高一數(shù)學(xué)函數(shù)的定義域與值域的常用方法

1、高一數(shù)學(xué)求函數(shù)的定義域與值域的常用法一：求函數(shù)解析式1、換元法：題目給出了與所求函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)表達(dá)式，可將函數(shù)用一個(gè)變量代換。例1. 已知，試求。解：設(shè)，則，代入條件式可得：，t1。故得：。說(shuō)明：要注意轉(zhuǎn)換后變量圍的變化，必須確保等價(jià)變形。2、構(gòu)造程組法：對(duì)同時(shí)給出所求函數(shù)及與之有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的條件式，可以據(jù)此構(gòu)造出另一個(gè)程，聯(lián)立求解。例2. （1）已知，試求；（2）已知，試求；解：（1）由條件式，以代x，則得，與條件式聯(lián)立，消去，則得：。（2）由條件式，以x代x則得：，與條件式聯(lián)立，消去，則得：。說(shuō)明：本題雖然沒(méi)有給出定義域，但由于變形過(guò)程一直保持等價(jià)關(guān)系，故所求函數(shù)的定義域由解析式確定

2、，不需要另外給出。例4. 求下列函數(shù)的解析式：（1）已知是二次函數(shù)，且，求；（2）已知，求，；（3）已知，求；（4）已知，求?！绢}意分析】（1）由已知是二次函數(shù)，所以可設(shè)，設(shè)法求出即可。（2）若能將適當(dāng)變形，用的式子表示就容易解決了。（3）設(shè)為一個(gè)整體，不妨設(shè)為，然后用表示，代入原表達(dá)式求解。（4），同時(shí)使得有意義，用代替建立關(guān)于，的兩個(gè)程就行了。【解題過(guò)程】設(shè)，由得，由，得恒等式，得。故所求函數(shù)的解析式為。（2），又。（3）設(shè)，則所以。（4）因?yàn)?用代替得 解式得?！绢}后思考】求函數(shù)解析式常見(jiàn)的題型有：（1）解析式類(lèi)型已知的，如本例，一般用待定系數(shù)法。對(duì)于二次函數(shù)問(wèn)題要注意一般式，頂點(diǎn)式和標(biāo)

3、根式的選擇；（2）已知求的問(wèn)題，法一是配湊法，法二是換元法，如本例（2）（3）；（3）函數(shù)程問(wèn)題，需建立關(guān)于的程組，如本例（4）。若函數(shù)程中同時(shí)出現(xiàn)，則一般將式中的用代替，構(gòu)造另一程。特別注意：求函數(shù)的解析式時(shí)均應(yīng)格考慮函數(shù)的定義域二：求函數(shù)定義域1、由函數(shù)解析式求函數(shù)定義域：由于解析式中不同的位置決定了變量不同的圍，所以解題時(shí)要認(rèn)真分析變量所在的位置；最后往往是通過(guò)解不等式組確定自變量的取值集合。例3. 求的定義域。解：由題意知：，從而解得：x>2且x±4.故所求定義域?yàn)椋簒|x>2且x±4。例2. 求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）【題意分析】求函數(shù)的定義

4、域就是求自變量的取值圍，應(yīng)考慮使函數(shù)解析式有意義，這里需考慮分母不為零，開(kāi)偶次被開(kāi)數(shù)為非負(fù)數(shù)?！窘忸}過(guò)程】（1）要使函數(shù)有意義，則，在數(shù)軸上標(biāo)出，即。故函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)然也可表示為。（2）要使函數(shù)有意義，則，從而函數(shù)的定義域?yàn)椤！绢}后思考】求函數(shù)的定義域的問(wèn)題可以歸納為解不等式的問(wèn)題，如果一個(gè)函數(shù)有幾個(gè)限制條件時(shí)，那么定義域?yàn)榻飧飨拗茥l件所得的的圍的交集，利用數(shù)軸可便于解決問(wèn)題。求函數(shù)的定義域時(shí)不應(yīng)化簡(jiǎn)解析式；定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“”連接。2、求分段函數(shù)的定義域：對(duì)各個(gè)區(qū)間求并集。例4. 已知函數(shù)由下表給出，求其定義域X1

