1）集合：全體n階實(shí)對(duì)稱矩陣；F：實(shí)數(shù)域；運(yùn)算：矩陣的加法和數(shù)量乘法；（2）集合：實(shí)數(shù)域F上全體二維行向量；運(yùn)算：(a1, b1)(a2, b2)(a1a2, 0)k(a1, b1)(ka1, 0)（3）集合：實(shí)數(shù)域上全體二維行向量；運(yùn)算：(a1, b1)(a2, b2)(a1a2, b1b2)k( a1, b1)(0, 0)解 (1) 是; (2) 不是(因?yàn)榱阆蛄坎晃ㄒ?;(3) 不是(不滿足向量空間定義中的(8).4. 在向量空間中，證明，(1) a(a)=aa=(a) a ,(2) (a-

3、b)aaaba , a, b是數(shù)，a是向量. 證明 (1) 0= 0 又 0 綜上, (2) .5. 如果當(dāng)k1k2kr0時(shí)，k1a1k2a2krar0, 那么a1, a2, , ar線性無(wú)關(guān). 這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么?解 這種說(shuō)法不對(duì). 例如設(shè)a1=(2,0, -1), a2=(-1,2,3), a3=(0,4,5), 則0a1+0a2+0a3=0. 但a1, a2, a3線性相關(guān), 因?yàn)閍1+2a2a3=0.6. 如果a1, a2, , ar線性無(wú)關(guān)，而ar1不能由a1, a2, , ar線性表示，那么a1, a2, ar , ar1線性無(wú)關(guān). 這個(gè)命題成立嗎？為什么？解 成立. 反設(shè)a1,

4、 a2, ar , ar1線性相關(guān),由條件a1, a2, , ar線性無(wú)關(guān)知ar1一定能由a1, a2, , ar線性表示,矛盾.7. 如果a1, a2, , ar線性無(wú)關(guān)，那么其中每一個(gè)向量都不是其余向量的線性組合. 這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？解 對(duì). 反設(shè) ai= k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +krar ,則 k1a1+k2a2+ki-1ai-1+(1) ai +ki+1ai1 +krar=0.由于10, 故a1, a2, , ar線性相關(guān).8. 如果向量a1, a2, , ar線性相關(guān)，那么其中每一個(gè)向量都可由其余向量線性表示. 這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？解 不對(duì). 設(shè)

5、a1=(1,0) , a2=(2,0) , a3=(0,1) , 則a1, a2, a3線性相關(guān), 但a3不能由a1, a2線性表示.9. 設(shè)a1 (1, 0, 0), a2 (1, 2, 0), a3(1, 2, 3)是F3中的向量，寫(xiě)出a1, a2, a3的一切線性組合. 并證明F3中的每個(gè)向量都可由a1, a2, a3線性表示. 解 k1a1+k2a2+k3a3 k1, k2 , k3F.設(shè)k1a1+k2a2+k3a3=0,則有, 解得 k1= k2 =k3=0.故a1, a2, a3線性無(wú)關(guān).對(duì)任意(a,b,c)F3, (a,b,c)=,所以F3中的每個(gè)向量都可由a1, a2, a3線

6、性表示.10. 下列向量組是否線性相關(guān)(1) a1 (1, 0, 0), a2 (1, 1, 0), a3(1, 1, 1)；(2) a1(3, 1, 4), a2(2, 5, -1), a3(4, -3, 7). 解 (1) 線性無(wú)關(guān); (2) 線性無(wú)關(guān).11. 證明，設(shè)向量a1, a2, a3線性相關(guān)，向量a2, a3, a4線性無(wú)關(guān)，問(wèn)：(1) a1能否由a2, a3線性表示？說(shuō)明理由；(2) a4能否由a1, a2, a3線性表示？說(shuō)明理由. 解 (1)因?yàn)閍2, a3線性無(wú)關(guān)而a1, a2, a3線性相關(guān),所以a1能由a2, a3線性表示; (2)反設(shè)a4能由a1, a2, a3線性

7、表示,但a1能由a2, a3線性表示,故a4能由a2, a3線性表示,這與a2, a3, a4線性無(wú)關(guān)矛盾,所以a4不能由a1, a2, a3線性表示.12. 設(shè)a1 (0, 1, 2), a2 (3, 1, 0), a3(2, 1, 0)，b1 (1, 0, 0), b2 (1, 2, 0), b3(1, 2, 3)是F3中的向量. 證明，向量組a1, a2, a3與b1, b2, b3等價(jià).證明 (b1, b2, b3)=()A (a1, a2, a3)= ()B其中A=, B=.易驗(yàn)證A , B均可逆, 這樣 (b1, b2, b3) = (a1, a2, a3 )(B-1A) (a1,

