高等數(shù)學(xué)二重積分講義試題答案

1、第七章 多元函數(shù)積分學(xué)§7.1 二重積分(甲) 內(nèi)容要點(diǎn)一、在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問題模型I：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在 上連續(xù)，則模型II：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù) 則 關(guān)于二重積分的計(jì)算主要根據(jù)模型I或模型II，把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計(jì)算，對于比較復(fù)雜的區(qū)域D如果既不符合模型I中關(guān)于D的要求，又不符合模型II中關(guān)于D的要求，那么就需要把D分解成一些小區(qū)域，使得每一個(gè)小區(qū)域能夠符合模型I或模型II中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個(gè)小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計(jì)算

2、。在直角坐標(biāo)系中兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D，然后根據(jù)D再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。二、在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對進(jìn)行積分，然后再對進(jìn)行積分，由于區(qū)域D的不同類型，也有幾種常用的模型。模型I 設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。則 模型II 設(shè)有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。則 （乙）典型例題一、二重積分的計(jì)算例1 計(jì)算，其中D由y=x,y=1和y軸所圍區(qū)域解： 如果那么先對求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累次積分。這時(shí)先對x積分，當(dāng)作常數(shù)處理就可以了。原式=例2 計(jì)算 解：原式= 例3 求 解一： 解二： 由積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)的奇偶性可知二、交換積分的順序例1 交換解 原式=其中D由和以及所圍的區(qū)域由 因此按另一順序把二重積分化為累次積分對三塊小區(qū)域得原式例2 設(shè)證明：交換積分次序令 三、二重積分在幾何上的應(yīng)用1、求空間物體的體積例1 求兩個(gè)底半徑為R的正交圓柱面所圍立體的體積解 設(shè)兩正交圓柱面的方程為，它們所圍立體在第一卦限中的那部分體積其中D為 因此 而整個(gè)立體體積由對稱性可知 例2 求球面所圍（包含原點(diǎn)那一部分）的