二階導(dǎo)數(shù)的用法及零點(diǎn)嘗試法

1、二階導(dǎo)數(shù)的用法及零點(diǎn)嘗試法導(dǎo)數(shù)最大的作用是判斷復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，我們可以很簡(jiǎn)單的求一次導(dǎo)數(shù)，然后 通過求導(dǎo)函數(shù)的根，就可以判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而知道函數(shù)的趨勢(shì)圖像，不過 這只是最基礎(chǔ)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在很多題目中我們求一次導(dǎo)數(shù)之后無法求出導(dǎo)函數(shù)的根, 甚至也不能直接看出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，因此無法判斷單調(diào)性，在高考中不管文理都有極 大可能用到二階導(dǎo)數(shù)，雖然文科不談二階導(dǎo)數(shù)，其實(shí)只是把一階導(dǎo)數(shù)設(shè)為一個(gè)新函數(shù), 再對(duì)這個(gè)新函數(shù)求導(dǎo)，本質(zhì)上依舊是二階導(dǎo)數(shù)。的取值范圍。所以g(x) 0,g(x)在$)上單調(diào)遞增，gm町厶e彳二階導(dǎo)的用法判斷f(x)的單調(diào)性則需判斷f(x)的正負(fù)，假設(shè)f(x)的正負(fù)無法判斷，

2、則把f(x)或者f(x)中不能判斷正負(fù)的部分(通常為分子部分)設(shè)為新函數(shù)g(x)，如果通過對(duì)g(x)進(jìn)行求導(dǎo)繼而求最值，若g(x)min0或g ( x)max0則可判斷出f(X)的正負(fù) 繼而判斷f(x)的單調(diào)性，流程如下圖所示：例 1.1.f(x)ex2x23x，當(dāng)x寸時(shí)，f(x)(a 3)x 1恒成立，求實(shí)數(shù)a解析：f(x)(a 3)x 12x23x(a 3)x 1，則12x2x1-在x1-上恒成立2xe令g(x)12x2x， 貝V g (x)令h(x) ex(x 1)ex(x21,則h(x)1)12x22xx(ex1)1當(dāng)x時(shí)，h (x)20恒成立，即h(x)17 1h() Ve 028

3、2但是并不是一階導(dǎo)數(shù)無法求根或者判斷正負(fù)就必須使用二階導(dǎo)數(shù)，有時(shí)候適當(dāng)?shù)?對(duì)函數(shù)做一些變形就可以省去很多麻煩，如下題：例 2 2已知函數(shù)f(x) (x 1)1 nx x 1，證明：當(dāng)0 x 1時(shí)，f(x) 0X 11解析：f (x) I nx1 In x無法求根也無法判斷正負(fù)xx11x1f (x)丄J J2 2T，令f (x)0,則x 1x x x當(dāng)x 1時(shí)，f(x) 0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0 x1時(shí)，f(x) 0,f(x)單調(diào) 遞減，f(x)minf(1) 1 0,所以f(x)在0 x 1上單調(diào)遞增即f(x) f (x)maxf (1) 0但是如果調(diào)整函數(shù)轉(zhuǎn)化為一階導(dǎo)數(shù)并且還出現(xiàn)了一階導(dǎo)數(shù)

4、最小值小于等于零，或一階 導(dǎo)數(shù)最大值大于等于零的時(shí)候，則單純的二階導(dǎo)數(shù)將失靈，此時(shí)我們采用的是零點(diǎn)嘗 試法，即確定一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)的大致位置，如下：可直接得出原 函數(shù)的最值或 者帶有所設(shè)零點(diǎn)的式子一階導(dǎo)數(shù)無法判斷單我們對(duì)一階導(dǎo)數(shù)或?qū)ζ渲胁荒芘袛喾?hào)的部分進(jìn)行求導(dǎo)通過二階導(dǎo) f 數(shù)求出一階導(dǎo)數(shù)的最值通過二階導(dǎo)數(shù)求出一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)最小值大于等于 0 0原函數(shù)單調(diào)遞一階導(dǎo)數(shù)原函數(shù)最大值小于等于 0 0單調(diào)增對(duì)上圖的解讀：零點(diǎn)嘗試法其實(shí)是無法求出一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，且通過二階導(dǎo)數(shù)無法得 出需要的一階導(dǎo)數(shù)的最值，此時(shí)一般可以根據(jù)二階導(dǎo)的恒正或恒負(fù)來判斷出一階導(dǎo)是 否只有一個(gè)零點(diǎn)，若用零點(diǎn)存在性定理能判斷出一

