絕對強的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料(高等數(shù)學(xué)易混淆概念分析)

1、高等數(shù)學(xué)部分易混淆概念 第一章:函數(shù)與極限一、數(shù)列極限大小的判斷 例 1:判斷命題是否正確.若 ( n n x y n N <>,且序列 , n n x y 的極限存在, lim , lim , n n n n x A y B A B =<則解答:不正確. 在題設(shè)下只能保證 A B , 不能保證 A B <. 例如:11, 1n n x y nn =+, , n n x y n <,而 lim lim 0n n n n x y =.例 2.選擇題設(shè) n n n x z y ,且 lim ( 0, lim n n n n n y x z -=則 ( A .存在且等于

2、零 B. 存在但不一定等于零 C .不一定存在 D. 一定不存在 答:選項 C 正確分析:若 lim lim 0n n n n x y a =,由夾逼定理可得 lim 0n n z a =,故不選 A 與 D.取 11(1 , (1 , (1 nnnn n n x y z nn=-=-+=-, 則 n n n x z y , 且 l im( 0n nn y x -=, 但 l im n n z 不存在,所以 B 選項不正確,因此選 C .例 3.設(shè) , n n x a y 且 lim ( 0, n n n n n y x x y -=則 與 ( A .都收斂于 a B. 都收斂,但不一定收斂于

3、 a C .可能收斂,也可能發(fā)散 D. 都發(fā)散 答:選項 A 正確.分析:由于 , n n x a y ,得 0n n n a x y x -,又由 lim ( 0n n n y x -=及夾逼定理得lim ( 0n n a x -=因此, lim n n x a =,再利用 lim ( 0n n n y x -=得 lim n n y a =.所以選項 A .二、無界與無窮大無界:設(shè)函數(shù) ( f x 的定義域為 D ,如果存在正數(shù) M ,使得( f x M x X D 則稱函數(shù) ( f x 在 X 上有界,如果這樣的 M 不存在,就成函數(shù) ( f x 在 X 上無界;也就是說如果對于任 何正

4、數(shù) M ,總存在 1x X ,使 1( f x M >,那么函數(shù) ( f x 在 X 上無界.無窮大:設(shè)函數(shù) ( f x 在 0x 的某一去心鄰域內(nèi)有定義(或 x 大于某一正數(shù)時有定義 .如果對于任意 給定的正數(shù) M (不論它多么大 ,總存在正數(shù) (或正數(shù) X ,只要 x 適合不等式 00x x <-<(或x X >,對應(yīng)的函數(shù)值 ( f x 總滿足不等式 ( f x M >則稱函數(shù) ( f x 為當(dāng) 0x x (或 x 時的無窮大. 例 4:下列敘述正確的是: 如果 ( f x 在 0x 某鄰域內(nèi)無界,則 0lim ( x x f x = 如果 0lim ( x

5、 x f x =,則 ( f x 在 0x 某鄰域內(nèi)無界解析:舉反例說明. 設(shè) 11( sinf x xx=, 令 11, , 22n n x y n n =+, 當(dāng) n +時, 0, 0n n x y ,而lim ( lim (2 2n n n f x n +=+=+lim ( 0n n f y +=故 ( f x 在 0x =鄰域無界,但 0x 時 ( f x 不是無窮大量,則不正確. 由定義,無窮大必?zé)o界,故正確.結(jié)論:無窮大必?zé)o界,而無界未必?zé)o窮大. 三、函數(shù)極限不存在 極限是無窮大當(dāng) 0x x (或 x 時的無窮大的函數(shù) ( f x ,按函數(shù)極限定義來說,極限是不存在的,但是為 了便

6、于敘述函數(shù)的性態(tài),我們也說“函數(shù)的極限是無窮大” .但極限不存在并不代表其極限是無窮大.例 5:函數(shù) 10( 0010x x f x x x x -<=+>,當(dāng) 0x 時 ( f x 的極限不存在.四、如果 0lim ( 0x x f x =不能退出 01lim(x x f x =例 6:( 0xx f x x =為 有 理 數(shù) 為 無 理 數(shù) , 則 0l im (0x x f x =, 但由于1(f x 在 0x =的任一鄰域的無理點均沒有定義,故無法討論 1(f x 在 0x =的極限.結(jié)論:如果 0lim ( 0x x f x =,且 ( f x 在 0x 的某一去心鄰域內(nèi)

7、滿足 ( 0f x ,則 01lim(x x f x =.反之, ( f x 為無窮大,則1(f x 為無窮小。五、求函數(shù)在某點處極限時要注意其左右極限是否相等,求無窮大處極限要注意自變量取正無窮大和負(fù)無 窮大時極限是否相等。例 7.求極限 1lim , lim xx x x e e 解:lim , lim 0x x x x e e +-=+=,因而 x 時 xe 極限不存在。1100lim 0, lim xxx x ee-=+,因而 0x 時 1x e 極限不存在。六、使用等價無窮小求極限時要注意:(1 乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換, 加減運算中由于用等價無窮小替換是有條件的, 故統(tǒng)

