橢圓中的常見最值問題

1、最新資料推薦橢圓中的常見最值問題1、橢圓上的點(diǎn)P到二焦點(diǎn)的距離之積|PFi|PF2|取得最大值的點(diǎn)是橢圓短軸的端點(diǎn)，取得最小值的點(diǎn)在橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)。22例1、橢圓J匕1上一點(diǎn)到它的二焦點(diǎn)的距離之積為m,則m取得的259最大值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是。P(0,3)或(0,-3)22例2、已知橢圓方程冬與1(ab0,a2b2c2)p為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2ab是橢圓的二焦點(diǎn)，求IPF1IIPF2I的取值范圍。分析：IPF1IIPF2I(aex)(aex)a2e2x2,(|x|a)當(dāng)xa時(shí)，|PF1|PF2|min=a2c2b2,當(dāng)x0時(shí),嚴(yán)1|眸Imaxa2即b2|PF111PF2|a22、橢圓上到的橢圓

2、內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到焦點(diǎn)距離之差取得最大值或最小值的點(diǎn)是這個(gè)定點(diǎn)與焦點(diǎn)連線延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)，最大值、最小值分別是定點(diǎn)到該焦點(diǎn)的距離和其相反數(shù)。22例3、已知A(1,1),F1、F2是橢圓LL1的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)95點(diǎn)，則|pa|IPF2I的最大值是,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為。Ipa|IPF2I的最小值是,止匕時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為。3、橢圓上到橢圓內(nèi)定點(diǎn)的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離之和取得最小值或最大值的點(diǎn)是另一焦點(diǎn)與定點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)。22例4、已知A(1,1),F1是橢圓二二1的左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則95|PA|PFi|的最小值是,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為。|PA

3、|PFi|的最大值是,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為。分析：|PA|IPF1IIPF2I|PF1|IAF2I,當(dāng)P是AF2的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)。|PA|IPF1IIPF2I|PFilIAF2I,當(dāng)P是AF2的反向延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)。4、橢圓上的點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F的距離的-倍e的和|PA|1|PF|的最小值(e為橢圓的離心率)，可通過比|e轉(zhuǎn)化為|PA|ded(d為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)最小值，取得最小值的點(diǎn)是A到準(zhǔn)線的垂線與橢圓的交點(diǎn)。22例5、已知定點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)F為橢圓L1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在該橢圓1612上移動(dòng)，求|AM|2|MF|的最小值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)。22例

4、6、已知點(diǎn)橢圓工匕1及點(diǎn)A(2,2),B(3,0),P(x,y)為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，259則31PAi51PBi的最小值是。5、以過橢圓中心的弦的端點(diǎn)及橢圓的某一焦點(diǎn)構(gòu)成面積最大的三角形是短軸的端點(diǎn)與該焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形。22例7、過橢圓匕1(ab0,a2b2c2)的中心的直線交橢圓于A,Bab兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)F2(c,0),則ABF2的最大面積是。例8、已知F是橢圓9x225y2225的一個(gè)焦點(diǎn)，PQ是過原點(diǎn)的一條弦，求PQF面積的最大值。6、橢圓上的點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。22例9、P為橢圓二、1（ab0,a2b2c2）一點(diǎn)，左、右焦

5、點(diǎn)為abFi（c,0）F2（c,0）,則PF1F2的最大面積是。7、橢圓上的點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。例10、已知A是橢圓9x225y2225的長(zhǎng)軸一個(gè)端點(diǎn)，PQ是過原點(diǎn)的一條弦，求PQA面積的最大值。8、橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離最大值、最小值問題可利用兩點(diǎn)間的距離公式及橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。22例11、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓二匕1的右焦點(diǎn)，M是OF的中點(diǎn)，259P為橢圓上任意一點(diǎn)，求|MP|的最大值和最小值。例12、橢圓中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，e里,已知點(diǎn)P（0一）到這個(gè)橢22圓上的最遠(yuǎn)距離是J7,求橢圓方程

6、。9、橢圓的焦點(diǎn)到橢圓上的距離最近和最遠(yuǎn)點(diǎn)是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。1aex（|x|a）為x的增函數(shù)，2aex（|x|a）為x的減函數(shù)，xa時(shí)，2，2分別取得最大值ac和最小值aco22例13、橢圓-匚1上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大值最小值25910、橢圓上的點(diǎn)到定直線的距離最近及最遠(yuǎn)點(diǎn)分別是與定直線平行的橢圓的兩條切線的切點(diǎn)。例14、已知橢圓x28y28,在橢圓上求一點(diǎn)巳是P到直線l:xy40的距離最小，并求最小值。11、橢圓上的點(diǎn)到與它的兩個(gè)焦點(diǎn)連線的最大夾角是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和二焦點(diǎn)的連線的夾角。范圍大于等于00,小于它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和二焦點(diǎn)的連線的夾角。分析：|PFJIPF2I2a|PFi|P

