概率統(tǒng)計公式大全復(fù)習(xí)重點

1、第一章隨機事件和概率(1)排列組合公式Pmn一m一從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。(mn)!Cmm!從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。n!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理(兩個步驟分別不能完成這件事)：mxn某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mxn種方法來完成。(3)一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)對立事件(至少有一個)問(4)隨機試驗和隨機事件如果一個試驗在

2、相同條件下可以重復(fù)進行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。(5)基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點(基本事件)組成的集合。通常用大寫字母A,B,C,表小事件，匕們是的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件(？)的概率為零，

3、而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的關(guān)系與運算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：AB如果同時有AB,BA,則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=RAB中至少有一個發(fā)生的事件：AB,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。AB同時發(fā)生：AB,或者ABAB=?,則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件

4、，記為Ao它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)AiAi_德摩根率：i1i1ABAB,ABAB(7)概率的A列三個條件：1°0<P(A)&1,2°P(Q)=1AP(A)公理化定義3對十四的互小相谷日勺事件A1,A2,侶常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。1°1,2n，(8)古典概2°1P(1)P(2)P(n)-0n型設(shè)任一事件A,它是由1,2m組成的，則有P(A)=(1)(2)(m)

5、=P(1)P(2)P(m)若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對(9)幾何概任一事件A,型L(A)P(A)o其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。L()(10)加法P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)公式當P(AB)=0時，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)(11)減法當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)公式當A=Q時，P(B)=1-P(B)定義設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事件B(12)條件 概率P

6、(A)乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)(13)乘法更一般地，對事件Ai,A2,人，若P(AAA-i)>0,則有公式P(A1A2An)P(Ai)P(A2|Ai)P(A3|A1A2)P(An|AiA2An1)/o發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)P(AB)oP(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)兩個事件的獨立性(14)獨立設(shè)事件A、B滿足P(AB)P(A)P(B),則稱事件A、B是相互獨立的上若事件A、B相互獨立，且P(A)0,則有若事件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互獨立。必然事件和不可能

7、事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。設(shè)事件B1,B2，Bn滿足1。B1,B2,Bn兩兩互不相容，P(Bi)0(i1,2,n),(15)全概 公式A2°則有P(A)nBii 1P(Bi)P(A| Bi) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A|Bn)o設(shè)事件B1，B2,，Bn及A滿足BiB2,，Bn兩兩互不相容，P(Bi) >0

8、, i 1, 2,，n ,nBi2°則P(A) 0,(16)貝葉 斯公式P(B"A)P(Bi)P(A/ Bi)nP(Bj)P(A/Bj)j 1,i=1 , 2,n。此公式即為貝葉斯公式。P(Bi),(i1,2,n),通常叫先驗概率。P(Bi/A),(i1,2,n),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。我們作了n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復(fù)進行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗A發(fā)生與否是互(17)伯努 利概型不影響的。這種試驗稱為伯努利概型

9、，或稱為n重伯努利試驗。用p表示每次試驗A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為1pq,用Pn(k)表示n重伯努利t驗中A出現(xiàn)k(0kn)次的概率,c/1k,k_knkPn(k)CnPq,k0,1,2,no第二章隨機變量及其分布(1)離散型隨機變量的分布律設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk尸pk,k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：X|x1,X2,xk,P(Xxk)p1,p2,pk,顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：pk1(1)pk°,k1，2，,k1O(2)連續(xù)型隨機變量的分布密

10、度設(shè)F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)f(x),對任意實數(shù)x,有xF(x)f(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有卜面4個性質(zhì)：1 f(x)0。f(x)dx12 o(3)離散與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與P(Xxk)pk在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。(4)分布函數(shù)設(shè)X為隨機變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。P(aXb)F(b)F(a)可以彳4到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間(-g,x內(nèi)的概率。分布

11、函數(shù)具有如下性質(zhì)：1。0F(x)1,x；2°F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即xix2時，有F(xi)F(x2)；3。 F()limF(x)0,F()limF(x)1;xx4。 F(x0)F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5。 P(Xx)F(x)F(x0)o對于離散型隨機變量，F(xiàn)(x)pk；xkxx對于連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)f(x)dxo(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項分布在n重貝努里試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為po事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為X,則X可能取值為0,1,2,noP(Xk)Pn(k)C：pkqnk,其中q1p,0p1,k0,1,2,n,則稱隨

