2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷(含答案)

1、2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽參考答案與評分細則一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分要求直接將答案寫在橫線上）1已知點P(4，1)在函數(shù)f(x)loga(xb) (b0)的圖象上，則ab的最大值是 解：由題意知，loga(4b)1，即ab4，且a0，a1，b0，從而ab4，當ab2時，ab的最大值是42函數(shù)f(x)sin(2x)在x 處的值是 解：2x2，所以f()sin3若不等式|ax1|3的解集為x |2x1，則實數(shù)a的值是 解：設(shè)函數(shù)f(x)|ax1|，則f(2) f(1)3，故a24第一只口袋里有3個白球、7個紅球、15個黃球，第二只口袋里有10個白球、6個紅球、

2、9個黑球，從兩個口袋里各取出一球，取出的球顏色相同的概率是 解：有兩類情況：同為白球的概率是，同為紅球的概率是，所求的概率是5在平面直角坐標系xOy中，設(shè)焦距為2c的橢圓1(ab0)與橢圓1有相同的離心率e，則e的值是 解：若cb，則，得ab，矛盾，因此cb，且有，解得eABCDE（第6題圖）A1B1C1D16如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線B1D與平面A1BC1交于E點記四棱錐EABCD的體積為V1，長方體ABCDA1B1C1D1的體積為V2，則的值是 （第6題圖）ABCDEOA1B1C1D1解：記四棱錐B1ABCD的體積為V如圖，DEDB1，從而V1V又VV2，所以7若實數(shù)

3、集合A31x，65y與B5xy，403僅有一個公共元素，則集合AB中所有元素之積的值是 解：因為31x×65y5xy×4032015xy若xy0，則集合A和集合B中有一組相等，則另一組也必然相等，這不合題意所以xy0，從而AB中所有元素之積的值為08設(shè)向量a(cos，sin)，b(sin，cos)向量x1，x2，x7中有3個為a，其余為b；向量y1，y2，y7中有2個為a，其余為b則xiyi的可能取值中最小的為 解：因為a·ab·b1，a·b0，所以xiyi的最小值為2（第9題圖）1220159在3×3的幻方中填數(shù)，使每行、每列及兩條

4、對角線上的三個數(shù)之和都相等如圖，三個方格中的數(shù)分別為1，2，2015，則幻方中其余6個數(shù)之和為 解：如圖，設(shè)幻方正中間的數(shù)為x，則由題意知a2012，從而對角線上三個數(shù)的和為x2011因此bx2014，c4026，d2013，ex2014（第9題圖）ecdab122015x由bexx2011，解得x這9個數(shù)的和為3×(2011)，所以幻方中其余6個數(shù)之和為201810在平面直角坐標系xOy中，設(shè)D是滿足x0，y0，xyxy19的點(x，y)形成的區(qū)域（其中x是不超過x的最大整數(shù)）則區(qū)域D中整點的個數(shù)為 解：區(qū)域D中整點的個數(shù)為1231055二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共

5、80分）11在等比數(shù)列an中，a22，q是公比記Sn為an的前n項和，Tn為數(shù)列a的前n項和若S2n2Tn，求q的值解：若q1，則ana22，a4，則S2n4n，Tn4n，S2n2Tn若q1，則an2×(1)n，a4，則S2n0，Tn4n，S2n2Tn 5分若q±1，則an2qn2，a4q2n4，從而S2n，Tn 15分由S2n2Tn，則1，q2q40，解得q綜上，q的值為和 20分ABCDP(第12題圖)E12如圖，ABC中，ABAC，點D、E分別在邊AB、AC上，且BDCEBAC的外角平分線與ADE的外接圓交于A、P兩點求證：A、P、B、C四點共圓ABCDP(第12題圖

6、)EF證明：如圖，連結(jié)PD，PE，PC因為四邊形APDE是圓內(nèi)接四邊形,所以PADPED，PAFPDE又因為AP是BAC的外角平分線，所以PADPAF，從而PEDPDE，故PDPE 10分又ADPAEP，所以BDPCEP又因為BDCE，所以BDPCEP，從而PBDPCE，即PBAPCA，所以A、P、B、C四點共圓 10分xOyO1l(第13題圖)O2P13如圖，在平面直角坐標系xOy中，圓O1、圓O2都與直線l：ykx及x軸正半軸相切若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個交點為P(2，2)，求直線l的方程解：由題意，圓心O1，O2都在x軸與直線l的角平分線上若直線l的斜率ktan，設(shè)ttan，則k圓

7、心O1，O2在直線ytx上，可設(shè)O1(m，mt)，O2(n，nt)交點P(2，2)在第一象限，m，n，t0 4分所以O(shè)1：(xm)2+(ymt)2=(mt)2，O1：(xn)2+(ynt)2=(nt)2，所以即 8分所以 m，n是方程X2(4+4t)X8=0的兩根，mn8由半徑的積(mt)(nt)2，得t2，故t 16分所以 k，直線l：yx 20分14將正十一邊形的k個頂點染紅色，其余頂點染藍色（1）當k2時，求頂點均為藍色的等腰三角形的個數(shù)；（2）k取何值時，三個頂點同色(同紅色或同藍色)的等腰三角形個數(shù)最少？并說明理由解：（1）設(shè)正十一邊形的頂點A1，A2，A3，A11，則易知其中任意三

8、點為頂點的三角形都不是正三角形以這些點為頂點的等腰三角形個數(shù)可以如此計算：以Ai(i1，2，3，11)為頂角頂點的等腰三角形有5個，這些三角形均不是等邊三角形，即當ji時，以Aj為頂角頂點的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有5×1155個 5分當k2時，設(shè)其中Am，An染成紅色，其余染成藍色以Am為頂角頂點的等腰三角形有5個，以Am為底角頂點的等腰三角形有10個；同時以Am，An為頂點的等腰三角形有3個，這些等腰三角形的頂點不同色，且共有(510)×2327個注意到僅有這些等腰三角形的三個頂點不同藍色，故所求三個頂點同為藍色的等腰三角形有552728個 10分（2）若11個頂點中k個染紅色，其余11k個染藍色則這些頂點間連線段(邊或?qū)蔷€)中，兩端點染紅色的有條，兩端點染藍色的有條，兩端點染一紅一藍的有k(11k)條并且每條連線段必屬于且僅屬于3個等腰三角形把等腰三角形分4類：設(shè)其中三個頂點均為紅色的等腰三角形有x1個，三個頂點均為藍色的等腰三角形有x2個，兩個頂點為紅色一個頂點為藍色的等腰三角形有x3個，兩個頂點為藍色一個頂點為紅色的等腰三角形有x4個，則按頂點顏色計算連線段，3x1x33×， 3x2x43×， 2x32x43×k(11k)， 由得 3(