高斯光束研究

1、 高斯光束通過非線性介質(zhì)的自聚焦現(xiàn)象摘要：隨著信息技術(shù)和納米技術(shù)的迅速發(fā)展，要求光信息存儲器件中的最小信息位尺寸、大規(guī)模集成電路和微電子技術(shù)中的光刻線寬和光學(xué)顯微鏡的分辨率等均能達(dá)到納米量級（<100nm），而由于光衍射本身的限制，無法達(dá)到實際需求。非線性薄膜材料的研究，通過選擇非線性強(qiáng)的光學(xué)薄膜材料，調(diào)節(jié)激光能量和控制薄膜厚度及結(jié)構(gòu)，在非線性薄膜結(jié)構(gòu)的出射面能使光斑尺寸進(jìn)一步下降，實現(xiàn)納米光斑。該光斑通過近場耦合作用在信息存儲薄膜或光刻薄膜上，從而實現(xiàn)納米信息存儲、納米光刻或納米成像。本文主要研究高斯激光束通過非線性均勻絕緣介質(zhì)后光強(qiáng)的改變。由電磁場基本原理，推導(dǎo)出高斯光束是緩變振幅條

2、件下波動方程的近似解，研究其在介質(zhì)突變面處的反射透射。重點研究高斯激光束在非線性介質(zhì)中的傳播問題，這一過程中有自聚焦現(xiàn)象。研究過程主要采用數(shù)值計算方法用差分方程代替偏微分方程研究問題的數(shù)值解。比較光強(qiáng)的變化。關(guān)鍵詞：高斯光束，非線性，自聚焦，差分方程一、引言隨著信息技術(shù)和納米技術(shù)的迅速發(fā)展，要求光信息存儲器件中的最小信息位尺寸、大規(guī)模集成電路和微電子技術(shù)中的光刻線寬和光學(xué)顯微鏡的分辨率等均能達(dá)到納米量級（<100nm），而由于光衍射本身的限制，無法達(dá)到實際需求。而通過非線性薄膜材料的研究，通過選擇非線性強(qiáng)的光學(xué)薄膜材料，調(diào)節(jié)激光能量和控制薄膜厚度及結(jié)構(gòu)，在非線性薄膜結(jié)構(gòu)的出射面能使光斑尺

3、寸進(jìn)一步下降，實現(xiàn)納米光斑。該光斑通過近場耦合作用在信息存儲薄膜或光刻薄膜上，從而實現(xiàn)納米信息存儲、納米光刻或納米成像。實驗中我們常常采用高斯光束作為光源進(jìn)行問題研究。高斯光束是波動方程在緩變振幅下的一個特解，非線性介質(zhì)的折射率隨光強(qiáng)的變化而變化，因而高斯光束通過非線性介質(zhì)發(fā)生自聚焦和衍射現(xiàn)象，從而改變能量分布。本文主要研究光強(qiáng)的變化，通過具體數(shù)值建立數(shù)學(xué)模型，采用差分方程代替偏微分方程以求得問題的數(shù)值解，研究光束通過非線性介質(zhì)后能量的變化。二、預(yù)備知識（一）波動方程波動理論認(rèn)為，光是一定頻率范圍內(nèi)的電磁波，其運(yùn)動規(guī)律可用Maxwell方程組來描述： (1-1)其中， 上式中為電場強(qiáng)度，為電位

4、移，為磁場強(qiáng)度，為磁感應(yīng)強(qiáng)度，一般情況下他們都是矢量且為時間空間坐標(biāo)的函數(shù)，還滿足物質(zhì)方程： (1-2)式中為電極化強(qiáng)度，為電流密度，為自由電荷密度，為電導(dǎo)率，為磁化強(qiáng)度。在線性極化情況下式中為介質(zhì)的線性極化率。在非磁，各向同性均勻介質(zhì)中， ，在區(qū)域中，由(1-1)的第二式、(1-2)中第一式，有，將(1-2)第二式代入(1-1)第一式，等式兩邊取旋度，有 (1-3)由(1-1)第三式、(1-2)第一、三式可得 (1-4)將(1-4)代入(1-3)，由可得 (1-5)因為，(1-5)整理后可得 (1-6)對于無損介質(zhì)（等效于）有 (1-7)式中為真空中的光速： (1-8)(1-6)、(1-7)

5、為線性光學(xué)的基本方程。（二）赫姆霍茨方程激光光學(xué)中常用復(fù)數(shù)E（公式中用代替方便輸入）表示電場強(qiáng)度： (2-1) (2-2)介質(zhì)的電極化強(qiáng)度也可以用復(fù)數(shù)表達(dá)式： (2-3) (2-4) (2-5)式中帶“”量為共軛量。利用(2-1)(2-5)式可將(1-7)式化為 (2-6)式中為復(fù)折射率 (2-7)在標(biāo)量場假設(shè)下，(2-6)式成為 (2-8)在真空中，于是有 (2-9)(2-8)、(2-9)式都稱為赫姆霍茨方程。（三）高斯光束表達(dá)式推導(dǎo)由前面分析可知穩(wěn)態(tài)傳輸電磁場滿足赫姆霍茨方程 (3-1)式中與電場強(qiáng)度的復(fù)表式間有關(guān)系： (3-2)由數(shù)理方程基本知識可知，平面波和球面波都是（3-1）式的特解