5、23456Y2231435617解：1，2，3，4，5，6。3、求與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的定義域：由外函數(shù)f（u）的定義域可以確定函數(shù)g（x）的圍，從而解得xI1，又由g（x）定義域可以解得xI2.則I1I2即為該復(fù)合函數(shù)的定義域。也可先求出復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式后再行求解。解：又由于x24x3>0 *聯(lián)立*、*兩式可解得：例9. 若函數(shù)f（2x）的定義域是1，1，求f（log2x）的定義域。解：由f（2x）的定義域是1，1可知：212x2，所以f（x）的定義域?yàn)?1，2，故log2x21，2，解得，故定義域?yàn)椤Ｈ呵蠛瘮?shù)的值域與最值求函數(shù)的值域和最值的法十分豐富，下面通過(guò)例題來(lái)探究一些常用的法；隨著

6、高中學(xué)習(xí)的深入，我們將學(xué)習(xí)到更多的求函數(shù)值域與最值的法。1、分離變量法例11. 求函數(shù)的值域。解：，因?yàn)?，故y2，所以值域?yàn)閥|y2。說(shuō)明：這是一個(gè)分式函數(shù)，分子、分母均含有自變量x，可通過(guò)等價(jià)變形，讓變量只出現(xiàn)在分母中，再行求解。2、配法例12. 求函數(shù)y2x24x的值域。解：y2x24x2（x22x1）22（x1）222，故值域?yàn)閥|y2。說(shuō)明：這是一個(gè)二次函數(shù)，可通過(guò)配的法來(lái)求得函數(shù)的值域。類(lèi)似的，對(duì)于可以化為二次函數(shù)的函數(shù)的值域也可采用此法求解，如yaf2（x）bf（x）c。3、判別式法例13. 求函數(shù)的值域。解：可變形為：（4y1）x2（5y2）x6y30，由0可解得：。說(shuō)明：對(duì)分子

7、分母最高次數(shù)為二次的分式函數(shù)的值域求解，可以考慮采用此法。要注意兩點(diǎn)：第一，其定義域一般僅由函數(shù)式確定，題中條件不再另外給出；如果題中條件另外給出了定義域，那么一般情況下就不能用此法求解值域；第二，用判別式法求解函數(shù)值域的理論依據(jù)是函數(shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集，所以將原函數(shù)變形為一個(gè)關(guān)于x的一元二次程后，該程的解集就是原函數(shù)的定義域，故0。4、單調(diào)性法例14. 求函數(shù)，x4，5的值域。解：由于函數(shù)為增函數(shù)，故當(dāng)x4時(shí)，ymin；當(dāng)x5時(shí)，ymax，所以函數(shù)的值域?yàn)椤?、換元法例15. 求函數(shù)的值域。解：令，則y2t24t2（t1）24，t0，故所求值域?yàn)閥|y4。例3. 求下列函數(shù)的值域：（1） （

8、2）（3） （4）【題意分析】求函數(shù)的值域問(wèn)題首先必須明確兩點(diǎn)：一是值域的概念，即對(duì)于定義域上的函數(shù)，其值域就是指集合；二是函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)值的依據(jù)?！窘忸}過(guò)程】（1）將的值域?yàn)?。?），即所求函數(shù)的值域?yàn)榛蛴脫Q元法，令的值域?yàn)椤＃?）<法一>函數(shù)的定義域?yàn)镽。<法二>。故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?，1。（4）<構(gòu)造法>習(xí)題講解：1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)= ，則f（2009）的值為( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2答案:C.【解析】:由已知得,所以函數(shù)f(x)的值以6為期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f（2009）= f（5）=1,故選

9、C.【命題立意】:本題考查歸納推理以及函數(shù)的期性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算.2.設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（ ） A B C D 答案：A 【解析】由已知，函數(shù)先增后減再增當(dāng)，令解得。當(dāng)，。故 ，解得【考點(diǎn)定位】本試題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的運(yùn)用。以及一元二次不等式的求解。3.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的值是( ) A. 0 B. C. 1 D. 答案：A 【解析】若0，則有，取，則有： （是偶函數(shù)，則 ）由此得 于是，4.若是奇函數(shù)，則 答案 【解析】解法15.已知函數(shù)若，則 . 答案 【解析】本題主要考查分段函數(shù)和簡(jiǎn)單的已知函數(shù)值求的值. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考