8、一不 用。這時,一般可以用泰勒公式來求極限。(2注意等價無窮小的條件,即在哪一點可以用等價無窮小因子替換 例 8 :求極限 0limx x分析一:若將 2寫成 1 1 +,再用等價無窮小替換就會導(dǎo)致 錯誤。分析二:用泰勒公式 22222211(122(1( 22! 11(122(1( 222!1(4x x x x x x x x -+-+-+-=-+原式 2221( 144x x x-+=-。例 9:求極限 sin limx x x 解:本題切忌將 sin x 用 x 等價代換,導(dǎo)致結(jié)果為 1。sin sin lim0x x x=七、函數(shù)連續(xù)性的判斷(1 設(shè) ( f x 在 0x x =間 斷

9、 , ( g x 在 0x x =連 續(xù) , 則 ( ( f x g x ±在 0x x =間 斷 。 而2( ( , ( , ( f x g x ff x 在 0x x =可能連續(xù)。例 10.設(shè) 00( 1x f x x =, ( sin g x x =,則 ( f x 在 0x =間斷, ( g x 在 0x =連續(xù),( ( ( s i n 0f x g x f x x =在 0x =連續(xù)。 若設(shè) 10( 1x f x x =-<, ( f x 在 0x =間斷,但 2( ( 1f x f x =在 0x =均連續(xù)。(2 “ ( f x 在 0x 點連續(xù)”是“ ( f x

10、在 0x 點連續(xù)”的充分不必要條件。分 析 :由 “ 若 0lim ( x x f x a =, 則 0l i ( x x f x a =” 可 得 “ 如 果 00lim ( ( x x f x f x =, 則0l i ( ( x x f x f x =” , 因此, ( f x 在 0x 點連續(xù),則 ( f x 在 0x 點連續(xù)。 再由例 10可得, ( f x 在 0x 點連續(xù)并不能推出 ( f x 在 0x 點連續(xù)。(3 ( x 在 0x x =連續(xù), ( f u 在 00( u u x =連續(xù),則 ( f x 在 0x x =連續(xù)。其余結(jié)論均 不一定成立。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、函數(shù)

11、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo)。例 11. ( f x x =在 0x =連讀,在 0x =處不可導(dǎo)。 二、 ( f x 與 ( f x 可導(dǎo)性的關(guān)系(1 設(shè) 0( 0f x , ( f x 在 0x x =連續(xù), 則 ( f x 在 0x x =可導(dǎo)是 ( f x 在 0x x =可導(dǎo)的充要條 件。(2設(shè) 0( 0f x =,則 0( 0f x '=是 ( f x 在 0x x =可導(dǎo)的充要條件。 三、一元函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)與不可導(dǎo)函數(shù)乘積可導(dǎo)性的討論設(shè) ( ( ( F x g x x =, ( x 在 x a =連續(xù), 但不可導(dǎo), 又 ( g a '存在, 則 (

12、 0g a =是 ( F x 在 x a =可導(dǎo)的充要條件。分析:若 ( 0g a =,由定義 ( ( ( ( ( ( limlimlim( ( ( x a x a x aF x F a g x x g a a g x g a F a x g a a x ax ax a-''=-反之,若 ( F a '存在,則必有 ( 0g a =。用反證法,假設(shè) ( 0g a ,則由商的求導(dǎo)法則知 ( ( (F x x g x =在 x a =可導(dǎo),與假設(shè)矛盾。利用上述結(jié)論,我們可以判斷函數(shù)中帶有絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性。 四、在某點存在左右導(dǎo)數(shù)時原函數(shù)的性質(zhì)(1設(shè) ( f x 在 0x

13、x =處存在左、右導(dǎo)數(shù),若相等則 ( f x 在 0x x =處可導(dǎo);若不等,則 ( f x 在 0x x =連續(xù)。(2如果 ( f x 在 (, a b 內(nèi)連續(xù), 0(, x a b ,且設(shè) 00lim ( lim ( , x x x x f x f x m +-''=則 ( f x 在0x x =處必可導(dǎo)且 0( f x m '=。若沒有如果 ( f x 在 (, a b 內(nèi)連續(xù)的條件, 即設(shè) 00lim ( lim ( x x x x f x f x a +-''=, 則得不到任何結(jié)論。例 11. 20( 0x x f x xx +>=, 顯

14、 然 設(shè) 00lim ( lim ( 1x x f x f x +-''=, 但 0l i m (2x f x +=, 0lim ( 0x f x -=,因此極限 0lim ( x f x 不存在,從而 ( f x 在 0x =處不連續(xù)不可導(dǎo)。第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、 若 lim ( , (0, lim ( x x f x A A f x +'=可 以 取 , 則若 lim ( 0x f x A +'=,不妨設(shè) 0A >,則 0, ( 2A X x X f x '>>時 , ,再由微分中值定理( ( ( (, (, f x

15、f X f x X x X X x '=+-> ( ( (lim ( 2x A f x f X x X x X f x +->=+同理,當(dāng) 0A <時, lim ( x f x +=-若 lim ( , 0, ( 1x f x X x X f x +''=+>>時 , ,再由微分中值定理( ( (, (, f x f X f x X x X X x '=+-> ( ( (lim ( x f x f X x X x X f x +->=+同理可證 lim ( x f x +'=-時,必有 lim ( x f x +=-第八章