5、階導(dǎo)數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則設(shè)出這個(gè) 零點(diǎn)為X。，但是難點(diǎn)就在這里，因?yàn)椴恢罍?zhǔn)確零點(diǎn)的區(qū)間，因此可能很難找出符合 題意區(qū)間的X0，例如確定出X0在某數(shù)之前或某數(shù)之后，但是所設(shè)的X0滿足f(X0)=0=0 ,通過這個(gè)式子可以得到一個(gè)關(guān)于x0的等式，然后所設(shè)的點(diǎn)x0肯定是原函數(shù)唯一的最值點(diǎn)，因此若求原函數(shù)的最值則需要結(jié)合f(x。)0這個(gè)等式，有的時(shí)候能求出一個(gè)不包含x0的最值或者含有x0一個(gè)很簡(jiǎn)單的數(shù)或式子，不過此方法并非無敵，若二階導(dǎo)數(shù)和 零點(diǎn)嘗試法均失效時(shí)，則需考慮你的思考方向是否正確了，關(guān)于零點(diǎn)嘗試法在20172017 年高考之前各個(gè)省份模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)，在20172017 年高考中也出現(xiàn)了，因

6、此這個(gè)方法必須作為高考中的備考題型掌握。零點(diǎn)嘗試法應(yīng)用舉例:(G ex0 x02例 3.3.已知函數(shù)f (x) exIn(x m)，當(dāng)m2時(shí)，證明f (x)0解析：原題可以理解為當(dāng)m 2時(shí)，f (x)exIn(x2)0在定義域內(nèi)恒成立xf (x) ef (x) e(x 2)2所以f (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,設(shè)在定義域內(nèi)X。使得f(X)0所以(2,x。)時(shí)，f (x)(X,)時(shí)，f (x)f(x)minf(X) exf(x)單調(diào)遞減f(x)單調(diào)遞增ln(x。2)由得f (x)minf (x。)2ex00故當(dāng)m 2時(shí)，證明f (x)0例 4.4.已知函數(shù)f(x)立，求正整數(shù)k的值。x Inx a

7、x，若對(duì)任意x (1,)，f (x) k(x 1) ax x恒成解析：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x (1,)時(shí)，k少 J 恒成立x 1設(shè)h(x)x,h(x)x In x 2(x 1)2令m(x)x In x1、2, m (x)10所以m(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增xm( x)minm(1)1(沒有用)注意二階導(dǎo)失靈了m(3)In 3所以存在X0(3,4)使得m(x0) x0In X02 0當(dāng)x (1,x), m(x) 0, h(x) 0,h(x)單調(diào)遞減當(dāng)x(Xo,), m(x) 0, h (x) 0,h(x)單調(diào)遞增xlnxoxx(lnx。1)h(x)minh(x)-x1x1又因?yàn)閙(x0)x0In x02

8、x 1 (ln x01)0由由得h(x)minh(X)X。所以k x,k 1,2,3f(x) g(x)所以h(x)在(1,)上單調(diào)遞增，h(x)minh(1) lim h(x)x 1效)因?yàn)閔(1) 0,h(2)0且h(x)在(1,)單調(diào)，因此h(x)0在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)為X。當(dāng)x x時(shí)，h (x)0，h(x)單調(diào)遞增當(dāng)1 x x時(shí)，h(x) 0，h(x)單調(diào)遞減所以h(x)minh(x) (x1)ex0In(x1) x1h (x) Xoex00 x1聯(lián)立可得h(x)min0所以h(x) g(x) h(x) 0,即f(x) g(x)例 6.6.已知函數(shù)f (x) exIn(x m)，

9、當(dāng)m 2時(shí)，證明f(x) 0例 5 5 .設(shè)函數(shù)f(x) ln(x 1) ax2x 1,g(x) (x 1)exax2,a R，證明解析：g(x) f (x) (x 1)exln(x 1) x 1，令h(x)(x 1)exIn (x 1) x 1h(x)xxex1 x(eJ，h (x)(x 1)ex1(x 1)2(此時(shí)二階導(dǎo)失解析：函數(shù)的定義域?yàn)?m, )，f (x) ex1, f (x) ex丄20 x m(x m)此時(shí)f(x)在(m,)上單調(diào)遞增，由于f(x)在xm處無意義，因此用極限判斷最小值Xom所以可證得f(x)min0,即f(x) 0f(x)minf( m)lim (exx m丄)emx mlimx mx m(二階導(dǎo)失靈)* *目前只知道點(diǎn)的個(gè)數(shù)，令(X)單調(diào)遞增，f(x)是否有零點(diǎn)不確定，因此還需要判斷f(x)零xIxxf (x) e0，即me x，設(shè)g(x) e x，f (x)有沒有零點(diǎn)等價(jià)于ym和g(x) exx有沒有交點(diǎn)因?yàn)間 (x)ex10，g(x)單調(diào)遞減，因?yàn)間( m)emm故可知y m和g(x) exx有一個(gè)交點(diǎn),即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)。設(shè)f