自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題

1、理工大學(xué)暑期數(shù)學(xué)建模強(qiáng)化訓(xùn)練專題四自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題學(xué)員： 曹 陽(yáng) 許佳利 倪迪杭 學(xué)院： 通信工程學(xué)院 時(shí)間：自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題摘 要 本文就自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題，采用解析幾何的方法建立數(shù)學(xué)模型，求出了自行車在各種不同形狀的道路上行駛時(shí)飾物和橢圓板中心的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，并且利用Matlab軟件模擬仿真出了兩者的運(yùn)動(dòng)軌跡。 對(duì)于問(wèn)題1和問(wèn)題2，先運(yùn)用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方程，而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運(yùn)動(dòng)建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。求出的曲線軌跡分別見圖2、圖4和圖5。 對(duì)于問(wèn)題4，將“圓板”換為“橢圓板”，通過(guò)設(shè)定參數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的知識(shí)，將轉(zhuǎn)動(dòng)

2、過(guò)程中橢圓板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表示，求出了其運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。其軌跡圖像見圖8。關(guān)鍵詞:運(yùn)動(dòng)軌跡，解析幾何，拋物線，橢圓，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一、問(wèn)題的提出為了改變平淡的自行車外表，給自行車添加一分美妙的動(dòng)感，同時(shí)，也為了增加騎車人的“安全系數(shù)”，一些騎車人及自行車廠家在自行車的輻條上安裝一塊亮麗的飾物。當(dāng)有這種飾物的自行車在馬路上駛過(guò)時(shí)，這種飾物就如游龍一樣，對(duì)街邊的行人閃過(guò)一道波浪形的軌跡。這一波一閃的光亮游龍，也默默地維護(hù)著騎車人的安全。建立數(shù)學(xué)模型解決以下問(wèn)題：1、這軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。2、當(dāng)這自行車又在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)，或是在一拱一拱的正弦曲線（例如山地摩托車賽場(chǎng)）上通過(guò)

3、時(shí)，這飾物又畫出一條曲中有曲的軌跡，這軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。3、這種滾動(dòng)中圓盤中心的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？4、將問(wèn)題中“圓板”換為“凸形板”（例如橢圓板）時(shí)，其滾動(dòng)軌跡會(huì)有什么結(jié)果？二、問(wèn)題的分析對(duì)于問(wèn)題1、2，裝有飾物的自行車在馬路上行駛過(guò)程中，飾物會(huì)形成一道道曲線軌跡。而隨著路況的不同，如平坦的公路、拋物線形的拱橋、正弦曲線形的山地摩托車賽場(chǎng)等，飾物會(huì)形成不同的曲線軌跡。不管形狀的道路怎么樣，不管曲線軌跡有多復(fù)雜，都可以先運(yùn)用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方程，而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運(yùn)動(dòng)建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。飾物繞車輪軸心的參數(shù)方程是較易得到的，故問(wèn)題的關(guān)鍵在

4、于求出不同形狀的道路上自行車輪軸心的軌跡方程。求出飾物的軌跡方程后，設(shè)定合理的參數(shù)，利用Matlab軟件就可以模擬仿真出飾物的曲線軌跡。對(duì)于問(wèn)題4，研究凸形板（橢圓板）中心的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，可以通過(guò)設(shè)定參數(shù)，將轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中橢圓板中心的坐標(biāo)通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換用參數(shù)表示，求出其運(yùn)動(dòng)軌跡方程，設(shè)定合理的參數(shù)，利用Matlab軟件就可以模擬仿真出橢圓板中心的曲線軌跡。三、模型假設(shè)1、自行車在行駛過(guò)程中車輪不打滑；2、自行車在行駛過(guò)程中速度保持不變；3、自行車在行駛過(guò)程中車輪始終與地面接觸。四、模型的建立及求解1、符號(hào)說(shuō)明 自行車輪的半徑 飾物距車輪軸心的距離 自行車車輪上的飾物 自行車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度 定常量2、模型

