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文檔簡介
1、江蘇省南通市2011屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分1 曲線在點(1,1)處的切線方程是 2 若(R,i為虛數(shù)單位),則ab= 3命題“若實數(shù)a滿足,則”的否命題是 命題(填“真”、“假”之一)4 把一個體積為27cm3的正方體木塊表面涂上紅漆,然后鋸成體積為1 cm3的27個小正方體,現(xiàn)從中任取一塊,則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為 5 某教師出了一份三道題的測試卷,每道題1分,全班得3分、2分、1分和0分的學生所占比例分別為30、50、10和10,則全班學生的平均分為 分6設和都是元素為向量的集合,則MN= 7 在如圖所示的算法流程圖中,若輸
2、入m = 4,n = 3,則輸出的a= 8設等差數(shù)列的公差為正數(shù),若則 9設是空間兩個不同的平面,m,n是平面及外的兩條不同直線從“mn;n;m”中選取三個作為條件,余下一個作為結(jié)論,寫出你認為正確的一個命題: (用代號表示)10定義在R上的函數(shù)滿足:,當時,下列四個不等關系:;其中正確的個數(shù)是 11在平面直角坐標系xOy中,已知A、B分別是雙曲線的左、右焦點,ABC 的頂點C在雙曲線的右支上,則的值是 12在平面直角坐標系xOy中,設點、,定義: 已知點,點M為直線上的動點,則使取最小值時點M的坐標是 13若實數(shù)x,y,z,t滿足,則的最小值為 14在平面直角坐標系xOy中,設A、B、C是圓
3、x2+y2=1上相異三點,若存在正實數(shù),使得=,則的取值范圍是 【填空題答案】1. xy2=0 2. 3. 真 4. 5. 2 6. 7. 12 8. 105 9. (或) 10. 1 11. 12. 13. 14. 二、解答題:本大題共6小題,共計90分,解答時應寫出文字說明,證明過程或演算步驟15(本小題滿分14分)如圖,平面平面,點E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點,點G是線段CO的PABCOEFG(第15題)中點,求證:(1)平面;(2)平面【證明】由題意可知,為等腰直角三角形,為等邊三角形 2分(1)因為為邊的中點,所以,因為平面平面,平面平面,平面
4、,所以面 5分PABCOEFGQ因為平面,所以,在等腰三角形內(nèi),為所在邊的中點,所以,又,所以平面;8分(2)連AF交BE于Q,連QO因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點,所以,且Q是PAB的重心,10分于是,所以FG/QO. 12分因為平面EBO,平面EBO,所以平面 14分【注】第(2)小題亦可通過取PE中點H,利用平面FGH/平面EBO證得.16(本小題滿分14分)已知函數(shù)(1)設,且,求的值;(2)在ABC中,AB=1,且ABC的面積為,求sinA+sinB的值【解】(1)=3分 由,得, 5分于是,因為,所以 7分(2)因為,由(1)知 9分因為ABC的面積為,所以,于是.
5、在ABC中,設內(nèi)角A、B的對邊分別是a,b.由余弦定理得,所以 由可得或 于是 12分由正弦定理得,所以 14分17(本小題滿分14分)在平面直角坐標系中,如圖,已知橢圓E:的左、右頂點分別為、,上、OA1A2B1B2xy(第17題)下頂點分別為、設直線的傾斜角的正弦值為,圓與以線段為直徑的圓關于直線對稱(1)求橢圓E的離心率;(2)判斷直線與圓的位置關系,并說明理由;(3)若圓的面積為,求圓的方程【解】(1)設橢圓E的焦距為2c(c>0),因為直線的傾斜角的正弦值為,所以,于是,即,所以橢圓E的離心率 4分(2)由可設,則,于是的方程為:,故的中點到的距離, 6分又以為直徑
6、的圓的半徑,即有,所以直線與圓相切 8分(3)由圓的面積為知圓半徑為1,從而, 10分設的中點關于直線:的對稱點為,則 12分解得所以,圓的方程為14分18(本小題滿分16分)如圖,實線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成,圓P和圓Q的半徑都是2km,點P在圓Q上,現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點都在圓P上的多邊形活動場地(1)如圖甲,要建的活動場地為RST,求場地的最大面積;(2)如圖乙,要建的活動場地為等腰梯形ABCD,求場地的最大面積(第17題甲)DACBQPNMRSMNPQT(第17題乙)【解】(1)如右圖,過S作SHRT于H,SRST= 2分由題意,RST在月牙形公園里,
7、RT與圓Q只能相切或相離; 4分RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形,則有RT4,SH2,當且僅當RT切圓Q于P時(如下左圖),上面兩個不等式中等號同時成立 此時,場地面積的最大值為SRST=4(km2) 6分(2)同(1)的分析,要使得場地面積最大,AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形,AD必須切圓Q于P,再設BPA=,則有 8分令,則 11分若,又時,時, 14分函數(shù)在處取到極大值也是最大值,故時,場地面積取得最大值為(km2) 16分19 (本小題滿分16分)設定義在區(qū)間x1, x2上的函數(shù)y=f(x)的圖象為C,M是C上的任意一點,O為坐標原點,設向量=,=(x,y),當實數(shù)滿