12、機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記為XB(n,p)。當n1時，P(Xk)pkq1k,k0.1,這就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機變黃tX的分布律為kP(Xk)ek!,0,k0,1,2,則稱隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X()或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布(np=入，n-8)。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布1,2,3,其中p>0,q=1-p。P(Xk)qp,k隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)o均勻分布設(shè)隨機變黃tX的值只落在a,b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a,b上為常

13、數(shù),即ba1a<x<bf(x)ba，0,其他，則稱隨機變量X在a,分布函數(shù)為b上服從均勻分布，記為XU(a,b)o?0,x<a,F(x)xf(x)dxxa,<1bavv/6b當a<xi<X2<b時，X落在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的概率為x91D/wVw-P(x1Xx2)oba指數(shù)分布f(x)?x?e,x0,?募中0,則稼隨他量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布圖數(shù)為xxx1e,x0F(x)1?記住積分公式x<0正態(tài)分布設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)其中(x)20為常數(shù)，則稱隨機變量的正態(tài)分布或高斯(Gauss)f(x)具有如下性質(zhì):1°2&

14、#176;分布，記為X服從參數(shù)為XN(,2)。f(x)N(的圖形是關(guān)于xXN(0,1)(x)一時，f()對稱的；1為最大值;2)，則X的分布函數(shù)為(t)x2e”dt1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為2.1,其密度函數(shù)記為e2(6)分位數(shù)(7)函數(shù)分布分布函數(shù)為(x)得xt2e2dto(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)=1-(x)且(0)如果XN(,2),則P(X1Xx2)下分位表：P(X上分位表：P(X離散型)=)=X2N(0,1)oXiXx1,x2,xn,P(Xxi)P1,P2,，Pn，已知X的分布列為Yg(X)的分布列(yg(x1互不相等)如下:P(Yyjg(x

15、1),g(x2),g(xn),若有某些g(xi)p1，等,p3將對應(yīng)的pn，Pi相加作為g(xi)的概率。先利用X的概率密度fX(x)寫出丫的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X)<y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)o第三章二維隨機變量及其分布(1)聯(lián)合分布離散型如果二維隨機向量(X,Y)的所用可能取值為至多可列個有序?qū)?x,y),則稱為離散型隨機量。設(shè)=(X,Y)的所啟可能取值為(xi,yj)(i,j1,2,)且事件=(Xi,yj)的概率為pij,稱為=(X,Y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布啟時也用卜曲的概率分布表來表?。簓1y2yjx1P11P12P1jx2P2

16、1P22P2jxiP1這里Pij具有卜面兩個性質(zhì)：(1)Pij>0(i,j=1,2,)；Pij1.連續(xù)型對于二維隨機向量(X,Y),如果存在非負函數(shù)f(x,y)(x,y),使對任意一個其鄰邊分別平行丁坐標軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=(X,Y的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面兩個性質(zhì)：(1) f(x,y)>0;(2) f(x,y)dxdy1.(2)二維隨機變量的本質(zhì)(3)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量(X,

17、Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件(1,2)|X(1)x,Y(2)y的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0F(x,y)1;(2) F(x,y)分別對x和y是非減的，即當x2>x1時,有F(x2,y)>F(x1,y);當y2>y1時,有F(x,y2)>F(x,y1);(3) F(x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即(4) F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.(5)對于xx2,yy2，F(xiàn)(x2,y2)F(x2,yjF(x1，y)F(xny1)0.(4)離散型與連續(xù)型的關(guān)

18、系(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(XX)Pj(i,j1,2,);Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)3;fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為(7)獨立性一般型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布=0隨機變量的 函數(shù)(8)二維均 勻分布若X