10、查.由，無(wú)解，故應(yīng)填.6.記的反函數(shù)為，則程的解 答案2 【解法1】由，得，即，于是由，解得【解法2】因?yàn)?，所以三、知識(shí)要點(diǎn)1、奇偶函數(shù)定義：（1）偶函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域的任意一個(gè)x，都有f（x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域的任意一個(gè)x，都有f（x）=f（x），那么f（x）就叫做奇函數(shù)注意：函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；奇偶函數(shù)的定義域的特征：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域的任意一個(gè)x，則x也一定是定義域的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

11、稱(chēng)）奇函數(shù)若在時(shí)有定義，則2、根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類(lèi)：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)說(shuō)明：一般地，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。4、判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；確定f（x）與f（x）的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若f（x） = f（x） 或 f（x）f（x） = 0，則f（x）是偶函數(shù)；若f（x） =f（

12、x） 或 f（x）f（x） = 0，則f（x）是奇函數(shù)5、判斷函數(shù)的奇偶性也可以用下列性質(zhì)在公共定義域，（1）兩個(gè)奇函數(shù)的和為奇函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積為偶函數(shù)（2）兩個(gè)偶函數(shù)的和為偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積為偶函數(shù)（3）一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)（4） 函數(shù)f （x）與同奇或同偶【典型例題】一、判斷函數(shù)的奇偶性例1、判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)易犯的錯(cuò)誤（1）因忽視定義域的特征致錯(cuò)1、；f （x）=x2+（x+1）0錯(cuò)解：， f （x）是奇函數(shù) f （x）=（x）2+（x+1）0=x2+（x+1）0=f （x） f （x）是偶函數(shù)分析：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)正解：定義域

13、（，1）（1，+）關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，f （x）是非奇非偶函數(shù)定義域（，1）（1，+）， f （x）為非奇非偶函數(shù)（2）因缺乏變形意識(shí)或法致錯(cuò)2、判斷的奇偶性錯(cuò)解： 5x10， x0f （x）的定義域?yàn)椋ǎ?）（0，+），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ， f （x）f （x），f （x）f （x）， f （x）是非奇非偶函數(shù)分析：因演變過(guò)程不到位導(dǎo)致錯(cuò)誤，所以要注意進(jìn)行恒等變形正解：，定義域?yàn)椋ǎ?）（0，+）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) f （x）是奇函數(shù)（3） 因忽視f （x）=0致錯(cuò)3、判斷函數(shù)的奇偶性錯(cuò)解：由得x=±2， f （x）的定義域?yàn)?，2，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， f （x）為偶函數(shù)正解：f （x）的定義域?yàn)?

14、，2，此時(shí)，f （x）=0， f （x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)點(diǎn)評(píng)：函數(shù)f （x）=0 （x0）是f （x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的一個(gè)必要條件，任一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間都可以作為解析式為f （x）=0 （x0）函數(shù)的定義域（4）因分段函數(shù)意義不清致錯(cuò)二、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系例3、已知：函數(shù)在上是奇函數(shù)，而且在上是增函數(shù)，證明：在上也是增函數(shù)。證明：設(shè)，則在上是增函數(shù)。，又在上是奇函數(shù)。，即所以，在上也是增函數(shù)。規(guī)律：偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性一致例4、為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，求解：設(shè)，由于是奇函數(shù)，故，又，由已知有從而解析式為例

15、5、（1）已知的定義域?yàn)?，且，試判斷的奇偶性。?）函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)于一切實(shí)數(shù)都有，試判斷的奇偶性。解：（1）的定義域?yàn)?，?令式中為得： 解得，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)又是奇函數(shù)。（2）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又令得則，再令得， 所以，原函數(shù)為奇函數(shù)（一）函數(shù)單調(diào)性的定義1. 增函數(shù)與減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)yf（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I的某個(gè)區(qū)間D的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)。如果對(duì)于定義域I的某個(gè)區(qū)間D的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）>f（x2），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)。

