解決證明含有兩個變量的不等式策略

1、解決證明含有兩個變量的不等式策略近幾年在高考試題的函數(shù)壓軸題中，經(jīng)常出現(xiàn)含有兩個變量的不等式證明問題，面對兩個變量學生會感覺無從下手，造成找不到解題的突破點；下邊通過幾道例題，讓大家感受化歸和構造的策略。策略一：當兩個變量可以分離時，根據(jù)其兩邊結構構造函數(shù)，利用單調性證明不等式。例1（2010年遼寧文科21）已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調性； KS*5U.C#（）設，證明：對任意，。解：() f(x)的定義域為(0,+)，.當a0時，0，故f(x)在(0,+)單調增加；當a1時，0, 故f(x)在(0,+)單調減少；當1a0時，令0,解得x=.當x(0, )時, 0；x(，+)時，0, 故f(x

2、)在（0, ）單調增加，在（，+）單調減少.()不妨假設x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調減少.所以等價于4x14x2 , 即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.于是0.從而g(x)在（0，+）單調減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2(0,+) ，.當e<x<e2時，1ln x<0，例2（2009年遼寧理科21）已知函數(shù)f(x)=xax+(a1)，。（1）討論函數(shù)的單調性； （2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。解：(1)的定義域為。2分（i）若即,則故在單調增

3、加。(ii)若,而,故,則當時，;當及時，故在單調減少，在單調增加。(iii)若,即,同理可得在單調減少，在單調增加.(II)考慮函數(shù) 則由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +)單調增加，從而當時有，即，故，當時，有·········12分練習1已知函數(shù)f(x)ax1ln x(aR)討論函數(shù)f(x)在定義域內的極值點的個數(shù)；若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；當0<x<y<e2且xe時，試比較與的大小解f(x)a，當a0時

4、，f(x)<0在(0，)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上單調遞減，f(x)在(0，)上沒有極值點；當a>0時，f(x)<0得0<x<，f(x)>0得x>，f(x)在(0，)上單調遞減，在(，)上單調遞增，即f(x)在x處有極小值當a0時，f(x)在(0，)上沒有極值點；當a>0時，f(x)在(0，)上有一個極值點函數(shù)f(x)在x1處取得極值，a1，f(x)bx21b，令g(x)1，則g(x)，g(e2)0，從而可得g(x)在(0，e2上單調遞減，在e2，)上單調遞增，g(x)ming(e2)1，即b1.由知g(x)1在(0，e2)上單調遞減，0

5、<x<y<e2時，g(x)>g(y)，即>.當0<x<e時，1ln x>0，>；<.策略二、當兩個變量分離不開時通過作差或作商等策略略將兩個變量劃歸為一個變量，再構造函數(shù)利用函數(shù)單調性進行證明。例3、已知函數(shù)（）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（）若函數(shù)f（x）在（0，+）上為單調增函數(shù)，求a的取值范圍；（）設m，n為正實數(shù)，且mn，求證：（I）根據(jù)x=2是函數(shù)f（x）的極值點，則f（2）=0可求出a的值，然后求出切線的斜率和切點，從而可求出切線方程；（II）根據(jù)f（x）的解析式求出f

6、（x）的導函數(shù)，通分后根據(jù)函數(shù)f（x）在（0，+）上為單調增函數(shù)，得到分子大于0恒成立，解出2a2小于等于一個函數(shù)關系式，利用基本不等式求出這個函數(shù)的最小值，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍；（III）把所證的式子利用對數(shù)的運算法則及不等式的基本性質變形，即要證ln0，根據(jù)（II）得到h（x）在x大于等于1時單調遞增，且大于1，利用函數(shù)的單調性可得證解：（I）f（x）=，由題意知f（2）=0，解得a=，經(jīng)檢驗符合題意從而切線的斜率為k=f（1）=，切點為（1，0）切線方程為x+8y1=0（II）f（x）=，因為f（x）在（0，+）上為單調增函數(shù)，所以f（x）0在（0，+

7、）上恒成立即x2+（22a）x+10在（0，+）上恒成立，當x（0，+）時，由x2+（22a）x+10，得：2a2x+，設g（x）=x+，x（0，+），則g（x）=x+2=2，當且僅當x=即x=1時，g（x）有最小值2，所以2a22，解得a2，所以a的取值范圍是（，2；（III）要證，只需證，即ln，即ln0，設h（x）=lnx，由（II）知h（x）在（1，+）上是單調增函數(shù)，又1，所以h（）h（1）=0，即ln0成立，得到點評：本題主要考查了學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，會利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題例4（2013年陜西）已知函數(shù).

8、() 求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程; () 證明: 曲線y = f (x) 與曲線有唯一公共點. () 設a<b, 比較與的大小, 并說明理由. 【答案】解:() f (x)的反函數(shù),則y=g(x)過點(1,0)的切線斜率k=. .過點 (1,0)的切線方程為:y = x+ 1 () 證明曲線y=f(x)與曲線有唯一公共點,過程如下. 因此， 所以,曲線y=f(x)與曲線只有唯一公共點(0,1).(證畢) () 設 令. ,且 . 所以 練習2（2006年四川理科22）已知函數(shù)，的導數(shù)是。對任意兩個不等的正數(shù)、，證明：（）當時，；（）當時，。 本小題主要考查導數(shù)的基本性質和應用，函數(shù)的性質和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力。滿分14分。證明：（