選修22推理與證明單元測試題好經(jīng)典

1、推理與證明單元測試題考試時(shí)間120分鐘 總分150分一選擇題（共50分）1.下面幾種推理過程是演繹推理的是 ()A在數(shù)列an中，a11，an(an1)(n2)，由此歸納出an的通項(xiàng)公式B某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人數(shù)超過50人C由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)D兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由此若A，B是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角，則AB180°2.(2012·江西高考)觀察下列事實(shí)：|x|y|1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|y|3的不同

2、整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為()A76 B80 C86 D923. 觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，則72012的末兩位數(shù)字為（） A01 B43 C07 D494. 以下不等式（其中）正確的個(gè)數(shù)是（ ） A0 B1 C2 D35.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有，從而得其離心率為，此類橢圓稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推出“黃金雙曲線”的離心率為（ ）A B C D第2件第4件第3件第5件第1件6.如圖，在一次珠寶展覽會(huì)上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成的

3、正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成的正六邊形，以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,依此推斷第8件首飾上應(yīng)有（ ）顆珠寶。 A100 B110 C120 D1307.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)8.把正數(shù)排列成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，現(xiàn)把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一

4、列，得到一個(gè)數(shù)列an，若an=1625，則n=（ ）A833 B820 C832 D539.如圖所示，面積為的平面凸四邊形的第條邊的邊長記為，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)到第條邊的距離記為，若，則 ,類比以上性質(zhì),體積為的三棱錐的第個(gè)面的面積記為, 此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到第個(gè)面的距離記為,若, 則 ( ) A. B. C. D. 10. 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若存在非零實(shí)數(shù)t，使得對(duì)于任意xC（CA）有x+tA，使得 f（x+t）f（x）恒成立，則稱f（x）為C上的t度低調(diào)函數(shù)已知定義域?yàn)?，+）的函數(shù)f（x）=，且f（x）為0，+）上的6度低調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A B。 C D二填空題（共

5、25分）11.用反證法證明命題“存在a、bR，a2+b2<2（ab1）”，正確的反設(shè)為_12. 觀察下列等式：可以推測：132333n3_ (nN*，用含n的代數(shù)式表示)13. 若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對(duì)D上的任意n個(gè)值x1，x2，xn，總滿足f（x1）+f（x2）+f（xn）f（），則稱f（x）為D上的凸函數(shù)已知函數(shù)y=sinx在區(qū)間（0，）上是“凸函數(shù)”，則在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 _14. 在面積為S的正三角形ABC中，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到離邊BC的距離為ABC高的時(shí)，EFB的面積取得最大值為類比上面的結(jié)論

6、，可得，在各棱長相等的體積為V的四面體ABCD中，E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作平面EFG平面BCD，分別交AC、AD于點(diǎn)F、G，則四面體EFGB的體積的最大值等于_V15.以下是拉面師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間對(duì)應(yīng)的線段，對(duì)折后（坐標(biāo)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻地拉成1個(gè)單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標(biāo)都變成，原來的坐標(biāo)變成1，等等）.那么原閉區(qū)間上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的原坐標(biāo)是 ；原閉區(qū)間上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)， 在第次操作完成后（），恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的原坐標(biāo)為 .（用

7、含n的式子表示）10三解答題（共75分）16. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：+（n1，且nN*）17. 用分析法證明：若a0，則18. 已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)19. 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起開始，每一項(xiàng)的平方與它前一項(xiàng)的平方的差都是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公方差（1）證明：一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列不可能同時(shí)也是等方差數(shù)列；（2）若正項(xiàng)數(shù)列an是首項(xiàng)為、公方差為2的等方差數(shù)列，且存在實(shí)數(shù)使得等式成立，求，并證明等式成立。20. 如圖1所示為拋物線的一個(gè)幾何性質(zhì)：過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)

8、F任作直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則在x軸上存在定點(diǎn)M（1，0），使直線MF始終是AMB的平分線；如圖2所示，對(duì)于橢圓，設(shè)它的左焦點(diǎn)為F；請(qǐng)寫出一個(gè)類似地性質(zhì)；并證明21.如圖，、 是曲線：上的個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)（）在軸的正半軸上，且是 正三角形（是坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）嘗試用表示點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出的值，繼而寫出、的值；（3）猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.參考答案一選擇題（共50分）1.下面幾種推理過程是演繹推理的是 (D)A在數(shù)列an中，a11，an(an1)(n2)，由此歸納出an的通項(xiàng)公式B某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人數(shù)超過50人C由平面

9、三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)D兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由此若A，B是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角，則AB180°2.(2012·江西高考)觀察下列事實(shí)：|x|y|1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為(B)A76 B80C86 D923. 觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，則72012的末兩位數(shù)字為（A） A01 B43 C07 D49分析：通過觀察前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)末兩位數(shù)字分別為49、43、01、

10、07、，以4為周期出現(xiàn)重復(fù)，由此不難求出72012的末兩位數(shù)字解：根據(jù)題意，得72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607，發(fā)現(xiàn)：74k2的末兩位數(shù)字是49，74k1的末兩位數(shù)字是43，74k的末兩位數(shù)字是01，74k+1的末兩位數(shù)字是49，（k=1、2、3、4、），2012=503×4，72012的末兩位數(shù)字為01故選A4. 以下不等式（其中）正確的個(gè)數(shù)是（ C ） A0 B1C2 D35.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有，從而得離心率為，此類橢圓稱為“黃金橢圓”，類比