16、注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對(duì)于區(qū)間D的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時(shí)，總有f（x1）f（x2）或 f（x1）f（x2）。2. 函數(shù)的單調(diào)性的定義如果函數(shù)yf（x）在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)yf（x）在這一區(qū)間具有（格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf（x）的單調(diào)區(qū)間。3. 判斷函數(shù)單調(diào)性的法和步驟利用定義證明函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：任取x1，x2D，且x1x2；作差f（x1）f（x2）；變形（通常是因式分解和配）；定號(hào)（即判斷差f（x1）f（x2）的正負(fù)）；下結(jié)論（即指出函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）

17、。（二）函數(shù)最大（?。┲档亩x1. 最大值與最小值一般地，設(shè)函數(shù)yf（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f（x）M；（2）存在x0I，使得f（x0）M那么，稱(chēng)M是函數(shù)yf（x）的最大值。一般地，設(shè)函數(shù)yf（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f（x）M；（2）存在x0I，使得f（x0）M那么，稱(chēng)M是函數(shù)yf（x）的最小值。 注意：函數(shù)的最大（?。┲凳紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0I，使得f（x0）M；函數(shù)的最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，即對(duì)于任意的xI，都有f（x）M（f（x）M）。2. 利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大（

18、小）值的法利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配法）求函數(shù)的最大（?。┲道脠D象（數(shù)形結(jié)合法）求函數(shù)的最大（?。┲道煤瘮?shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大（?。┲等绻瘮?shù)yf（x）在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù)yf（x）在xb處有最大值f（b）；如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)yf（x）在xb處有最小值f（b）。知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性與最值例1：判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明。1）題意分析：用定義證明一個(gè)分式函數(shù)在上的單調(diào)性2）解題思路：按照用定義證明函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟去做即可。解答過(guò)程：在區(qū)間上單調(diào)遞減。設(shè)，則。已知，所以

19、，所以，即原函數(shù)在上單調(diào)遞減。解題后的思考：用定義證明函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的關(guān)鍵在于變形（通常是因式分解和配）和定號(hào)（即判斷差f（x1）f（x2）的正負(fù)）。例2：已知是奇函數(shù)，它在上是增函數(shù)，且，試問(wèn)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。1）題意分析：本例比較抽象，沒(méi)有具體的解析式。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是已知原函數(shù)的單調(diào)性，判斷倒函數(shù)的單調(diào)性。2）解題思路：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，可以設(shè)，進(jìn)而判斷的符號(hào)。解答過(guò)程：任取，且，則有。在上是增函數(shù)，且，又是奇函數(shù)，。于是，在上是減函數(shù)。解題后的思考：本例是一道抽象性較強(qiáng)的題，它考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用。例3：已知，求函數(shù)的最值。1）題意分析

20、：本例要求在指定的半開(kāi)半閉區(qū)間求一個(gè)分式函數(shù)的最大（?。┲?；2）解題思路：先分離常數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。解答過(guò)程：已知函數(shù)式可化為，先判斷函數(shù)在上的增減性。設(shè)，則，。，即函數(shù)在上是減函數(shù)。故所求函數(shù)的最小值為，無(wú)最大值。解題后的思考：函數(shù)單調(diào)性在解題中的應(yīng)用，主要表現(xiàn)為通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造輔助函數(shù)式，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)單調(diào)性的討論的問(wèn)題，以達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的。例4：已知函數(shù)是增函數(shù)，定義域?yàn)?，且，求滿(mǎn)足的的取值圍。1）題意分析：本例給出了單調(diào)性、定義域、運(yùn)算法則和一個(gè)點(diǎn)，求函數(shù)自變量的取值圍。2）解題思路：利用運(yùn)算法則把問(wèn)題化歸成已知單調(diào)性和函數(shù)值的大小，求自變量的大小的問(wèn)題，此過(guò)程中要注意定義域的限制作用，即如果，則必須，且。解答過(guò)程：由題意，得解得 。所以的取值圍是。解題后的思考：容易忽視函數(shù)的定義域?yàn)檫@一隱含條件。例6：已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求當(dāng)時(shí)的解析式。1）題意分析：已知函數(shù)是奇函數(shù)，且知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的解析式，求函數(shù)在該區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)