考研數(shù)學(xué)一真題和答案解析

1、2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（C）【解析】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)函數(shù)異號(hào)。因此，由的圖形可得，曲線存在兩個(gè)拐點(diǎn).故選（C）.(2)設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，則 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（A）【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分

2、方程的反問(wèn)題已知解來(lái)確定微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來(lái)求解，也就是下面演示的解法.【解析】由題意可知，、為二階常系數(shù)齊次微分方程的解，所以2,1為特征方程的根，從而，從而原方程變?yōu)椋賹⑻亟獯氲?故選（A） (3) 若級(jí)數(shù)條件收斂，則 與依次為冪級(jí)數(shù)的 ( )(A) 收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)(B) 收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(C) 發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)(D) 發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【答案】（B）【分析】此題考查冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥恳?yàn)闂l件收斂，即為冪級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn)，所以的收斂半徑為1，收斂

3、區(qū)間為。而冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間還是。因而與依次為冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn).故選（B）。 (4) 設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（B）【分析】此題考查將二重積分化成極坐標(biāo)系下的累次積分【解析】先畫出D的圖形，所以，故選（B） (5) 設(shè)矩陣，若集合，則線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】，由，故或，同時(shí)或。故選（D） (6)設(shè)二次型 在正交變換為 下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ，其中 ，若 ，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ( )(A) (B) (C) (D) 【

4、答案】(A)【解析】由，故.且.所以。選（A）(7) 若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性質(zhì)，我們有且，從而，選(C) . (8)設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】 ，選(D) .二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9) 【答案】【分析】此題考查型未定式極限，可直接用洛必達(dá)法則，也可以用等價(jià)無(wú)窮小替換.【解析】方法一：（羅比達(dá)法則）方法二：（等價(jià)無(wú)窮小替換）(10) 【答案】【分析】此題考查定積分的計(jì)算，需要用奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)

5、間上的性質(zhì)化簡(jiǎn). 【解析】 (11)若函數(shù)由方程ez+xyz+x+cosx=2確定，則【答案】【分析】此題考查隱函數(shù)求導(dǎo).【解析】令，則又當(dāng)時(shí)，即.所以，因而(12)設(shè)是由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，則【答案】【分析】此題考查三重積分的計(jì)算，可直接計(jì)算，也可以利用輪換對(duì)稱性化簡(jiǎn)后再計(jì)算.【解析】由輪換對(duì)稱性，得，其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以(13) 階行列式【答案】【解析】按第一行展開(kāi)得 (14)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則【答案】 【解析】由題設(shè)知，而且相互獨(dú)立，從而 .三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

6、或演算步驟.(15)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)，若與在是等價(jià)無(wú)窮小，求的值.【答案】【解析】法一：原式（泰勒展開(kāi)法）即 (16)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的，由線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式.【答案】.【解析】設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為：令，得到，故由題意，即，可以轉(zhuǎn)化為一階微分方程，即， dxdy=8y2，兩邊同時(shí)積分可得x=-8y+c，將f0=2，代入上式可得c=4即.(17)(本題滿分10分)已知函數(shù)，曲線C：，求在曲線C上的最大方向?qū)?shù).【答案】3【解析】因?yàn)檠刂荻鹊姆较虻姆较驅(qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模.，故，模為，此題目

7、轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)在約束條件下的最大值.即為條件極值問(wèn)題.為了計(jì)算簡(jiǎn)單，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)在約束條件下的最大值.構(gòu)造函數(shù)：，得到.所以最大值為.(18)(本題滿分 10 分)（I）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明（II）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，寫出的求導(dǎo)公式.【解析】（I） （II）由題意得 (19)(本題滿分 10 分) 已知曲線L的方程為起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分.【答案】【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程，(20) (本題滿11分) 設(shè)向量組內(nèi)的一個(gè)基，.（I）證明向量組為的一個(gè)基;（II）當(dāng)k為何值時(shí)，存在非0向量在基與基下的坐標(biāo)相同，并求所有的.【答案】【解析】(I)證明： 故為的一個(gè)基.（II）由題意知，即即即，得

8、k=0 (21) (本題滿分11 分) 設(shè)矩陣相似于矩陣.(I) 求的值；（II）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣.【解析】(I) AB，可得a+3=b+2(II)的特征值時(shí)的基礎(chǔ)解系為時(shí)的基礎(chǔ)解系為A的特征值令，(22) (本題滿分11 分) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè),直到2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)的停止.記Y為觀測(cè)次數(shù)。(I)求Y的概率分布；(II)求EY【解析】(I)記p為觀測(cè)值大于3的概率，則，從而的概率分布為：， (II)：EY=n=2nPY=n=n=2n(n-1)(18)2(78)n-2=164n=2n(n-1)(78)n-2令：Sx=n=2n(n-1)xn-2 -1<x<1Sx=n=2n(n-1)xn-2=(n=2xn)''=(x21-x)''=(-1-x+11-x)''=2(1-x)3所以：EY=164S78=16(2