19、l,X2，Xm,Xm+1,Xn相互獨立,h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h (Xi, X2,Xm)和 g (Xm+1,Xn)相互獨立。特例：若X與丫獨立，則：h (X)和g (Y)獨立。例如：若 X與丫獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。設(shè)隨機向量(X； 丫)的分布密度函數(shù)為其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱(X, Y)服從D上的均勻分布，記為( X, Y)U(D)。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。o71圖3.1y卜圖3.3(9)二維正態(tài)分布設(shè)隨機向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為其中1,2,10,20,1|1是5個參數(shù)，則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)-N(1,2,12,2,).由邊緣密度的計算公

20、式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布,即XN(1,12),YN(2,；).但是若XN(221,1),YN(2,2),(X,Y)未必是二維正態(tài)分布(10)函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義at算：Fz(z)P(Zz)P(XYz)對于連2型，fz(z)=f(x,zx)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12,122)。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。222Cii,2Ci2i2Z=max,min(X1,X2，Xn)右X1,X2Xn相互獨立，其分布國數(shù)分別為Fx1(x),Fx2(x)Fxn(x),貝ijZ=max,min(X1,X2，Xn)的分布函數(shù)為：22分布設(shè)n個隨機變

21、量X1,X2,Xn相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機變量W艮從自由度為n的2分布，記為W卜2(n),其中所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。22分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布設(shè)X2(n1),Y2(n2)，且X與丫獨立，可以證明X/n1F的概率密度函數(shù)為Y/n2我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n1,第二個自由度為s的F分布，記為Ff(n1,n2).第四章隨機變量的數(shù)字特征(1)一維隨機變量的數(shù)字特征離散型

22、連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機變量，其分布律為P(Xxk)=pk,k=1,2,n,(要求絕對收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),(要求絕對收斂)函數(shù)的期望rY=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2,標準差(X)VD(X),矩對于正整數(shù)k,稱隨機變量X的k次募的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點矩，記為Vk,即vk=E(Xk)=x：Pi,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機變量X與E(X)差的k次募的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為k,即=(XiE(X)kPi,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機變量X的k次募的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點矩，記為Vk,即kk-.、.vk=E(X)=X

23、f(x)dx,k=1,2,對于正整數(shù)k，稱隨機變量X與E(X)差的k次募的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為k,即=(xE(X)kf(x)dx,k=1,2,切比雪夫不等式設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=心，方差D(X)=(/,則對于任意正數(shù)£,有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。期望的性質(zhì)(1) E(C尸C(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y),E(GXi)CiE(Xi)i1i1(4) E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān)。(3)方差的性質(zhì)(1)

24、D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(X士Y尸D(X)+D(Y),充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X士Y尸D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4)期望方差常見分布0-1分布B(1,p)P的期望和二項分布B(n,p)np方差泊松分布P(:幾何分布G(p)超幾何分布H(n,M,N)均勻分布U(a,b)指數(shù)分布e()正態(tài)分布N(,2

25、)n2nt分布0(n>2)n2(5)二維隨機變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=方差協(xié)方差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與丫的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為XY或cov(X,丫)，即與記號XY相對應(yīng)，X與丫的方差D(X)與D(丫)也可分別記為xx與YY。相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,則稱為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作XY(有時可簡記為)。|<1,當|=1時，稱X與丫完全相關(guān)：P(XaYb)1“辛正相關(guān)，當1時(a0),完全相關(guān)負相關(guān)，當1時(a0),而當0時，稱X與丫不相關(guān)。以下五個命題是等價的： XY0； co

26、v(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y尸D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機變量X與Y,如果有E(XkYl)存在，則稱之為X與丫的k+l階混合原點矩，記為w；k+l階混合中心矩記為：(6)協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii) cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii) cov(X1+X2,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y尸E(XY)-E(X)E(Y).獨立和不相關(guān)(i)若隨機變量X與Y相互獨立，則XY°；反之不真。(ii)若(X,丫)-N(1，

27、2，12,言)，則X與丫相互獨立的充要條件是X和丫不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機變量Xi,X2,相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D(X)<C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù)有特殊情形：若X1,X,具有相同的數(shù)學(xué)期望E(X)=心，則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)心是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)£,有伯努利大數(shù)定律說明，當試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1,X2,，Xn,是相互獨立同分布的

