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1、計(jì)算題第1題 (3.0) 分 計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)1). 當(dāng)時,按通常方法求偏導(dǎo)數(shù) 2). 當(dāng)時,按定義求偏導(dǎo)數(shù),.第2題 (3.0) 分 解 易知,此內(nèi)接長方體的六個面必分別平行于坐標(biāo)平面。設(shè)此內(nèi)接最大長方體在第一象限中的坐標(biāo)為,由對稱性可知該長方體的體積為,從而問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件下的最值問題。設(shè)輔助函數(shù)為 , , 則有 .從中可得出唯一解 , 。根據(jù)幾何性質(zhì)不難推知,該橢球面之內(nèi)接長方體在第一象限的頂點(diǎn)為時達(dá)到最大體積 第3題 (3.0) 分 解 利用極坐標(biāo)變換第4題 (3.0) 分 解 (1) 注意到柯西不等式, 。(2)由于 , ,可知 . 采用極坐標(biāo),可得.由此知 , 利用題(1),有 ,
2、 (2) 因?yàn)?,所以 , 。 .將曲線用參數(shù)式表示,即令 , ,且取順時針方向?yàn)檎?,可?第5題 (4.0) 分 解 用軸上直線段, 使上半圓周和直線段構(gòu)成封閉曲線. 設(shè), .有.于是,由格林公式知=.其中在直線段上, 有, , 則.因此 .第6題 (3.0) 分 由于 , , , , 于是, .第7題 (3.0) 分 解 設(shè)長,寬,高分別為,則問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最大值,聯(lián)系方程為.設(shè)輔助函數(shù)為,則有,解方程組得到,因而最大體積為.第8題 (3.0) 分 解 在平面上的投影區(qū)域?yàn)? 于是第9題 (3.0) 分 解 不妨設(shè)該可微函數(shù)為,則按定義可得 ,由此知. 從而又得 .聯(lián)系到上面第一式,有
3、或 ,從而 .第10題 (3.0) 分 解 對原方程兩端對求導(dǎo),可得 ,從而知第11題 (3.0) 分 解 將代人參數(shù)方程,得點(diǎn),該曲線的切向量為T=(, 于是得切線方程為 法平面方程為 =0,即 第12題 (3.0) 分 解 (1) 注意到 , , 故兩個累次極限均為0,但是, 所以重極限不存在.(2) 注意到 , , 故兩個累次極限不存在. 此外,因?yàn)?, 所以.第13題 (3.0) 分 解 先對積分后對積分.由分部積分法, 知 .第14題 (3.0) 分 解 段:直線方程 ,.段:直線方程 ,。段:直線方程 ,段:直線方程 ,于是有,=0 .第15題 (4.0) 分 解 (1)令,則D變
4、成,且積分成為( (2) 令,則D變成,且原積分成為第16題 (3.0) 分 解 由得 ,從而 。注意到該曲面上的點(diǎn)關(guān)于平面對稱,且其上半部分在平面上的投影為區(qū)域,從而有 .第17題 (4.0) 分 解 對于圓錐面,則 ,在平面上投影區(qū)域?yàn)椋?,于?第18題 (3.0) 分 解 曲面方程表示為 ,于是所求面積S=第19題 (3.0) 分 解 曲面S1取負(fù)側(cè),而投影區(qū)域?yàn)镈1:,于是應(yīng)用極坐標(biāo)可得,曲面S2取正側(cè),而投影區(qū)域?yàn)镈2:2,于是應(yīng)用極坐標(biāo)可得,于是, .第20題 (4.0) 分 解 設(shè),因?yàn)? 則是某函數(shù)的全微分.且 .第21題 (3.0) 分 解 設(shè),則 原式 第22題
5、 (3.0) 分 解 這里是以和 為自變量的復(fù)合函數(shù), 它可寫成如下形式, , .由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知.于是 , 第23題 (3.0) 分 解 設(shè). 由于在全空間上處處連續(xù), 在處 于是, 得切平面方程為,即 .法線方程為. 第24題 (3.0) 分 解 因?yàn)閰^(qū)域?yàn)橹鶢顓^(qū)域,被積函數(shù)中第二項(xiàng)為,所以用柱坐標(biāo)法比較方便 .于是, . 利用洛必達(dá)法則, 有.第25題 (4.0) 分 解. 因?yàn)? 所以, ,其中 , , 由此知在處可微.證明題第26題 (4.0) 分 證明 對方程兩邊分別對和求偏導(dǎo)數(shù),有,分別解得 ,于是,得到 第27題 (4.0) 分 證 對于復(fù)合函數(shù) ,由于 ,=+,因此當(dāng)時,與無關(guān),即在極坐標(biāo)系里只是的函數(shù).第28題 (4.0) 分 證明 由于
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