讓直線和平面動(dòng)起來(lái)

1、讓直線和平面動(dòng)起來(lái) 線面平行有關(guān)問(wèn)題江陰市第二中學(xué) 劉桂饒直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（以下簡(jiǎn)稱線面平行的判定）。用符號(hào)表示為：若a，b，a b，則a。利用線面平行的判定判定線面平行時(shí)，在面內(nèi)尋找與a平行的直線b是難點(diǎn)。由兩個(gè)平面平行定義得：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面（以下簡(jiǎn)稱面面平行的性質(zhì)）。用符號(hào)表示為：若，a，則a。利用面面平行的性質(zhì)判定線面平行時(shí)，找過(guò)直線a且與平面平行的平面是難點(diǎn)。PDACBMN圖1如何突破這些難點(diǎn)，迅速解決相關(guān)問(wèn)題。，請(qǐng)看下列幾個(gè)案例。案例1 如圖1在四棱錐P-ABCD中，

2、M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若ABCD是平行四邊形，求證：MN平面PAD。（江蘇出版社«普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)»必修2，第38頁(yè)）方法（1） 分析：1、利用線面平行的判定證明MN平面PAD，就是在平面PAD內(nèi)找到一條直線a與MN平行。2、猜想直線PA、PD、AD與MN平行？但它們與MN都異面。PDACBMN圖1-1E3、平面PAD內(nèi)哪條直線與MN平行？4、如圖1-1嘗試用三角尺平移MN到面PAD內(nèi)：點(diǎn)M到點(diǎn)A；點(diǎn)N到PD上，設(shè)為E（由圖可知E為線段PD的中點(diǎn)）。5、由此本題可以取PD的中點(diǎn)E，通過(guò)證明AE MN，從而證明MN平面PAD（證明略）。方法（2） 1、分析：

3、利用面面平行的性質(zhì)證明MN平面PAD，就是要找到過(guò)直線MN且與平面PAD平行的平面。2、過(guò)直線MN且與平面PAD平行的平面是哪個(gè)平面？PDACBMN圖1-2F3、嘗試平移平面PAD到過(guò)直線MN。我們可以通過(guò)平移直線來(lái)實(shí)現(xiàn)。4、如圖1-2平移直線AD到過(guò)點(diǎn)M，交CD于F（由圖可知F即為線段PD的中點(diǎn)）。相交直線MN、MF所確定的平面NMF即為所找平面。5、由此本題可以取CD的中點(diǎn)F，通過(guò)證明平面NMF平面PAD，從而證明MN平面PAD（證明略）。ABCDE圖2案例2 如圖2 在直四棱柱ABCD中，已知DC= =2AD=2AB，ADDC, ABDC。（1）求證：（2）試在棱DC上確定一點(diǎn)E，使E平

4、面BD，并說(shuō)明理由。（2008年江蘇省高考考試說(shuō)明，典型題示例第51頁(yè)）分析：1、利用線面平行的判定解本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)無(wú)法平移E到平面BD內(nèi)，因?yàn)镋不確定的，點(diǎn)E未知。如何解決？ABCD圖2-2ABCDE圖2-3ABCD圖2-12、逆向思維，平面BD內(nèi)哪條直線與E平行？D ?B? BD?分別平移D ，B， BD到過(guò)點(diǎn)（E雖不確定的，但其中點(diǎn)是已知的）。3、如圖2-1，平移D到過(guò)點(diǎn)時(shí)，與DC不相交；如圖2-2平移BD到過(guò)點(diǎn)時(shí)，與DC也不相交；如圖2-3平移B到過(guò)點(diǎn)時(shí)，與DC相交，其交點(diǎn)設(shè)為E。4、由作法知：AD，平面ABCD，所以平行于平面ABCD與平面EB的交線BE。從而四邊形ABED為平行四邊形

