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文檔簡介

1、 考點一、概念(1)內容:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達式: (3)關鍵點:強調對最高次項的討論:次數(shù)為“2”;系數(shù)不為“0”。典型例題:例1、下列方程中是關于x的一元二次方程的是( )A B C D 變式:當k 時,關于x的方程是一元二次方程。例2、方程是關于x的一元二次方程,則m的值為 。針對練習:1、方程的一次項系數(shù)是 ,常數(shù)項是 。2、若方程是關于x的一元二次方程,則m的取值范圍是 ??键c二、方程的解內容:使方程兩邊相等的未知數(shù)的值,就是方程的解。應用:利用根的概念求代數(shù)式的值; 典型例題:例1、已知的值為2,則的值為 。例

2、2、關于x的一元二次方程的一個根為0,則a的值為 。說明:任何時候,都不能忽略對一元二次方程二次項系數(shù)的限制.例3、已知關于x的一元二次方程的系數(shù)滿足,則此方程必有一根為 。說明:本題的關鍵點在于對 “代數(shù)式形式”的觀察,再利用特殊根“-1”巧解代數(shù)式的值。例4、已知,求 變式:若,則的值為 。針對練習:1、已知方程的一根是2,則k為 ,另一根是 。2、已知m是方程的一個根,則代數(shù)式 。3、已知是的根,則 。4、方程的一個根為( )A B 1 C D 5、若 。作業(yè):1、若方程是關于x的一元一次方程,求m的值;寫出關于x的一元一次方程。2、已知關于x的方程的一個解與方程的解相同。求k的值;方程

3、的另一個解??键c三、解法方法:直接開方法;因式分解法;配方法;公式法關鍵點:降次類型一、直接開方法:對于,等形式均適用直接開方法典型例題:例1、解方程: =0; 例2、若,則x的值為 。針對練習:1、下列方程無解的是( )A. B. C. D.類型二、因式分解法:方程特點:左邊可以分解為兩個一次因式的積,右邊為“0”,方程形式:如, ,典型例題:例1、的根為( )A B C D 例2、若,則4x+y的值為 。變式1: 。變式2:若,則x+y的值為 。變式3:若,則x+y的值為 。例3、方程的解為( )A. B. C. D.例4、解方程: 例5、已知,則的值為 。變式:已知,且,則的值為 。針對

4、練習:1、下列說法中:方程的二根為,則 . 方程可變形為正確的有( )A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2、寫出一個一元二次方程,要求二次項系數(shù)不為1,且兩根互為倒數(shù): 寫出一個一元二次方程,要求二次項系數(shù)不為1,且兩根互為相反數(shù): 3、若實數(shù)x、y滿足,則x+y的值為( )A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或24、方程:的解是 。類型三、配方法在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題:例1、試用配方法說明的值恒大于0,的值恒小于0。例2、已知x、y為實數(shù),求代數(shù)式的最小值。變式:若,則t的最大值為 ,最小值為 。例3、已知為實數(shù),

5、求的值。變式1:已知,則 .變式2:如果,那么的值為 。類型四、公式法條件:公式: ,典型例題:例1、選擇適當方法解下列方程: 說明:解一元二次方程時,首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式法;一般不選擇配方法??键c四、根的判別式根的判別式的作用:定根的個數(shù);求待定系數(shù)的值;應用于其它。典型例題:例1、若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍是 。例2、關于x的方程有實數(shù)根,則m的取值范圍是( )A. B. C. D.例3、已知二次三項式是一個完全平方式,試求的值.說明:若二次三項式為一個完全平方式,則其相應方程的判別式即:若,則二次三項式為完全平方式;反之,若為完全平方式

6、,則.針對練習:1、當k 時,關于x的二次三項式是完全平方式。2、已知方程有兩個不相等的實數(shù)根,則m的值是 .考點五、根與系數(shù)的關系前提:對于而言,當滿足、時,才能用韋達定理。主要內容:應用:整體代入求值。典型例題:例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根,則這個直角三角形的斜邊是( )A. B.3 C.6 D.說明:要能較好地理解、運用一元二次方程根與系數(shù)的關系,必須熟練掌握、之間的運算關系.例2、解方程組:說明:一些含有、的二元二次方程組,除可以且代入法來解外,往往還可以利用根與系數(shù)的關系,將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有時,后者顯得更為簡便.例3、已知關于x的方程

