金融工程二叉樹(shù)定價(jià)方法

1、安徽工程大學(xué)AnHui polytechnic university 金融工程實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)題目 二叉樹(shù)定價(jià)方法 專業(yè)班級(jí)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（132班） 姓名： 丁子凡 學(xué)號(hào)： 3130801201 二叉樹(shù)定價(jià)方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告1. 1 實(shí)驗(yàn)概述   本實(shí)驗(yàn)首先介紹了二叉樹(shù)方法的來(lái)源和主要理論基礎(chǔ)，然后給出期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)方法的基本過(guò)程和MATLAB7. 0實(shí)現(xiàn)的過(guò)程。1. 2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?#160; (1)了解二叉樹(shù)的定價(jià)機(jī)理; (2)掌握用MATLAB7. 0生成股票價(jià)格的二叉樹(shù)格子方法;&

2、#160;(3)掌握歐式期權(quán)和美式期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)方法。1. 3 實(shí)驗(yàn)工具  MATLAB 7. 0。1. 4 理論要點(diǎn)  構(gòu)造二叉樹(shù)圖(Binomial Tree)是期權(quán)定價(jià)方法中最為常見(jiàn)的一種。這個(gè)樹(shù)圖表示了在期權(quán)有效期內(nèi)股票價(jià)格可能遵循的路徑。二叉樹(shù)定價(jià)方法與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論是緊密聯(lián)系的。Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了構(gòu)造離散的風(fēng)險(xiǎn)中性概率可以給期權(quán)定價(jià)，在此基礎(chǔ)上他們給出了二叉樹(shù)定價(jià)方法。（1

3、）一個(gè)簡(jiǎn)單的例子       假設(shè)當(dāng)前(3月份)股票的價(jià)格So =50元，月利率是25%。 4月份股票價(jià)格有兩種可能:S高=100元，S低=25元。有一份看漲期權(quán)合約，合約約定在4月份可以以50元價(jià)格買進(jìn)一股股票。現(xiàn)在考慮一個(gè)投資組合，進(jìn)行幾項(xiàng)操作:以價(jià)格C賣出3份看漲期權(quán)合約;以50元購(gòu)入2股股票;以25%的月利率借人40元現(xiàn)金，借期為一個(gè)月。 根據(jù)上述組合，我們可以得到以下到期收益分布表，如表1. 1所示。表1.1 投資組合的到期收益分布表  三月份 

4、                 四月份 S低=25元          S高=100元  賣出3份看漲期權(quán)合約    3C           0    &#

5、160;            -150 買人兩股股票              -100          50            &

6、#160;    200 借人現(xiàn)金                    40           -50               &#

7、160;-50 總計(jì)                           0               0       

8、0;          0 由一價(jià)定律3C-100+40=0，可得C= 20元，即為期權(quán)的價(jià)格。這個(gè)例子說(shuō)明，可以用一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的方法為期權(quán)定價(jià)，唯一需要做的是假設(shè)對(duì)投資者而言不存在套利機(jī)會(huì)。我們可以通過(guò)某種方式構(gòu)造一個(gè)股票和期權(quán)的組合，使得在4月份該組合的價(jià)值是確定的。于是我們可以說(shuō)該組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，它的收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。二叉樹(shù)方法正是基于上述思想構(gòu)造了二項(xiàng)分布下的風(fēng)險(xiǎn)中性概率。（2）二叉樹(shù)模型  考慮一個(gè)不支付紅利的股票期權(quán)價(jià)格估值。我們把期權(quán)的有效期分為

9、很多很小的時(shí)間間隔 t。假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)股票價(jià)格從開(kāi)始的價(jià)格S以概率p上升到Su,以概率1-p下降到Sd，其中，u>1,O<d<l。也就是說(shuō)在任何一個(gè)時(shí)期，股票都有兩個(gè)可能的價(jià)值，如圖1. 1所示。                 Su4圖1. 1股票價(jià)值變化的可能性         &

10、#160;        圖1. 2 二叉樹(shù)模型例如，我們假定將期權(quán)的有效期分成4個(gè)時(shí)期，在任何一個(gè)時(shí)期，股票都有兩種可能的價(jià)值，即每個(gè)時(shí)間段都假定是一個(gè)兩狀態(tài)過(guò)程。當(dāng)N=4時(shí)，我們有以下結(jié)點(diǎn)圖1. 2。在風(fēng)險(xiǎn)中性概率Q下，P= 且有，其中fu和fd是在t期后的期權(quán)可能的價(jià)格分布，分別為期權(quán)價(jià)格高點(diǎn)和低點(diǎn)。令u=1/d，根據(jù)股票回報(bào)率的方差s，我們有 和Ds若每個(gè)股票價(jià)格路徑的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N+1，那么歐式看漲期權(quán)的到期收益的樣本路徑為： ，j=0,1.N向后遞歸可得：相應(yīng)歐式看跌期權(quán)的到期收益表

11、示: ，j=0,1.N美式看漲期權(quán)的到期收益與歐式看漲期權(quán)是一致的，因此我們下面僅考慮美式看跌期權(quán)的格子(Lattice):  ，j=0,1.N向后遞歸可得: 其中 i=N-1，N-2，0；j=0,1,i1. 5 實(shí)驗(yàn)過(guò)程   我們首先給出歐式期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)的MATLAB代碼，然后給出美式期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)的代碼。1. 5. 1 歐式看漲期權(quán)（1）歐式看漲期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià) 下面的函數(shù)LatticeEurCall( )給出了利用二叉樹(shù)的方法給歐式看漲期權(quán)定價(jià)：%歐式看漲期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)價(jià):