28、隨機變量序列，且E(Xn)二心，則對于任意的正數(shù)£有(2)中心極限定理列維林德伯格定理設(shè)隨機變量X,X,相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk),D(XQ20(k1,2,)，則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)X,有此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗一拉普拉斯定理設(shè)隨機變量Xn為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數(shù)X,有(3)二項定理若當N時,p(n,k/、父)，則N超幾何分布的極限分布為二項分布。(4)泊松定理若當n時，np0,則其中k=0,1,2,，n,。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)

29、理統(tǒng)計的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個(或多個)指標的全體稱為總體(或母體)。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量(或隨機向量)。個體總體中的每一個單元稱為樣品(或個體)。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x1,x2,xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，Xi,X2,Xn表示n個隨機變量(樣本)；在具體的一次抽取之后，Xi,X2,Xn表示n個具體的數(shù)值(樣本值)。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計量設(shè)Xi,X2,Xn為總體

30、的一個樣本，稱(Xi,X2,Xn)為樣本函數(shù)，其中才-個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(Xi,X2,Xn)為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)一1n樣本均值X-Xi.niiO21n/-2樣本方差S(XiX).n1ii卜1nc樣本標準差S.1(Xix)2.nn1i1樣本k階原點矩樣本k階中心矩2E(X),D(X),n_22_2n12E(S),E(S*),n21n2其中S*一(XiX)，為二階中心矩。ni1(2)正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布2設(shè)X1,X2,Xn為來自正態(tài)總體N(,)的一個樣本，則樣本函數(shù)t分布2設(shè)X1,X2,Xn為來自正態(tài)總體N(,)的一個樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示

31、自由度為n-1的t分布。、一，2、設(shè)Xi,X2,Xn為來自正態(tài)總體N(,)的一個樣本，則樣本函數(shù)22其中(n。表示自由度為n-1的分布。F分布、L.-.2及x1,x2,xn為來自正態(tài)總體N(,1)的一個樣本，而.2y1,y2,yn為來自正態(tài)總體N(,2)的一個樣本，則樣本函數(shù)其中F(n11,n21)表示第-自由度為n11,第二自由度為n21的F分布。(3)正態(tài)總體下分布的性質(zhì)._2.X與S獨立。第七章參數(shù)估計(1)點估計矩估計設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1,2,m，則其分布函數(shù)可以表成一，k、，.一F(x;1,2,m).它的k階原點矩VkE(X)(k1,2,m)中也包含了未知參數(shù)1,2,m，即

32、VkVk(1,2,m)。又設(shè)x1,x2,xn為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為這樣，我們按照“當參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)(1,2,m)即為參數(shù)(1,2,m)的矩估“里。若為的矩估計，g(x)為連續(xù)函數(shù)，則g(?)為g()的矩估計。極大似然估計當總體X為連續(xù)型隨機變量時，設(shè)其分布密度為f(X；1,2,m),其中1,2,m為未知參數(shù)。又設(shè)Xi,X2,Xn為總體的一個樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當總體X為離型隨機變量時，設(shè)其分布律為PXXP(X；1,2,m),則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L(Xi,X2

33、,Xn；1,2,m)在1,2,m處取到最大值，則稱1,2,m分別為1,2,m的最大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。若為的極大似然估計，g(X)為單調(diào)函數(shù)，則9(?)為9()的極大似然估計。(2)估計量的評選標準無偏性設(shè)(X1,X2,Xn)為未知參數(shù)的估計量。若E()=,則稱為的無偏估計量。E(X)=E(X),E(S2)=D(X)有效性設(shè)11(X1,X,2,Xn)和22(X1,X,2,Xn)是未知參數(shù)的兩個無偏估計量。若D(1)D(2),則稱1比2有效。一致性設(shè)n是的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有則稱n為的一致估計量(或相合估計量)。若為的無偏估計，且D(?)0(n)，則為的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計量。(3)區(qū)間估計置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本x1,x,2,xn出發(fā)，找出兩個統(tǒng)“里11(x1,x,2,xn)與22(x1,x,2,xn)(12),使得區(qū)間1,2以1(0