薛定諤方程 習(xí)題

1、第二章 薛定諤方程 習(xí)題 (課本44頁)2.1 證明在定態(tài)中，概率流密度與時(shí)間無關(guān)。證明：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)處于定態(tài)時(shí)，其波函數(shù)可以寫作，于是便有，根據(jù)概率流密度的定義式(2.4-4)有，即有，顯然，在定態(tài)中概率流密度與時(shí)間無關(guān)。從某種意義上說明上述波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)是名副其實(shí)的。2.2 由下列兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算概率流密度： ， 。從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。解：在解本題之前，首先給出一個(gè)函數(shù)的梯度在球坐標(biāo)系下的表達(dá)式，即 首先求解函數(shù)的概率流密度可見，概率流密度與同號(hào)，這便意味著的指向是向外的，即表示向外傳播的球面波。 同理，可以得到的概率流密度這里的負(fù)號(hào)，

2、即為概率流密度與的符號(hào)相反，意味著概率流密度的指向是向內(nèi)的，即波函數(shù)表示向內(nèi)傳播的球面波。2.3 一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。解：在量子力學(xué)中，一維薛定諤方程扮演著非常重要的角色。其一，一維問題是微分方程中最簡單、最基礎(chǔ)的問題，通過解一維薛定諤方程，不但可以了解到量子力學(xué)中不同于經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果，如能量的量子化和勢(shì)壘的貫穿等，還可以解更高維薛定諤方程的基礎(chǔ)，如經(jīng)典的氫原子的結(jié)構(gòu)問題和現(xiàn)代的黑洞的結(jié)構(gòu)問題，這些問題通過分離變量，最終化成求解一維薛定諤方程問題。其二，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在實(shí)驗(yàn)室中已經(jīng)制成了一維的或準(zhǔn)一維的系統(tǒng)，這樣，求解一維薛定諤方程對(duì)于理解這些系統(tǒng)的性

3、質(zhì)起著至關(guān)重要的作用。一維薛定諤方程的求解一般有兩大類：一類是束縛態(tài)的求解，即求解束縛態(tài)的能級(jí)及相應(yīng)的波函數(shù)；一類是散射問題，即求解散射態(tài)的反射系數(shù)、透射系數(shù)以及相應(yīng)的波函數(shù)。這兩類問題實(shí)質(zhì)上也是整個(gè)初等量子力學(xué)所關(guān)注的最主要的兩類問題。具體到本題，顯然是一維薛定諤方程中的束縛態(tài)問題。具體求解如下：在勢(shì)阱內(nèi)，一維薛定諤方程的定態(tài)波動(dòng)方程為，其中，如果令，則上述方程為，于是上述方程的解可表示為，。在勢(shì)阱外，根據(jù)波函數(shù)應(yīng)滿足的連續(xù)性和有限性條件可知， 則，由第一個(gè)邊界條件知，。于是波函數(shù)為，再根據(jù)第二個(gè)邊界條件有，這就意味，其中為正整數(shù)。由，便可求出粒子的能級(jí)為，然后，再對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，即

4、，于是，不失一般性，取。在此所使用的數(shù)學(xué)積分公式：則，對(duì)應(yīng)的波函數(shù)為，最后，作幾點(diǎn)說明：首先，既然為正整數(shù)，則能量的最小值為，這是純粹量子效應(yīng)的零點(diǎn)能。其二，對(duì)于無限方勢(shì)阱，量子化的能量間隔不是等距的。其三，顯然方勢(shì)阱的寬度越小，相應(yīng)的能級(jí)越高，這也可以看作是海森伯不確定性原理的一個(gè)表現(xiàn)：當(dāng)方勢(shì)阱的寬度越小，那么粒子位置的不確定度就越小，這樣，根據(jù)海森伯不確定性原理，粒子的動(dòng)量的不確定度就越大，于是，相應(yīng)的能量便越高。其四，從波函數(shù)的形式，基態(tài)波函數(shù)沒有節(jié)點(diǎn)，第一激發(fā)態(tài)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，第個(gè)激發(fā)態(tài)有個(gè)節(jié)點(diǎn)，這表明：當(dāng)粒子的能級(jí)越高，其相應(yīng)的波函數(shù)的空間分布上的起伏就越厲害。2.4 證明(2.6-14

5、)式中的歸一化常數(shù)是。解：已知粒子的波函數(shù)為 (2.6-14)對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，令上式的左邊為，再構(gòu)造，即兩式相加，得，兩式相減，應(yīng)用公式，有則得，這樣所確定出的歸一化條件為，由于量子力學(xué)中波函數(shù)的特殊性質(zhì)，即如果兩個(gè)波函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)的模的相位因子，則這兩個(gè)波函數(shù)將描述相同的物理狀態(tài)。據(jù)此，只須在其中選擇一個(gè)波函數(shù)即可。在該題中，選擇，即；也可選擇。當(dāng)然還有許多別的選擇方式，比如選擇，或者選擇都是對(duì)的，而且描述相同的物理狀態(tài)。2.5 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)概率最大的位置。解：求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)概率最大的位置，實(shí)質(zhì)上也就是求解的最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的值。由課本32頁“能量所對(duì)應(yīng)