5、，所以E為棱DC中點(diǎn)。所以當(dāng)點(diǎn)E為棱DC中點(diǎn)時(shí)，E平面BD。FDACQPEB圖35、由此本題可以取棱DC的中點(diǎn)E，通過(guò)證明E B，從而證明MN平面PAD（證明略）。 案例3 如圖3 已知有公共邊AB的兩個(gè)全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，PQ平面CBE？（江蘇出版社«普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)»必修2，第38頁(yè)）方法（一） 分析：1、利用線面平行的判定來(lái)確定P，Q兩點(diǎn)。FDACQPB圖3-1E2、顯然EB、BC與PQ不平行， CE呢？（EB、BC均與PQ異面，三條直線中只可能是CE。）3、如圖3-1 沿線段EA

6、平移CE（AE與CE有交點(diǎn)）到與EA、 BD分別相交于P、Q。4、由作法知：A，Q，C是平面EAC和平面ABCD的公共點(diǎn)，所以A，Q，C三點(diǎn)共線。Q為AC，BD的交點(diǎn)，為BD的中點(diǎn)，此時(shí)P是AE的中點(diǎn)。所以當(dāng)P、Q分別是AE，BD的中點(diǎn)時(shí)，PQ平面CBE。（證明略）FDACQPEB圖3-2N方法（二） 分析：1、利用面面平行的性質(zhì)來(lái)確定P，Q兩點(diǎn)：平移平面CBE。2、如圖3-2 在平面ABEF內(nèi)平移BE交AE于P，交AB于N；在平面ABCD內(nèi)平移BC到過(guò)N交BD于Q。FDACQPEBM圖3-33、由作法知：平面ABEF內(nèi)，有；平面ABCD內(nèi)，。又EA=BD，所以P，Q滿足EP=BQ時(shí)，PQ平面

7、CBE。（證明略）回顧與反思：方法（一），方法（二）中結(jié)論不同，方法（一）的結(jié)論僅是方法（二）中的一種特殊情況。方法（一）是不是只找到了一種特殊情況而漏掉了一般情況？讓我們回到方法（一）中接著分析：5、CE是面CBE內(nèi)很特殊的與PQ平行的直線，面CBE內(nèi)會(huì)不會(huì)還有其余直線與PQ平行呢?怎樣的直線？FDACQPEBM圖3-46、讓我們平移PQ到平面CBE內(nèi)看看：點(diǎn)P到點(diǎn)E；點(diǎn)Q到直線BC上（不一定是點(diǎn)C）。7、如圖3-3取線段BC除端點(diǎn)外任意一點(diǎn)M ，連接EM。沿線段AE平移EM（AE與EM有交點(diǎn)）到分別與AE、 BD相交于點(diǎn)P、Q。MPFDACEB圖3-58、由作法知：A， Q，M是平面EAM

8、和平面ABCD的公共點(diǎn)，所以A，Q，M三點(diǎn)共線。平面EAM內(nèi)，平面ABCD內(nèi)， ，所以即EP=BQ。此時(shí)PQ平面CBE（證明略）9、如圖3-4 M為線段BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，連接EM。沿線段AE平移EM到分別與AE、 BD相交于點(diǎn)P、Q。同樣當(dāng)點(diǎn)P、Q滿足EP=BQ時(shí)，PQ平面CBE。10、如圖3-5當(dāng)M為線段BC反向延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連接EM，沿線段AE平移EM，發(fā)現(xiàn)EM與BD不相交，（此時(shí)線段EA、線段EM，均在線段BD同側(cè)，沿線段AE平移線段EM時(shí)，是遠(yuǎn)離線段BD而去，故與線段BD不相交）。綜合以上分析方法（一）可以得到與方法（二）同樣的結(jié)論：當(dāng)P，Q滿足EP=BQ時(shí)，PQ平面CBE。（證明略）線面平行有關(guān)問(wèn)題都可以通過(guò)平移直線或平面來(lái)尋找相應(yīng)的線或面，從而解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)課堂主要表