球的表面積與體積(一)

1、假設(shè)將圓假設(shè)將圓n等分，則等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多邊形)AAAAAA(p211n3221正多邊形pC21圓正多邊形時(shí)，當(dāng)CC,Rpn2RR2R21S圓pA3 早在公元三世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽早在公元三世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍倍邊法割圓術(shù)邊法割圓術(shù)”。他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，割之彌細(xì)，所失彌小所失彌小”。這樣重復(fù)下去，就達(dá)。這樣重復(fù)下去，就達(dá)

2、到了到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣”。這是世界上最早的這是世界上最早的“極限極限”思想。思想。 當(dāng)分割的當(dāng)分割的層數(shù)不斷層數(shù)不斷增加，每增加，每一層就越一層就越接近一個(gè)接近一個(gè)圓柱體。圓柱體。OR)1( inR.,2,1,)1(22niinRRri ir設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R，它的體積只與，它的體積只與半徑半徑R有關(guān)。有關(guān)。將半球分割成將半球分割成n層，每一層都近似層，每一層都近似于圓柱形狀的于圓柱形狀的“小圓片小圓片”。這些。這些“小圓片小圓片”的體積之和就是球的的體積之和就是球的體積。體積。選第選第i層（由下而上），如

3、右圖。層（由下而上），如右圖。厚度：厚度：下底面半徑：下底面半徑：體積：體積：Rn 23211ninRnRrVii 12nVVVV半球322222212(1)1 (1)(1)1Rnnnnn3222212(1)Rnnnn32(1)( 21)16nnRn612121222)(nnnn311(1)(2)16nnVR半球1nn當(dāng) 無限變大時(shí)， 趨于0323VR半球343VR球R332RV 半球半球331RV 圓錐圓錐3RV 圓柱圓柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比例例1. 1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cmR

4、V334RV定理定理:半徑是半徑是R的球的體積的球的體積變式變式1 1：一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑外徑是是5cm,5cm,求它的內(nèi)徑求它的內(nèi)徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.142 34)25(349 . 733x3 .1149 . 73142)25(33x由計(jì)算器算得:24. 2x5 . 42 x變式變式2: 2: 有三個(gè)球有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體一球過

5、正方體的各頂點(diǎn)的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比求這三個(gè)球的體積之比.作軸截面作軸截面1.球的直徑伸長為原來的球的直徑伸長為原來的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉眢w積變?yōu)樵瓉淼膸妆兜膸妆?2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長是它的棱長是4cm,求這個(gè)球的體積求這個(gè)球的體積. 8倍倍3321.1.兩種方法兩種方法: :化整為零的思想方法和化整為零的思想方法和“分分 割割, ,求和求和, ,取極限取極限”的數(shù)學(xué)方法的數(shù)學(xué)方法. .2.2.一個(gè)觀點(diǎn)一個(gè)觀點(diǎn): :在一定條件下在一定條件下, ,化曲為直的化曲為直的 辨證觀點(diǎn)辨證觀點(diǎn). .3.3.一個(gè)公式一個(gè)公式: :半徑為半徑為R R的球的