6、。高斯光束則不同，它不是（3-1）式的精確解，而是在緩變振幅近似下的一個特解。設(shè) (3-3)在SVA（緩變振幅）近似下有 (3-4)利用(3-4)式可將(3-1)式在柱坐標(biāo)下寫為 (3-5)在旋轉(zhuǎn)對稱情況下與無關(guān)，(3-5)式簡化為如下的拋物方程 (3-6)為了求得(3-6)式的一個特解，可設(shè)在處有一振幅為 (3-7)的高斯光束，然后求在任意處的。式中為振幅常數(shù)，如果只考慮相對值，則可由歸一化條件求出。定義為處場振幅減小到最大值的值，稱為腰斑（或光腰，束腰），它是高斯光束光斑半徑的最小值。設(shè)試探解為 (3-8)式中、為待定函數(shù)，滿足 (3-9)將(3-8)式微分后代入(3-6)，整理得到 (3

7、-10) 由(3-10)對任意成立條件得到下面兩個關(guān)系式 (3-11)式中 ' 表示。微分方程組(3-11)在邊界條件為(3-9)式時的解為 (3-12)式中 (3-13)稱為共交參數(shù)。于是我們證明了，形如 (3-14)的高斯光束是赫姆霍茨方程(3-1)在SVA近似下的一個特解。其物理意義為：如果在處有一形如(3-7)式的高斯光束，則它將以(3-14)式非均勻高斯球面波的形式在空間傳播。(3-14)式可改寫為 (3-15)式中 (3-16)利用(3-16)式可將改寫為 (3-17) (3-18)三、問題研究：下面研究高斯光束在非線性薄膜介質(zhì)中的折射系數(shù)透射系數(shù)的計算問題。計算中物理量取

8、常用單位。如上圖所示，為了使問題簡單化，我們假設(shè)高斯光束垂直入射介質(zhì)，非線性薄膜介質(zhì)絕緣，面積無窮大，厚度為h。折射率表達(dá)式為： (4-1)式中為入射光光強(qiáng)。在波動光學(xué)中，光強(qiáng)為振幅的平方。、為常數(shù)。實際上值還與有關(guān)，但由于待研究的非線性介質(zhì)薄膜厚度極小，簡化問題，我們默認(rèn)非線性薄膜介質(zhì)垂直方向值不隨的改變而改變。我們將問題研究分為兩個：1、高斯光束在非線性薄膜上表面發(fā)生的反射透射2、進(jìn)入介質(zhì)后光束的傳播（一）光束在介質(zhì)上表面反射透射光波是波長很短的電磁波，因此光的反射、折射現(xiàn)象就是電磁波在不同介質(zhì)分界面上的反射、折射。任何波動在兩個不同介質(zhì)分層面上的反射、折射都屬邊值問題，因此電磁波在兩種不

9、同介質(zhì)分界面上的反射與折射是由電磁場和在分界面上所滿足的邊值關(guān)系確定的。邊值關(guān)系： (4-2)式中表示突變面（即分界面）的上的單位外法線。如圖，在處平面為分界面的兩種不同的均勻各向同性介質(zhì)中，由(3-16)可知，入射波i，反射波r，折射波d的電場強(qiáng)度可表示為 (4-3)式中，、未知。因為在絕緣介質(zhì)分層面上電荷面密度，電流面密度，因此在分界面上只需滿足如下邊值關(guān)系 (4-4)式中的下標(biāo)t代表切向分量。綜上，要滿足(4-4)條件，首先要求入射波，反射波，折射波的相位在平面上任何一點，任何時刻都要相同，即 (4-5)由此必有，說明反射波，折射波與入射波頻率相等。接下來繼續(xù)分析反射波，折射波的振幅。由于，入射的高斯光束表達(dá)式為 (4-6)由此可得薄膜折射率為對r進(jìn)行泰勒展開后取前兩項，有即其中 正入射情況下，有透射波d： （二）進(jìn)入介質(zhì)后光束的傳播當(dāng)折射率為上述定義表示時，赫姆霍茨方程有其中整理后，有（若考慮吸收，吸收系數(shù)定義為設(shè)復(fù)折射率，可將方程改為其中，）設(shè)在SAV條件下，可得設(shè)該方程解具有高斯函數(shù)形式帶入方程，對任意r成立，滿足微分方程組根據(jù)邊界條件有根據(jù)上式，我們得到了高斯光束在薄膜中的傳播方程，下面討論過程中電場表達(dá)式E均用此式表示。通過