講義精品一元二次方程講義精品

1、 考點一、概念(1)內容：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達式： （3）關鍵點：強調對最高次項的討論：次數(shù)為“2”；系數(shù)不為“0”。典型例題：例1、下列方程中是關于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 變式：當k 時，關于x的方程是一元二次方程。例2、方程是關于x的一元二次方程，則m的值為 。針對練習：1、方程的一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 。2、若方程是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 ?？键c二、方程的解內容：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應用：利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題：例1、已知的值為2，則的值為 。例

2、2、關于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值為 。說明：任何時候，都不能忽略對一元二次方程二次項系數(shù)的限制.例3、已知關于x的一元二次方程的系數(shù)滿足，則此方程必有一根為 。說明：本題的關鍵點在于對 “代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“-1”巧解代數(shù)式的值。例4、已知，求 變式：若，則的值為 。針對練習：1、已知方程的一根是2，則k為 ，另一根是 。2、已知m是方程的一個根，則代數(shù)式 。3、已知是的根，則 。4、方程的一個根為（ ）A B 1 C D 5、若 。作業(yè)：1、若方程是關于x的一元一次方程，求m的值；寫出關于x的一元一次方程。2、已知關于x的方程的一個解與方程的解相同。求k的值；方程

3、的另一個解?？键c三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關鍵點：降次類型一、直接開方法：對于，等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程： =0; 例2、若，則x的值為 。針對練習：1、下列方程無解的是（ ）A. B. C. D.類型二、因式分解法:方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如， ，典型例題：例1、的根為（ ）A B C D 例2、若，則4x+y的值為 。變式1： 。變式2：若，則x+y的值為 。變式3：若，則x+y的值為 。例3、方程的解為（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,則的值為 。變式：已知,且,則的值為 。針對

4、練習：1、下列說法中：方程的二根為，則 . 方程可變形為正確的有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù)： 3、若實數(shù)x、y滿足，則x+y的值為（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或24、方程：的解是 。類型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式的最小值。變式：若，則t的最大值為 ，最小值為 。例3、已知為實數(shù)，

5、求的值。變式1：已知，則 .變式2：如果,那么的值為 。類型四、公式法條件：公式： ,典型例題：例1、選擇適當方法解下列方程： 說明：解一元二次方程時，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法?？键c四、根的判別式根的判別式的作用：定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應用于其它。典型例題：例1、若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 。例2、關于x的方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是( )A. B. C. D.例3、已知二次三項式是一個完全平方式，試求的值.說明：若二次三項式為一個完全平方式，則其相應方程的判別式即：若，則二次三項式為完全平方式；反之，若為完全平方式

6、，則.針對練習：1、當k 時，關于x的二次三項式是完全平方式。2、已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值是 .考點五、根與系數(shù)的關系前提：對于而言，當滿足、時，才能用韋達定理。主要內容：應用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（ ）A. B.3 C.6 D.說明：要能較好地理解、運用一元二次方程根與系數(shù)的關系，必須熟練掌握、之間的運算關系.例2、解方程組：說明：一些含有、的二元二次方程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利用根與系數(shù)的關系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有時，后者顯得更為簡便.例3、已知關于x的方程

7、有兩個不相等的實數(shù)根，（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。典型例題：1、關于x的方程有兩個實數(shù)根，則m為 ,只有一個根，則m為 。 2、解方程，判斷關于x的方程根的情況。3、如果關于x的方程及方程均有實數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由?？键c六：一元二次方程應用題典型例題一例 某公司八月份售出電腦200臺，十月份售出242臺，這兩個月平均每有增長的百分率是多少？分析 設平均每月的增長率為x.那么九月份售出電腦臺，即臺，十月份售出臺，即臺，于是根據(jù)題意，可以列出方程.解：

8、設平均每月增長的百分率為x.依題意，有 （不符合題意，舍去）答：平均每月增長的百分率為10%.說明 在有關增長率的問題中，要掌握等量關系：，其中a為變化前的數(shù)，如本題中的200臺，p為變化后的數(shù)，如本題中的242臺，x為增長（降低）率，n為變化次數(shù)，如本題從八月到十月份共變化兩次，因此.典型例題二例 某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長21%，平均每年比上一年增長的百分率為 .解 設平均增長率為，則%. . （不合題意，舍去）. =10%.說明：本題主要考查利用一元二次方程求平均數(shù)增長率的問題，解題關鍵是設出未知數(shù)，列出方程.典型例題四例 （安徽省，1997）如圖，要建一個面積為150的長方形

9、養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，雞場的一邊靠著原有的一條墻，墻長為米，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35米.（1）求雞場的長與寬各為多少？（2）題中，墻的長度對題目的解起著怎樣的作用？解 （1）設雞場的寬為米，則 當寬為10米時，長為35-20=15米.當寬為米時，長為35-15=20米.（2）由（1）的結果可知，題中的墻長對于問題的解有嚴格的限制作用.當時，問題無解；當時，問題有一解，只可建寬為10米，長15米一種規(guī)格的雞場；當時，問題有兩解，可建寬10米，長15米，或寬為米，長為20米兩種規(guī)格的雞場.說明：本題考查利用一元二次方程解與面積有關的實際問題，解題關鍵是設出未知數(shù)，表示出長與寬，根據(jù)面

10、積公式列出方程，易錯點是在討論的限制作用時漏解或敘述不清.典型例題五例將進貨單價為40元的商品按50元出售時，能賣500個，已知該商品每漲價1元，其銷售量就要減少10個，為了賺8000元利潤，售價應定為多少，這時應進貨多少個？分析：該題屬于經(jīng)營問題.設商品單價為元，則每個商品得利潤元，因為每漲價1元，其銷售量會減少10個，則每個漲價元，其銷售量會減少個，故銷售量為個，為了賺得8000元利潤，則應有，進而可以求解.解設每個商品漲價元，則銷售價為元，銷售量為個.根據(jù)題意，得；整理，得解之，得，.經(jīng)檢驗，都符合題意.當時，當時，答：要想賺8000元，售價應定為60元或80元，若售價為60元，則進貨量

11、應為400個；若售價為80元，則進貨量應為200個.說明：根據(jù)題意列出相應的等量關系是解決問題的關鍵.對于本題要注意單價的上漲與銷售量的減少之間的相互關系.典型例題六例 某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率。分析：可設存款的年利率為，依題意，以本利和為主線列方程解之。解設這種存款的年利率為，則2000元存入一年后，應得本金和利息為元，支取1000元后，還有元，再存入一年后，本息應為元，依題意，得整理，得（所得結果要符合實際意義）解之，得，（不合題意，舍去）.答：這種存款方式的年利率為.說明：存款利率是一種典型的應用題，此類題一般年利率為未知數(shù)，依存款本利和列方程解之。典型例題七例 “坡耕地退耕還林還草”是國家對解決西部地區(qū)水土流失生態(tài)問題，幫助廣大農(nóng)民脫貧致富提出的一項戰(zhàn)略措施，某村長為帶領全村群眾自覺投入坡耕地退耕還林行動，率先垂范，1999年將自家的坡耕地全部退耕，并于當年承包20畝坡耕地的還林還草及管護任務，而實際完成的畝數(shù)增加的百分率為.如果保持這一增長率不變，2000年村長可完成28.8畝坡耕地還