11、“黃金橢圓”，可推出“黃金雙曲線”的離心率為（ B ） ABC D分析：類比“黃金橢圓”，在黃金雙曲線中，當(dāng)時(shí)，|BF|2+|AB|2=|AF|2，由此可知b2+c2+c2=a2+c2+2ac，整理得c2=a2+ac，即e2e1=0，解這個(gè)方程就能求出黃金雙曲線的離心率e解：類比“黃金橢圓”，在黃金雙曲線中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，當(dāng)時(shí)，|BF|2+|AB|2=|AF|2，b2+c2+c2=a2+c2+2ac，b2=c2a2，整理得c2=a2+ac，e2e1=0，解得 ，或 （舍去）故黃金雙曲線的離心率6.如圖，在一次珠寶展覽會(huì)上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶

12、, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第8件首飾上應(yīng)有（C ）顆珠寶。第2件第4件第3件第5件第1件 A100 B110C120 D1307.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是(B)A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析：選B依題意，就每組整數(shù)對(duì)的和相同的分為一組，不難得知第n組整數(shù)對(duì)的和為n1，且有n個(gè)整數(shù)

13、對(duì)，這樣的前n組一共有個(gè)整數(shù)對(duì)，注意到<60<，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組(每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組)的第5個(gè)位置，結(jié)合題意可知每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組中的各對(duì)數(shù)依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)是(5,7)8.把正數(shù)排列成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，現(xiàn)把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列an，若an=1625，則n=（ A ）A833 B820C832 D539.如圖所示，面積為的平面凸四邊形的第條邊的邊長記為，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)到第條邊的距離記為，若，

14、則 ,類比以上性質(zhì),體積為的三棱錐的第個(gè)面的面積記為, 此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到第個(gè)面的距離記為,若, 則 ( B ) A. B. C. D. 10. 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若存在非零實(shí)數(shù)t，使得對(duì)于任意xC（CA）有x+tA，使得 f（x+t）f（x）恒成立，則稱f（x）為C上的t度低調(diào)函數(shù)已知定義域?yàn)?，+）的函數(shù)f（x）=，且f（x）為0，+）上的6度低調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（D）A B。 C D二填空題（共25分）11.用反證法證明命題“存在a、bR，a2+b2<2（ab1）”，正確的反設(shè)為任意a，bR，a2+b22（ab1）12. 觀察下列等式：可以推測：132333n3

15、_n2(n1)2 (nN*，用含n的代數(shù)式表示) 解析：第二列等式右邊分別是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，與第一列等式右邊比較即可得，132333n3(123n)2n2(n1)2.答案：n2(n1)213. 若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對(duì)D上的任意n個(gè)值x1，x2，xn，總滿足f（x1）+f（x2）+f（xn）f（），則稱f（x）為D上的凸函數(shù)已知函數(shù)y=sinx在區(qū)間（0，）上是“凸函數(shù)”，則在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 14. 在面積為S的正三角形ABC中，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFBC，交A

16、C于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到離邊BC的距離為ABC高的時(shí)，EFB的面積取得最大值為類比上面的結(jié)論，可得，在各棱條相等的體積為V的四面體ABCD中，E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作平面EFG平面BCD，分別交AC、AD于點(diǎn)F、G，則四面體EFGB的體積的最大值等于V解答：解：根據(jù)幾何體和平面圖形的類比關(guān)系，三角形的邊應(yīng)與四面體中的各個(gè)面進(jìn)行類比，而面積與體積進(jìn)行類比，中位線與中截面進(jìn)行類比：在面積為S的正三角形ABC中，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到離邊BC的距離為ABC高的時(shí)，EFB的面積取得最大值為類比上面的結(jié)論，可得，在各棱條相等的體積為V的四面體ABCD中，E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作平面EFG平面BCD，分別交A

17、C、AD于點(diǎn)F、G，設(shè)AE=xAB（0x1），則四面體EFGB的體積V1=x2（1x）V=xx（22x）VV=，最大值等于V四面體EFGB=V四面體AEFG=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考察了立體幾何和平面幾何的類比推理，一般平面圖形的邊、面積分別于幾何體中的面和體積進(jìn)行類比，從而得到結(jié)論15.以下是面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間對(duì)應(yīng)的線段，對(duì)折后（坐標(biāo)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻地拉成1個(gè)單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標(biāo)都變成，原來的坐標(biāo)變成1，等等）.那么原閉區(qū)間上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)

18、的坐標(biāo)是 ；原閉區(qū)間上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)， 在第次操作完成后（），恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 .（用含n的式子表示）10答案：；為中的所有奇數(shù).三解答題（共75分）16. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：+（n1，且nN*）證明：（1）n=2時(shí)，左邊=，不等式成立；（2）假設(shè)n=k（k1，且kN*）時(shí)結(jié)論成立，即+則n=k+1時(shí)，左邊=+=+=即n=k+1時(shí)結(jié)論成立綜上，+（n1，且nN*）17. 用分析法證明：若a0，則證明：a0，要證，只要證 +4+4+2（）+4，即證 2 （）只要證4（ ）2（+2），即證2由基本不等式可得 2 成立，故原不等式成立18. 已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)證明假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)閍bcd1，所以(ab)(cd)1，又(ab)(cd)acbdadbcacbd>1，這與上式相矛盾，所以a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)19. 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起開始，每一項(xiàng)的平方與它前一項(xiàng)的平方的差都是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公方差（1）證明：一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列不可能同時(shí)也是等方差數(shù)列；（2）若正項(xiàng)數(shù)列an是首項(xiàng)為、公方差為2的等方差數(shù)列，且存在實(shí)數(shù)使得等式都成立，求，并證明等式成立。解：（1）若數(shù)列an