7、F2|a222222_2_2_2_2|PF1|2|PF2|24c24a24c221PF1|PF2|2a22c212a22c28s2|PF1|PF2|-2|PF1|PF2|PF1|PF2|-02等號(hào)成立的條件：|PF1|PF2|a,即P點(diǎn)為短軸的端點(diǎn)。例15、已知橢圓22C:二二1(ab0),兩個(gè)焦點(diǎn)為F2,F2,如果C上ab有一點(diǎn)Q,使 F1QF2120°,求橢圓的離心率的取值范圍。9例16、如圖所示,22從橢圓斗與1(ab0)上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰ab好通過橢圓的左焦點(diǎn)F1,且它的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)A短軸的端點(diǎn)B的連線AB平行于OM。(1)求橢圓的離心率(2)設(shè)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2為

8、橢圓的右焦點(diǎn)，求F1QF2的范圍。(3)當(dāng)QF2AB時(shí)，延長(zhǎng)QF2與橢圓交于另一點(diǎn)P,若F1PQ的面積為2073,求此橢圓方程。12、橢圓上的點(diǎn)與它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線的最大夾角是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長(zhǎng)軸的二端點(diǎn)的連線的夾角。范圍為大于一，小于它的短軸的一個(gè)2端點(diǎn)和長(zhǎng)軸的二端點(diǎn)的連線的夾角。22例17、已知橢圓C:!1(ab0),長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B,如ab果C上有一點(diǎn)Q,使AQB1200,求橢圓的離心率的取值范圍。13、點(diǎn)P在橢圓上，umxny(m,n為常數(shù))的最大值或最小值分別是直線mxnyu0與橢圓相切時(shí)U的值。22例18、已知點(diǎn)P(x,y)在LL1上的點(diǎn)，則uxy的取值范圍是<

9、1442514、點(diǎn)P在橢圓上，u3(m,n為常數(shù))的最大值或最小值分別是xn直線yu(xn)m與橢圓相切時(shí)的斜率。例19、點(diǎn)P(x,y)在橢圓4(x2)2y4上，則義的最大值,最小x值。22例20、點(diǎn)P(x,y)在橢圓x-<1上，則t2的最大值,最小259y4值。15、yx0acosx的最大值或最小值是直線yk(xx0)y0與橢圓y0bsinxxac0S相切時(shí)切線的斜率。ybsin例21、求y例23、P,Q,M, N四點(diǎn)均在橢圓上，橢圓方程為：x2 1, F為橢圓在y2軸正半軸的焦點(diǎn)，已知PF,FQ共線，MF,FN共線，且PFi?PF2 0,求 四邊形PMQN面積的最小值。17、利用方程

10、元的范圍求有關(guān)最值問題：inx的最大值、最小值42cosx16、橢圓的平行弦、過定點(diǎn)弦等弦長(zhǎng)最值問題及有關(guān)弦長(zhǎng)的最值問題：2例22、求直線ykx1被橢圓人y21所截得弦長(zhǎng)的最大值。4例24、已知橢圓方程為2 x 2 y21,求過點(diǎn)P (0, 2)的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B, PA的取值范圍。(18、其它有關(guān)最值例24、P為橢圓:2y21(ab0)上一動(dòng)點(diǎn)，若A為長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)四邊形OAPB面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。22例25、已知橢圓12%1和直線l:xy9。,在1上取一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M且以橢圓的焦點(diǎn)F1,F2為焦點(diǎn)作橢圓，當(dāng)M在何處時(shí)所作橢圓的長(zhǎng)軸最短,并求此橢圓方程。

11、例26、設(shè)橢圓221(ab0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(0,b),B(a,0),右焦點(diǎn)為F,ab且F到直線AB的距離等于它到原點(diǎn)的距離，求離心率的取值范圍。2學(xué)1(ab0),F1,F2為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，PF2x軸，且PF1F2的正切值為-4(1)求橢圓C的離心率。(2)過焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于點(diǎn)MF1MN面積的最大值為3,求橢圓C的方程。x 2角牛：x c代入a胃1ab 0)得:又PF1F2的正切值為4,所以Rc,%b22ac3a2c2342ac4注意到0 a 1,所以a 1(2)設(shè)M(x1,y1), N(x2, y2),過焦點(diǎn)F2的直線l的方程為x my c ,代入橢圓方程得:2(my c)2a22(my c) y 12- 24c3c(3m24)y2 6mcy 9c20yi y26mc9c22 、VN223m2 43m2 4-1 SFiMN 2 ?H| y1 |1y2 |)c|y y?l ” 心 知也6mc 23m2 436c23m2 441424 1 V(3m4)2F9m24ri1612d