8、足x= x1+(1) x2時,記向量=+(1)定義“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x1,x2上可在標準k下線性近似”是指“k恒成立”,其中k是一個確定的正數(shù)(1)設函數(shù) f(x)=x2在區(qū)間0,1上可在標準k下線性近似,求k的取值范圍;(2)求證:函數(shù)在區(qū)間上可在標準k=下線性近似(參考數(shù)據(jù):e=2.718,ln(e1)=0.541)【解】(1)由=+(1)得到=,所以B,N,A三點共線, 2分又由x= x1+(1) x2與向量=+(1),得N與M的橫坐標相同 4分對于 0,1上的函數(shù)y=x2,A(0,0),B(1,1),則有,故;所以k的取值范圍是 6分(2)對于上的函數(shù),A(),B(), 8分則直
9、線AB的方程, 10分令,其中,于是, 13分列表如下:xem(em,em+1em)em+1em(em+1em,em+1)em+1+00增減0則,且在處取得最大值,又0.123,從而命題成立 16分20(本小題滿分16分)已知數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式;(2)對任意給定的,是否存在()使成等差數(shù)列?若存在,用分別表示和(只要寫出一組);若不存在,請說明理由;(3)證明:存在無窮多個三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形,其邊長為【解】(1)當時,;當時, 所以;綜上所述, 3分 (2)當時,若存在p,r使成等差數(shù)列,則,因為,所以,與數(shù)列為正數(shù)相矛盾,因此,當時不存在; 5分 當時,設,則,所以
10、, 7分 令,得,此時, 所以, 所以;綜上所述,當時,不存在p,r;當時,存在滿足題設.10分(3)作如下構造:,其中,它們依次為數(shù)列中的第項,第項,第項, 12分顯然它們成等比數(shù)列,且,所以它們能組成三角形由的任意性,這樣的三角形有無窮多個 14分下面用反證法證明其中任意兩個三角形和不相似:若三角形和相似,且,則,整理得,所以,這與條件相矛盾,因此,任意兩個三角形不相似故命題成立 16分 【注】1第(2)小題當ak不是質(zhì)數(shù)時,p,r的解不唯一;2. 第(3)小題構造的依據(jù)如下:不妨設,且符合題意,則公比>1,因,又,則,所以,因為三項均為整數(shù),所以為內(nèi)的既約分數(shù)且含平方數(shù)因子,經(jīng)驗證
11、,僅含或時不合,所以; 3第(3)小題的構造形式不唯一數(shù)學II(附加題)21【選做題】本題包括A,B,C,D四小題,請選定其中兩題作答,每小題10分,共計20分,(第21A題)解答時應寫出文字說明,證明過程或演算步驟A選修41:幾何證明選講自圓O外一點P引圓的一條切線PA,切點為A,M為PA的中點,過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點,且BMP=100°,BPC=40°,求MPB的大小【解】因為MA為圓O的切線,所以又M為PA的中點,所以因為,所以 5分于是在MCP中,由,得MPB=20° 10分B選修42:矩陣與變換已知二階矩陣A,矩陣A屬于特征值的一個特征向量
12、為,屬于特征值的一個特征向量為求矩陣A【解】由特征值、特征向量定義可知,A,即,得 5分同理可得 解得因此矩陣A 10分C選修44:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為以直角坐標系原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為點P為曲線C上的動點,求點P到直線l距離的最大值【解】化簡為,則直線l的直角坐標方程為 4分設點P的坐標為,得P到直線l的距離,即,其中 8分當時, 10分D選修45:不等式選講若正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求的最小值【解】因為正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,所以,5分即,當且僅當,即時,原式取最小值1 10分【必做
13、題】第22題、第23題,每題10分,共計20分 解答時應寫出文字說明,證明過程或演算步驟22在正方體中,O是AC的中點,E是線段D1O上一點,且D1EEO. A1BADCBAO(第22題)EBAB1CBAA1CBACBAC1D1(1)若=1,求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;(2)若平面CDE平面CD1O,求的值.【解】(1)不妨設正方體的棱長為1,以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系則A(1,0,0),D1(0,0,1),E, 于是,.由cos.所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為. 5分(2)設平面CD1O的向量為m=(x1,y1,z1),由m·0,m·0得 取x11,得y1z11,即m=(1,1,1) . 7分由D1EEO,則E,=.又設平面CDE的法向量為n(x2,y2,z2),由n·0,n·0.得 取x2=2,得z2,即n(2,0,) .因為平面CDE平面CD1F,所以m·n0,得2 10分23一種拋硬幣游戲的規(guī)則是:拋擲一枚硬幣,每次正面向上得1分,反面向上得2分.(1)設拋擲5次的得分為,求的分布列和數(shù)學期望E;(2)求恰好得到n分的概率【解】(1)所拋5次得分的概率
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