2011南通市二模數學試題及答案

1、江蘇省南通市2011屆高三第二次模擬考試數學試題一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1 曲線在點（1,1）處的切線方程是 2 若（R，i為虛數單位），則ab= 3命題“若實數a滿足，則”的否命題是 命題（填“真”、“假”之一）4 把一個體積為27cm3的正方體木塊表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1 cm3的27個小正方體，現從中任取一塊，則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為 5 某教師出了一份三道題的測試卷，每道題1分，全班得3分、2分、1分和0分的學生所占比例分別為30、50、10和10，則全班學生的平均分為 分6設和都是元素為向量的集合，則MN= 7 在如圖所示的算法流程圖中，若輸

2、入m = 4，n = 3，則輸出的a= 8設等差數列的公差為正數，若則 9設是空間兩個不同的平面，m，n是平面及外的兩條不同直線從“mn；n；m”中選取三個作為條件，余下一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題： （用代號表示）10定義在R上的函數滿足：，當時，下列四個不等關系：；其中正確的個數是 11在平面直角坐標系xOy中，已知A、B分別是雙曲線的左、右焦點，ABC 的頂點C在雙曲線的右支上，則的值是 12在平面直角坐標系xOy中，設點、，定義： 已知點，點M為直線上的動點，則使取最小值時點M的坐標是 13若實數x，y，z，t滿足，則的最小值為 14在平面直角坐標系xOy中，設A、B、C是圓

3、x2+y2=1上相異三點，若存在正實數，使得=，則的取值范圍是 【填空題答案】1. xy2=0 2. 3. 真 4. 5. 2 6. 7. 12 8. 105 9. （或） 10. 1 11. 12.  13.   14. 二、解答題：本大題共6小題，共計90分，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）如圖，平面平面，點E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點，點G是線段CO的PABCOEFG(第15題)中點，求證：（1）平面；（2）平面【證明】由題意可知，為等腰直角三角形，為等邊三角形 2分（1）因為為邊的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面

4、，所以面 5分PABCOEFGQ因為平面，所以，在等腰三角形內，為所在邊的中點，所以，又，所以平面；8分（2）連AF交BE于Q，連QO因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點，所以，且Q是PAB的重心，10分于是，所以FG/QO. 12分因為平面EBO，平面EBO，所以平面 14分【注】第（2）小題亦可通過取PE中點H，利用平面FGH/平面EBO證得.16（本小題滿分14分）已知函數（1）設，且，求的值；（2）在ABC中，AB=1，且ABC的面積為，求sinA+sinB的值【解】（1）=3分 由，得， 5分于是，因為，所以 7分（2）因為，由（1）知 9分因為ABC的面積為，所以，于是.

5、在ABC中，設內角A、B的對邊分別是a，b.由余弦定理得，所以  由可得或 于是 12分由正弦定理得，所以 14分17（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為、，上、OA1A2B1B2xy(第17題)下頂點分別為、設直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關于直線對稱（1）求橢圓E的離心率；（2）判斷直線與圓的位置關系，并說明理由；（3）若圓的面積為，求圓的方程【解】（1）設橢圓E的焦距為2c（c>0），因為直線的傾斜角的正弦值為，所以，于是，即，所以橢圓E的離心率 4分（2）由可設，則，于是的方程為：，故的中點到的距離， 6分又以為直徑

6、的圓的半徑，即有，所以直線與圓相切 8分（3）由圓的面積為知圓半徑為1，從而， 10分設的中點關于直線：的對稱點為，則 12分解得所以，圓的方程為14分18（本小題滿分16分）如圖，實線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點P在圓Q上，現要在公園內建一塊頂點都在圓P上的多邊形活動場地（1）如圖甲，要建的活動場地為RST，求場地的最大面積；（2）如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形ABCD，求場地的最大面積（第17題甲）DACBQPNMRSMNPQT（第17題乙）【解】（1）如右圖，過S作SHRT于H，SRST= 2分由題意，RST在月牙形公園里，

7、RT與圓Q只能相切或相離； 4分RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，則有RT4，SH2，當且僅當RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立 此時，場地面積的最大值為SRST=4（km2） 6分（2）同(1)的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，AD必須切圓Q于P，再設BPA=，則有 8分令，則 11分若，又時，時， 14分函數在處取到極大值也是最大值，故時，場地面積取得最大值為（km2） 16分19 （本小題滿分16分）設定義在區(qū)間x1， x2上的函數y=f(x)的圖象為C，M是C上的任意一點，O為坐標原點，設向量=，=(x，y)，當實數滿