5、建立2.1 模型1（問(wèn)題1）模型的分析自行車在馬路上行駛時(shí)，可以認(rèn)為馬路是平坦的，因此自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一條直線。求出這條直線方程后聯(lián)立飾物繞車輪軸心的參數(shù)方程，就可以容易的得到飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡。在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性時(shí)，可以利用圖像求出幾個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，與利用軌跡方程求出的坐標(biāo)一一比較，若兩者求出的坐標(biāo)都是相同的，則驗(yàn)證了模型的正確性。模型的建立與求解設(shè)自行車輪的半徑為，車輪上的飾物距離車輪軸心為。以自行車輪上某一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，假設(shè)飾物的初始位置在軸上，其示意圖如圖1所示，則飾物的初始坐標(biāo)為。圖1 自行車輪示意圖設(shè)自行車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為，則自行車的速度為。經(jīng)過(guò)時(shí)間后，飾物的繞自行車

6、輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：而自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程：所以，飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程： 根據(jù)一般自行車的規(guī)格，取，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖2所示：圖2 飾物在平坦道路上的軌跡模型的驗(yàn)證用飾物在特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)驗(yàn)證模型。假設(shè)自行車沿正軸方向行駛，則自行車輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。飾物轉(zhuǎn)動(dòng)、和時(shí)的坐標(biāo)分別為、和。飾物轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的圖像如圖3所示。圖3 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的圖像由圖像我們可以得到的縱坐標(biāo)為。飾物轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，車輪中心經(jīng)過(guò)的距離為，故的橫坐標(biāo)為。因此飾物轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)為。而把帶入方程式求得的的坐標(biāo)，這與的坐標(biāo)是相同的。用同樣的方法，我們可以把飾物轉(zhuǎn)動(dòng)和時(shí)的圖像作出，然后利用圖像求得飾物轉(zhuǎn)動(dòng)和時(shí)的坐標(biāo)，這

7、與由方程式計(jì)算出飾物轉(zhuǎn)動(dòng)和時(shí)的坐標(biāo)都是相同的。從而驗(yàn)證了我們的模型的正確性。2.2 模型2（問(wèn)題2）模型的分析當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)，自行車輪軸心的軌跡是一個(gè)類拋物線。在求飾物的軌跡時(shí)，先利用拱橋的拋物線方程求出自行車輪軸心的軌跡，然后聯(lián)立飾物的坐標(biāo)的參數(shù)方程，就可以得到飾物的軌跡。當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過(guò)時(shí)，使用類似的方法，先求出自行車輪軸心的軌跡，然后確定飾物的軌跡。2.2.2模型的建立與求解（1）當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)，設(shè)拱橋的拋物線方程為：拋物線上任意一點(diǎn)的切線斜率為：，則該點(diǎn)的法向量的斜率為：。假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為，則自行車輪的軸心的軌

8、跡方程為：解之得：這就是自行車輪軸心的軌跡方程。拋物線上從原點(diǎn)到任意一點(diǎn)的距離為，則有：又根據(jù)行駛路程與行駛時(shí)間之間的關(guān)系，有，令，則：。而經(jīng)過(guò)時(shí)間后，飾物的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：而自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程：所以，飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：這就是當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。取，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖4所示：圖4 飾物在拋物線拱橋上的軌跡（2）當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過(guò)時(shí)，設(shè)正弦曲線的方程為：正弦曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率為：，則該點(diǎn)的法向量的斜率為：。假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為，則自行車輪的軸心的軌跡方程為：解之得：這就是

9、自行車輪軸心的軌跡方程。設(shè)自行車在正弦曲線上行駛的距離為，則有：。 這個(gè)定積分較為復(fù)雜，故在求解的時(shí)候，運(yùn)用微積分的思想，將圖形等步長(zhǎng)微分成份，對(duì)每一部分求出面積后累加即可得到的解。越大，求出的就卻精確。故有：同樣令，根據(jù)，得到飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：這就是當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過(guò)時(shí)飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。取，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖5所示：圖5 飾物在正弦曲線上的軌跡2.3 模型3（問(wèn)題4）模型的建立與求解將問(wèn)題中的“圓板”換為“橢圓板”之后，考慮在水平道路上運(yùn)動(dòng)。設(shè)初始狀態(tài)時(shí)橢圓的方程為：，其參數(shù)形式為：則橢圓中心的坐標(biāo)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，如圖6所示。圖6 設(shè)橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)任意角