8、 a2, a3) = (b1, b2, b3)(A-1B) ,故向量組a1, a2, a3與b1, b2, b3等價(jià).13. 設(shè)數(shù)域F上的向量空間V的向量組a1, a2, , as線性相關(guān)，并且在這個(gè)向量組中任意去掉一個(gè)向量后就線性無(wú)關(guān). 證明，如果0 (kiÎF)，那么或者k1k2ks0, 或k1，k2，ks全不為零. 證明 由條件0 (kiÎF)知 kiai= - (k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas) （*）(1) 當(dāng)ki=0時(shí),（*)式左邊等于零,故k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas=0. 由于這s-1個(gè)向

9、量線性無(wú)關(guān),所以k1k2ks0.(2) 當(dāng)ki0時(shí), ai = -(k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas),下證對(duì)于任意時(shí)kj0. 反設(shè)kj=0, 則ai可由s-2個(gè)向量線性表示.這與任意s-1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)矛盾,所以此時(shí)k1,k2，ks全不為零.14. 設(shè)a1(1, 1), a2(2, 2), a3(0, 1) , a4(1, 0)都是F2中的向量. 寫(xiě)出a1, a2, a3, a4的所有極大無(wú)關(guān)組. 解 a1, a3 ; a1, a4 ; a2 ,a3 ; a2 ,a4 ; a3 ,a4 .15. 設(shè)A1,A2, A3,A4ÎM2×2(F).

10、求向量空間M2×2(F)中向量組A1, A2,A3, A4的秩及其極大無(wú)關(guān)組. 解 秩A1, A2,A3, A4=3, A1, A2,A3是向量組A1, A2, A3, A4的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.16設(shè)由F4中向量組a1=(3，1，2，5)，a2(1，1，1，2)，a3(2，0，1，3)，a4 =(1，1，0，1)，a5 =(4，2，3，7). 求此向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解 (a1,a2,a3,a4,a5)= ()A , 其中A=, 則秩A=2.又(a1,a2 )= ()B , 其中B=. 秩B=2, 故a1,a2線性無(wú)關(guān), 它是向量組a1,a2,a3,a4,a5的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.17

11、. 證明，如果向量空間V的每一個(gè)向量都可以唯一表成V中向量a1, a2, , an的線性組合，那么dim Vn. 證明 由條件零向量可唯一的表示成a1, a2, , an的線性組合, 這說(shuō)明a1, a2, , an線性無(wú)關(guān), 故可作為V的基, 從而dim Vn.18. 設(shè)b1, b2，bn是F上n(>0)維向量空間V的向量，并且V中每個(gè)向量都可以由b1, b2，bn線性表示. 證明, b1, b2，bn是V的基. 證明 由條件標(biāo)準(zhǔn)正交基 e1, e2, ,en可由b1, b2，bn線性表示, 反過(guò)來(lái)b1, b2，bn又可由 e1, e2, ,en線性表示,所以 e1, e2, ,en和b

12、1, b2，bn等價(jià). 由 e1, e2, ,en線性無(wú)關(guān)知b1, b2，bn線性無(wú)關(guān),又因V中每個(gè)向量都可以由b1, b2，bn線性表示, 由基的定義知b1, b2，bn是V的基.19. 復(fù)數(shù)集C看作實(shí)數(shù)域R上的向量空間（運(yùn)算: 復(fù)數(shù)的加法，實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的乘法）時(shí)，求C的一個(gè)基和維數(shù). 解 基為1, i； dim C2.20. 設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上全體n階對(duì)角形矩陣構(gòu)成的向量空間（運(yùn)算是矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法）. 求V的一個(gè)基和維數(shù).解 基為Eii (i=1,2, ,n)； dim Vn.21. 求§5.1中例9給出的向量空間的維數(shù)和一個(gè)基. 解 任意一個(gè)不等于1的正實(shí)數(shù)都可作為V

13、的基； dim V1.22. 在R3中，求向量a(1, 2, 3)在基e1(1, 0, 0)，e2(1, 1, 0)，e3(1, 1, 1)下的坐標(biāo).解 (-1,-1,3)T .23. 求R3中由基a1, a2, as 到基b1, b2, b3 的過(guò)渡矩陣，其中a1(1, 0, -1), a2(-1, 1, 0), a3(1, 2, 3)，b1(0, 1, 1), b2(1, 0, 1), b3(1, 1, 1). 解 所求過(guò)渡矩陣為.24. 設(shè)a1, a2, an是向量空間V的一個(gè)基，求由這個(gè)基到基a3, a4, , an，a1, a2的過(guò)渡矩陣. 解 所求過(guò)渡矩陣為.25. 已知F3中向量

