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文檔簡介

1、黑體普朗克公式推導1 空腔內的光波模式數(shù)在一個由邊界限制的空間V內，只能存在一系列獨立的具有特定波矢的平面單色駐波。這種駐波稱為電磁波的模式或光波模式，以為標志。設空腔為立方體，如下圖圖1 立方體空腔沿三個坐標軸方向傳播的波分別應滿足的駐波條件是 (1)式中m、n、q為正整數(shù)。將代入(1)式中，有 則在x方向上，相鄰兩個光波矢量的間隔為： 同理，相鄰兩光波矢在三個方向的間隔為： (2)因此每個波矢在波矢空間所占的體積元為 (3)圖2 波矢空間在波矢空間中，處于和之間的波矢對應的點都在以原點為圓心、為半徑、為厚度的薄球殼內，這個球殼的體積為 (4)式中、。根據(1)式的駐波條件，的三個分量只能取

2、正值，因此和之間的、可以存在于V中的光波模式在波矢空間所占的體積只是上述球殼的第一卦限，所以 (5)由(3)式已知每個光波矢的體積元，則在該體積內的光波模式數(shù)為 (6)式中乘以2是因為每個光波矢量都有兩個可能的偏振方向，因此光波模式數(shù)是光波矢量數(shù)的2倍。由于，上式可以用波長形式表示，即在體積為V的空腔內，波長間隔的光波模式數(shù)為： (7)2 黑體輻射公式黑體輻射是黑體溫度T和輻射場波長的函數(shù)。可用單色能量密度來描述，其定義為：在單位體積內，波長附近的單位波長間隔中的電磁輻射能量，量綱為Jm-4。根據量子化假設和玻色-愛因斯坦統(tǒng)計規(guī)律，在溫度T的熱平衡情況下，黑體輻射分配到腔內每個模式上的平均能量

3、為 (8)因此單色能量密度為 (9)即如在空腔上有一單位面積的開口，則在單位時間，半球空間輻射到此單位面積的能量為附錄1。按照(9)式，從黑體腔上的開口向半球空間輻射出的單色能量為 (10)這就是溫度T的黑體的光譜輻出度公式。附錄1對于作用在如圖1的空腔表面的駐波，設垂直于面積A，且立體角為dW的方向上，光通量（單位時間通過的波的能量）為I和-I，如圖3。圖3 設光速為c，光運動單位距離的時間為1/c，則在立體角內的光能密度（單位體積的光能量）P為 (1)在諧振腔內，光輻射強度是各向同性的，因此對與面積A法線夾角為q的入射光，光通量仍為I，而該方向的通量為 (2)因此在整個2p半球空間，一個小面積上通過的光通量如圖4圖4 作用在一個小面積上的所有方向的光輻射則在面積A上的總光通量為 將(1)代入有 (3)因為腔內各方向的輻射是均勻分布的，所以任意方向立體角dW的能量密度P與腔內的總能量密度r

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