8、足x= x1+(1) x2時，記向量=+(1)定義“函數y=f(x)在區(qū)間x1，x2上可在標準k下線性近似”是指“k恒成立”，其中k是一個確定的正數（1）設函數 f(x)=x2在區(qū)間0，1上可在標準k下線性近似，求k的取值范圍；（2）求證：函數在區(qū)間上可在標準k=下線性近似（參考數據：e=2.718，ln(e1)=0.541）【解】（1）由=+(1)得到=，所以B，N，A三點共線， 2分又由x= x1+(1) x2與向量=+(1)，得N與M的橫坐標相同 4分對于 0，1上的函數y=x2，A(0，0)，B(1，1)，則有，故；所以k的取值范圍是 6分（2）對于上的函數，A()，B()， 8分則直

9、線AB的方程， 10分令，其中，于是， 13分列表如下：xem(em，em+1em)em+1em(em+1em，em+1)em+1+00增減0則，且在處取得最大值，又0.123，從而命題成立 16分20(本小題滿分16分)已知數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）對任意給定的，是否存在（）使成等差數列？若存在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由；（3）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其邊長為【解】（1）當時，；當時， 所以；綜上所述， 3分 （2）當時，若存在p，r使成等差數列，則，因為，所以，與數列為正數相矛盾，因此，當時不存在； 5分 當時，設，則，所以

10、， 7分 令，得，此時， 所以， 所以；綜上所述，當時，不存在p，r；當時，存在滿足題設.10分（3）作如下構造：，其中，它們依次為數列中的第項，第項，第項， 12分顯然它們成等比數列，且，所以它們能組成三角形由的任意性，這樣的三角形有無窮多個 14分下面用反證法證明其中任意兩個三角形和不相似：若三角形和相似，且，則，整理得，所以，這與條件相矛盾，因此，任意兩個三角形不相似故命題成立 16分 【注】1第（2）小題當ak不是質數時，p，r的解不唯一；2. 第（3）小題構造的依據如下：不妨設，且符合題意，則公比>1，因，又，則，所以，因為三項均為整數，所以為內的既約分數且含平方數因子，經驗證

11、，僅含或時不合，所以； 3第（3）小題的構造形式不唯一數學II（附加題）21【選做題】本題包括A，B，C，D四小題，請選定其中兩題作答，每小題10分，共計20分，（第21A題）解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且BMP=100°，BPC=40°，求MPB的大小【解】因為MA為圓O的切線，所以又M為PA的中點，所以因為，所以 5分于是在MCP中，由，得MPB=20° 10分B選修42：矩陣與變換已知二階矩陣A，矩陣A屬于特征值的一個特征向量

12、為，屬于特征值的一個特征向量為求矩陣A【解】由特征值、特征向量定義可知，A，即，得 5分同理可得 解得因此矩陣A 10分C選修44：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值【解】化簡為，則直線l的直角坐標方程為 4分設點P的坐標為，得P到直線l的距離，即，其中 8分當時， 10分D選修45：不等式選講若正數a，b，c滿足a+b+c=1，求的最小值【解】因為正數a，b，c滿足a+b+c=1，所以，5分即，當且僅當，即時，原式取最小值1 10分【必做

13、題】第22題、第23題，每題10分，共計20分 解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟22在正方體中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1EEO. A1BADCBAO（第22題）EBAB1CBAA1CBACBAC1D1（1）若=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值；（2）若平面CDE平面CD1O，求的值.【解】(1)不妨設正方體的棱長為1，以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系則A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E， 于是，.由cos.所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為. 5分（2）設平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m·0，m·0得 取x11，得y1z11，即m=(1，1，1) . 7分由D1EEO，則E，=.又設平面CDE的法向量為n(x2，y2，z2)，由n·0，n·0.得 取x2=2，得z2，即n(2，0，) .因為平面CDE平面CD1F，所以m·n0，得2 10分23一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）設拋擲5次的得分為，求的分布列和數學期望E；（2）求恰好得到n分的概率【解】（1）所拋5次得分的概率