14、a關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基e1(1, 0, 0)，e2(0, 1, 0) ，e3(0, 0, 1)的坐標(biāo)是(1, 2, 3)，求a關(guān)于基b1(1, 0, 1), b2(0, 1, 1), b3(1, 1, 3)的坐標(biāo). 解 (1,2,0)T.26. 判斷Rn的下列子集哪些是子空間(其中R是實(shí)數(shù)域，Z是整數(shù)集). (1) (a1, 0, , 0, an)| a1, an ÎR;(2) (a1, a2, , an)|，a1, a2, , anÎR;(3) (a1, a2, , an)|ai ÎZ, i1, 2, , n ;解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是(數(shù)乘不封閉).

15、27. 設(shè)V是一個(gè)向量空間，且V¹0. 證明，V不能表成它的兩個(gè)真子空間的并集. 證明 設(shè)W1與W2是V的兩個(gè)真子空間 (1) 若，則W1W2= W2V ;(2) 若,則W1W2= W1V ;(3) 若且, 取但,但, 那么,否則將有,這與矛盾, 同理, 所以V中有向量,即V.28. 設(shè)V是n維向量空間，證明V可以表示成n個(gè)一維子空間的直和. 證明 設(shè)a1, a2, an是向量空間V的一個(gè)基, L(a1),L(a2) , L(an)分別是由a1, a2, an生成的向量空間, 要證L(a1+a2+an)=L(a1)L(a2)L L (an)(1) 因?yàn)閍1, a2, an是V的一個(gè)基

16、, 所以V中任一向量a都可由a1, a2, an線性表示, 此即L (a1+a2+an)= L (a1)+ L (a2)+ L (an). (2) 對(duì)任意ij1,2, n,下證L (ai)L (aj)=0. 反設(shè)存在0 L (ai)L (aj),由 L(ai)知存在k使得=kai； 由 L (aj)知存在使得=aj , 從而ai =aj , 即a1與a2線性相關(guān), 矛盾, 所以L (ai)L (aj)=0.綜上, L (a1+a2+an)= L (a1) L (a2) L(an).29. 在R3中給定兩個(gè)向量組a1(2, -1, 1, -1), a2(1, 0, -1, 1),b1(-1, 2

17、, -1, 0), b2(2, 1, -1, 1). 求L (a1, a2)L (b1, b2) 的維數(shù)和一個(gè)基. 解 取R4的標(biāo)準(zhǔn)正交基,于是(a1, a2, b1, b2)= ()A,其中 A= , 秩A = 4. 故a1, a2, b1, b2線性無(wú)關(guān), 又因?yàn)長(zhǎng) (a1, a2)L (b1, b2)=0,所以dim L (a1, a2) + dim L (b1, b2)= 4, a1, a2, b1, b2是它的基.30. 設(shè)W1, W2都是向量空間V的子空間，證明下列條件是等價(jià)的：(1) W1ÍW2;(2) W1W2W1;(3) W1W2W2. 證明 (i) (1)(2)

18、因?yàn)閃1ÍW2 , 所以W1W2W1. (ii) (2)(3) W1W2 =a1+a2 | a1W1, a2W2 由(2)知對(duì)任意aW1, 都有aW2 , 所以W1W2 =a1+a2 | a1, a2W2=W2 .(iii) (3)(1) W1W2 =a1,+a2 | a1W1, a2W2=W2 , 說(shuō)明對(duì)任意aW1, 都有aW2 , 此即W1ÍW2 .31. 設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上n階對(duì)稱矩陣所成的a2向量空間；W是數(shù)域R上n階上三角矩陣所成的向量空間，給出V到W的一個(gè)同構(gòu)映射. 解 對(duì)V (A=(aij)且aij= aji)和BW(B=(aij),當(dāng)i>j時(shí), aij=0)定義f : V W AB 易驗(yàn)證f 是V到W的一個(gè)同構(gòu)映射.32. 設(shè)V與W都是數(shù)域F上的向量空間，f是V到W的一個(gè)同構(gòu)映射，證明a1, a2, , an是V的基當(dāng)且僅當(dāng)f (a1), f (a2), , f (an)是W的基. 證明 設(shè)a1, a2, , an是V的基.(1