10、度后，橢圓中心為，橢圓與軸的切點(diǎn)為。嘗試通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，找出橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)角度后和關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，即：則過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：。所以，該切線的斜率為：。從而可以推得：。 （1）點(diǎn)在橢圓上，故又滿足：。 （2）聯(lián)立（1）、（2）可以得到：這樣就得到了和關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式。由于點(diǎn)在橢圓上，亦滿足橢圓的參數(shù)方程：故得到：。令直線與橢圓長(zhǎng)軸的夾角為，則有：。故，。令坐標(biāo)原點(diǎn)和切點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)為，則有：。運(yùn)用微積分的思想求解，將圖形等步長(zhǎng)微分成份，對(duì)每一部分求出面積后累加即可得到的解。越大，求出的就卻精確。故有：切點(diǎn)到橢圓中心的距離。觀察圖7，容易得到橢圓中心在坐標(biāo)軸中滿足：所以，橢圓中心在橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程當(dāng)中的軌跡方

11、程為：圖7取，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖8所示：圖8 橢圓中心在水平道路上運(yùn)動(dòng)軌跡五、模型的評(píng)價(jià)本文通過(guò)對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中飾物以及圓板（凸形板）的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并通過(guò)一定的物理和數(shù)學(xué)思想及方法，借助于MATLAB軟件模擬了問(wèn)題中所需的各點(diǎn)的軌跡。在解決問(wèn)題二時(shí)，我們巧妙地運(yùn)用了數(shù)值積分的方法，把自行車在拋物線軌道上通過(guò)時(shí)飾物的軌跡方程求解出來(lái)，從而模擬出了其軌跡。對(duì)于問(wèn)題四，我們?cè)O(shè)定了橢圓參數(shù)方程，通過(guò)對(duì)其運(yùn)動(dòng)過(guò)程物理狀態(tài)的分析，完成了對(duì)其中心軌跡的求解。本文的缺點(diǎn)在于由于時(shí)間有限，對(duì)于問(wèn)題4的求解，只考慮橢圓板在水平直線上的運(yùn)動(dòng)。七、模型的推廣 可以將問(wèn)題4拓展為較為簡(jiǎn)單的凸

12、形板在常見平滑曲線上的運(yùn)動(dòng)，通過(guò)設(shè)定參數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的知識(shí)，將轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中簡(jiǎn)單的凸形板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表示，從而求出其運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。參考文獻(xiàn)1.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等數(shù)學(xué) 第六版 上冊(cè)高等教育出版社 2007年4月出版附錄一圖2的程序：t=0:0.01:3;r=0.4;R=0.5;a=3;v=a*tw=v./Rx =-r*sin(w.*t)+w.*R.*t ;y =R-r*cos(w.*t);plot(x,y)axis(0 7 0 1.2)附錄二圖4的程序：x0=-1:0.01:40;a=-0.05;b=2;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*x0.2+b*x0k1=2*a*x

13、0+b;plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).2)+y1%plot(x2,y2)hold onu=1/R*(1/(4*a)*(k1.*sqrt(1+k1.2)+log(k1+sqrt(k1.2+1)-1/(4*a)*(b*sqrt(1+b2)+log(b+sqrt(1+b2);x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);axis(-2 45 0 30)圖5程序：x0=-2:0.01:18;a=1;b=0.6;R=0.5;r=

14、0.4;x1=x0;y1=a*sin(b*x0);k1=a*b*cos(b*x0);plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).2)+y1;%plot(x2,y2)hold onfor x3=-2:0.01:18 s=0;for i=1:100 s=s+sqrt(1+(a*b*cos(b*i*(x3+2)/100-2)2)*(x3+2)/100endu=s/Ry1=a*sin(b*x3);k1=a*b*cos(b*x3);k2=-1./k1;x2=R./(k2.*

15、sqrt(1+(1./k2).2)+x3;y2=R./sqrt(1+(1./k2).2)+y1;x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);hold onendaxis(-3 14 -2.5 2.5)附錄三圖8的程序：clcfor u=0:0.001:1/2*pi a=4.5; b=2.5; k2=tan(u); x0=(b2*k2)/(sqrt(a2+k22*b2) y0=a-a2/sqrt(a2+k22*b2); d=sqrt(x02+(y0-a)2); w=asin(x0./b) n=100; s=0; for i=1:n s=s+w/n*sqrt(a2*(sin(w*i/n)2+b2*(cos(w*i/n)2); end x2=s+d.*sin(u-w); y2=d.*cos(u-w); plot(x2,y2) hold onendhold onfor u=0.5*pi:0.001:1*pi k