7、有兩個不相等的實數(shù)根,(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由。典型例題:1、關于x的方程有兩個實數(shù)根,則m為 ,只有一個根,則m為 。 2、解方程,判斷關于x的方程根的情況。3、如果關于x的方程及方程均有實數(shù)根,問這兩方程是否有相同的根?若有,請求出這相同的根及k的值;若沒有,請說明理由??键c六:一元二次方程應用題典型例題一例 某公司八月份售出電腦200臺,十月份售出242臺,這兩個月平均每有增長的百分率是多少?分析 設平均每月的增長率為x.那么九月份售出電腦臺,即臺,十月份售出臺,即臺,于是根據(jù)題意,可以列出方程.解:

8、設平均每月增長的百分率為x.依題意,有 (不符合題意,舍去)答:平均每月增長的百分率為10%.說明 在有關增長率的問題中,要掌握等量關系:,其中a為變化前的數(shù),如本題中的200臺,p為變化后的數(shù),如本題中的242臺,x為增長(降低)率,n為變化次數(shù),如本題從八月到十月份共變化兩次,因此.典型例題二例 某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長21%,平均每年比上一年增長的百分率為 .解 設平均增長率為,則%. . (不合題意,舍去). =10%.說明:本題主要考查利用一元二次方程求平均數(shù)增長率的問題,解題關鍵是設出未知數(shù),列出方程.典型例題四例 (安徽省,1997)如圖,要建一個面積為150的長方形

9、養(yǎng)雞場,為了節(jié)約材料,雞場的一邊靠著原有的一條墻,墻長為米,另三邊用竹籬笆圍成,如果籬笆的長為35米.(1)求雞場的長與寬各為多少?(2)題中,墻的長度對題目的解起著怎樣的作用?解 (1)設雞場的寬為米,則 當寬為10米時,長為35-20=15米.當寬為米時,長為35-15=20米.(2)由(1)的結果可知,題中的墻長對于問題的解有嚴格的限制作用.當時,問題無解;當時,問題有一解,只可建寬為10米,長15米一種規(guī)格的雞場;當時,問題有兩解,可建寬10米,長15米,或寬為米,長為20米兩種規(guī)格的雞場.說明:本題考查利用一元二次方程解與面積有關的實際問題,解題關鍵是設出未知數(shù),表示出長與寬,根據(jù)面

10、積公式列出方程,易錯點是在討論的限制作用時漏解或敘述不清.典型例題五例將進貨單價為40元的商品按50元出售時,能賣500個,已知該商品每漲價1元,其銷售量就要減少10個,為了賺8000元利潤,售價應定為多少,這時應進貨多少個?分析:該題屬于經(jīng)營問題.設商品單價為元,則每個商品得利潤元,因為每漲價1元,其銷售量會減少10個,則每個漲價元,其銷售量會減少個,故銷售量為個,為了賺得8000元利潤,則應有,進而可以求解.解設每個商品漲價元,則銷售價為元,銷售量為個.根據(jù)題意,得;整理,得解之,得,.經(jīng)檢驗,都符合題意.當時,當時,答:要想賺8000元,售價應定為60元或80元,若售價為60元,則進貨量

11、應為400個;若售價為80元,則進貨量應為200個.說明:根據(jù)題意列出相應的等量關系是解決問題的關鍵.對于本題要注意單價的上漲與銷售量的減少之間的相互關系.典型例題六例 某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行,到期后支取1000元用于購物,剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行,若存款的利率不變,到期后本金和利息共1320元,求這種存款方式的年利率。分析:可設存款的年利率為,依題意,以本利和為主線列方程解之。解設這種存款的年利率為,則2000元存入一年后,應得本金和利息為元,支取1000元后,還有元,再存入一年后,本息應為元,依題意,得整理,得(所得結果要符合實際意義)解之,得,(不合題意,舍去).答:這種存款方式的年利率為.說明:存款利率是一種典型的應用題,此類題一般年利率為未知數(shù),依存款本利和列方程解之。典型例題七例 “坡耕地退耕還林還草”是國家對解決西部地區(qū)水土流失生態(tài)問題,幫助廣大農(nóng)民脫貧致富提出的一項戰(zhàn)略措施,某村長為帶領全村群眾自覺投入坡耕地退耕還林行動,率先垂范,1999年將自家的坡耕地全部退耕,并于當年承包20畝坡耕地的還林還草及管護任務,而實際完成的畝數(shù)增加的百分率為.如果保持這一增長率不變,2000年村長可完成28.8畝坡耕地還

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