6、的波函數(shù)”表達(dá)式(2.7-15)的第二式有，根據(jù)課本32頁“厄密函數(shù)的歸一化常數(shù)”的表達(dá)式(2.7-17)有，根據(jù)課本32頁“厄密多項(xiàng)式”的表達(dá)式(2.7-14)可知，則，這里的，為諧振子的質(zhì)量。于是，有，這樣，由，可以得到，經(jīng)過對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)：時(shí)，取極小值(其實(shí)也就是零)；時(shí)，取最大值。討論 的極小值的位置除了，實(shí)質(zhì)上還有，但總的來說，這是平庸的解，是所有束縛態(tài)系統(tǒng)的普遍性質(zhì)。 注意到取最大值的位置是左右對(duì)稱的，本質(zhì)上是由于勢(shì)場(chǎng)的左右對(duì)稱符合對(duì)稱性原理，即對(duì)稱的原因?qū)a(chǎn)生對(duì)稱的結(jié)果。2.6 在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。求解：根據(jù)定態(tài)

7、薛定諤方程課本24頁式(2.5-3)，假設(shè)某定態(tài)波函數(shù)滿足以下方程, 可以證明，波函數(shù)也同樣滿足上面的定態(tài)方程。首先注意到， 以及， 綜合以上各式，有即，波函數(shù)也同樣滿足定態(tài)方程。 把對(duì)應(yīng)于一個(gè)本征值有一個(gè)以上本征函數(shù)的情況稱為簡并，把對(duì)應(yīng)于同一個(gè)本征值的本征函數(shù)的數(shù)目稱為簡并度。如果屬于能量的本征態(tài)是非簡并的，則上面的結(jié)果就意味著，據(jù)此可知，因而有。于是，有當(dāng)時(shí)稱波函數(shù)為偶宇稱；當(dāng)時(shí)稱波函數(shù)為奇宇稱。 如果屬于能量的本征值是簡并的，特別地，這時(shí)，可以構(gòu)造兩個(gè)與之相關(guān)的波函數(shù)，據(jù)此，可知，因而具有偶宇稱；，因而具有奇宇稱。以上結(jié)果本質(zhì)上是根據(jù)哈密頓的對(duì)稱性去推知它的本征態(tài)的對(duì)稱性。如果屬于某一

8、能量的本征態(tài)是非簡并的，則該能量本征態(tài)會(huì)攜帶哈密頓算符的對(duì)稱性。如果屬于某一能量的本征態(tài)是簡并的，則并不是其中的每一個(gè)本征態(tài)都會(huì)攜帶哈密頓算符的對(duì)稱性，但總可以通過它們的某種組合使之?dāng)y帶哈密頓算符的對(duì)稱性。2.7* 一粒子在一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)的能級(jí)滿足的方程。求解：根據(jù)定態(tài)薛定諤方程的表達(dá)式(p.24,)： (2.5-3)粒子的波函數(shù)滿足的定態(tài)薛定諤方程為， 令則方程和可分別寫為 束縛態(tài)，所以都是大于零的實(shí)數(shù)，則方程和的解為 方程的解為，(時(shí)，有限)， 方程的解為， (偶宇稱)， 方程的解為，(奇宇稱)， 方程的解為，(時(shí)，有限)。再根據(jù)波函數(shù)的單值性和連續(xù)性，有偶宇稱 奇宇稱 由式/得

9、， (偶宇稱) 由式/得， (奇宇稱) 將的表達(dá)式分別代入和，利用化簡，整理得，(偶宇稱) (奇宇稱) 即為約束態(tài)的能級(jí)滿足的方程。2.8 分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能可以近似地表示為，求束縛態(tài)的能級(jí)滿足的方程。求解：根據(jù)定態(tài)薛定諤方程的表達(dá)式(p.24,)： (2.5-3)對(duì)于束縛態(tài)情況能級(jí)。在區(qū)域中，因勢(shì)能為無窮大，根據(jù)“波函數(shù)連續(xù)性條件的性質(zhì)”，波函數(shù)為，在區(qū)域中，波函數(shù)滿足方程， 其中，方程的解為，在區(qū)域中，波函數(shù)滿足方程， 其中，方程的解為，在區(qū)域中，波函數(shù)滿足方程， 其中，方程的解為，(，有限)利用波函數(shù)的單值性和連續(xù)性，有 在處， 在處， 其中， 在處， 將和式代入關(guān)系式，

10、得到 例題1. 證明：函數(shù)是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對(duì)應(yīng)的能量。解題思路：首先求解題示函數(shù)關(guān)于的二階導(dǎo)數(shù)，并將其代入線性諧振子的薛定諤方程(2.7-1)式， (2.7-1)將求出的能級(jí)和“線性諧振子的能級(jí)”表達(dá)式(2.7-8) (2.7-8)的結(jié)果加以比較，來判斷題示波函數(shù)是否滿足線性諧振子的條件。證明：首先計(jì)算題示波函數(shù)關(guān)于的一階導(dǎo)數(shù)：再來計(jì)算題示波函數(shù)關(guān)于的二階導(dǎo)數(shù)：最后得到，然后將題示波函數(shù)關(guān)于的二階導(dǎo)數(shù)代入線性諧振子的薛定諤方程(2.7-1)式 (2.7-1)的左邊，即將關(guān)系式，代入上式，而線性諧振子的薛定諤方程(2.7-1)式右邊?？梢姰?dāng)時(shí)，左邊等于右邊。根據(jù)“線性諧振子的能級(jí)”表達(dá)式 (2.7-8)，可知，則，是線性諧振子的波函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的能量為。2*. 求基態(tài)微觀線性諧振子在經(jīng)典界限外被發(fā)現(xiàn)的概率(選學(xué)內(nèi)容)。求解：基態(tài)能量為，設(shè)基態(tài)的經(jīng)典界限的位置為，則有根據(jù)課本32頁“能量所對(duì)應(yīng)的波函數(shù)”表達(dá)式(2.7-15)的第二式有，根據(jù)課本32頁“厄