12、0;%LatticeEurCall.m function price, lattice=LattceEurCall(SO,E,r,T,sigma, N) %S0:股票現(xiàn)價(jià),E：執(zhí)行價(jià)格,r：利率,T:期權(quán)的有效期限,sigma：波動(dòng)率，N：結(jié)點(diǎn)數(shù) deltaT=T/N；   %日期步長(zhǎng) u=exp(sigma*sqrt(deltaT); d=1/u; p=(exp(r*deltaT)/(u-d);    %鳳險(xiǎn)中性概率 lat

13、tice=zeros(N+ 1, N+1) for j=0,N   lattice(N+1,j+1)=max(0,S0*(uj)*(d(N-j)-E); end for i=N-1:-1:0   for j=0:i      lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*(p* lattice(i+2,j+2)+(1-p)* lattice(i+2,j+1);

14、   end end price= lattice(1,1);假設(shè)存在有效期為1年的歐式看漲期權(quán)，股票初始價(jià)格為50，利率為0. 03，波動(dòng)率為0. 2，執(zhí)行價(jià)格為40，且令結(jié)點(diǎn)數(shù)N為10，在命令窗口中輸人: price, lattice=LatticeEurCall(50,40，0. 03，1，0. 2，10) 就可以得到一個(gè)以下三角矩陣表示二叉樹(shù)的格子以及歐式看漲期權(quán)的價(jià)格11. 614 5，如圖1. 3所示。 圖1.3 三角矩陣表

15、示的二叉樹(shù)格子 （2）歐式看漲期權(quán)的二叉樹(shù)的收斂性質(zhì) Gox, Ross & Rubinstein (1979)證明了二叉樹(shù)收斂于Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。 取當(dāng)前時(shí)刻為t一t，在給定參數(shù)p, u和d的條件下將二叉樹(shù)公式:  在(S, t)處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，可以得到: 當(dāng)t0時(shí)，二叉樹(shù)模型收斂于Black-Scholes偏微分方程。下面給出一個(gè)二叉樹(shù)收斂的直觀結(jié)果，給出代碼CompLatticeBls. m。%二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)的收斂性質(zhì) %Comp

16、LatticeBls. m S0=50; E=50;     %執(zhí)行價(jià)格 r=0.1;     %年利率 sigma=0.4; %波動(dòng)率 T=5/12；  %有效期限為5個(gè)月 N=50； BlasC=blsprice(S0,E,r,T,sigma); LatticeC=zeros)1,N); for i=1:N   Lattic

17、eC(i)=LatticeEurCall(S0,E,r,T,sigma,i); end plot(1:N,ones(1,N)*BlsC); hold on; plot(1:N,LatticeC); xlabel('N') ylabel('二叉樹(shù)價(jià)格'） 運(yùn)行CompLatticeBls.m，可以得到圖1. 4；圖1.4 二叉樹(shù)的收斂性質(zhì)從圖1. 4可以看出，隨著區(qū)間長(zhǎng)度的縮小，二叉樹(shù)定價(jià)收斂于B一S公式確定的價(jià)格。1. 5. 2 歐式

18、看跌期權(quán)   與歐式看漲期權(quán)類似，我們只需將歐式看漲期權(quán)的代碼稍做改動(dòng)即可。%歐式看跌期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià) %LatticeEurPut.m functionprice,lattice=LatticeEurPut(S0,E,r,T,sigma,N) %S0：股票現(xiàn)價(jià)，E：執(zhí)行價(jià)格，r：年率，T：期權(quán)的有效期限，sigma：波動(dòng)率，N：結(jié)點(diǎn)數(shù) deltaT=T/N；  %日期步長(zhǎng) u=exp(sigma*sqrt(deltaT); d=1/u; p=(exp(r*deltaT)-d

19、)/(u-d); Lattice=zeros(N+1,N+1）； for j= 0:N    lattice(N+1,j+1)=max(0,E-S0*(uj)*(d(N-j); end for i=N-1:-1:0   for j =0:i        lattice (i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*   &

20、#160;       (p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1);   endend price=lattice(1,1);1. 5. 3 美式看跌期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)   根據(jù)美式看跌期權(quán)的遞歸公式: 其中i= N-1,N-2,0； j=0，1，i 可以編寫一下代碼：%美式看跌期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià) %LatticeAmPut.m Functionpr

21、ice,lattice=LatticeAmPut(S0,E,r,T,sigma,N0 %S0股票現(xiàn)價(jià)，E：執(zhí)行價(jià)格，r：利率期權(quán)的有效期限，sigma：波動(dòng)率，N：結(jié)點(diǎn)數(shù) deltaT=T/N;  %日期步長(zhǎng) u=exp(sigma*sqrt(deltaT); d=1/u; p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j= 0;N;     Lattice(N+1,j+1)=

22、60;max(0,E-S0*uj)*(d(N-j); end for i=N-1:-1:0   for j =0:i         lattice (i+1,j+1)=max(E-S0*uj*d(i-j),exp(-r*deltaT)*           (p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,