淺析微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

1、淺析微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用黃尹藝（四川大學(xué)錦城學(xué)院，會計2班，130410236）摘要經(jīng)濟學(xué)中的很多經(jīng)濟現(xiàn)象、經(jīng)濟理論都能夠用數(shù)學(xué)知識去解釋。本文本著“數(shù)學(xué)為體，經(jīng)濟為用”的原則，對于微積分在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域中的連續(xù)復(fù)利、邊際分析、彈性分析、最優(yōu)化問題作一些初步分析。關(guān)鍵詞 微積分；導(dǎo)數(shù)；極限；邊際分析；彈性分析隨著數(shù)學(xué)理論的不斷完善和經(jīng)濟的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)的聯(lián)系越來越緊密。數(shù)學(xué)是經(jīng)濟學(xué)理論研究的理想工具，借助數(shù)學(xué)模型研究經(jīng)濟學(xué)，具有清晰、深入、嚴(yán)密三大優(yōu)勢。微積分學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)分支學(xué)科，在經(jīng)濟學(xué)中有著極為廣泛的應(yīng)用。經(jīng)濟量化分析已成為經(jīng)濟學(xué)研究的主要手段?，F(xiàn)主要從微積分與經(jīng)濟的相關(guān)聯(lián)系

2、出發(fā)，簡要討論微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用及其存在的經(jīng)濟學(xué)意義。一、 微積分的基本思想微積分學(xué)是數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)分支學(xué)科，源于代數(shù)和幾何。內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微積分有兩個基本想法：其一是微分學(xué)，包括求導(dǎo)數(shù)的運算,是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù),速度,加速度和曲線的斜率等均可在一個通用的符號化基礎(chǔ)上進行討論；其二是積分學(xué)，包括積分的運算，為計算被一個函數(shù)圖像所包的面積提供一套通用的方法，引入諸如體積的相關(guān)概念。微積分局部求近似、極限求精確的基本思想方法貫穿于整個微積分學(xué)體系中。二、 微分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域中，微積分被運用十分基礎(chǔ)和廣泛，是學(xué)好經(jīng)濟學(xué)、剖析現(xiàn)

3、實經(jīng)濟現(xiàn)象的基本工具。1、 極限在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用極限概念是微積分中最基本的概念，在極限的概念基礎(chǔ)上面，很多微積分的概念理論得到發(fā)展，很多經(jīng)濟學(xué)的知識也得到有效的解決。比如利用極限解決連續(xù)復(fù)利問題。例 設(shè)銀行存款現(xiàn)值和將來值，年利率為，則年后的本利和即將來值為 若一年分次計算復(fù)利，則每期利率為三，一年后的本利和即將來值為 而t年后的本利和即將來值為 當(dāng)時，則年后的本利和即將來值為 從而現(xiàn)值和將來值之間的關(guān)系為 或者 現(xiàn)值為，利息為，則得 例子中的極限應(yīng)用體現(xiàn)了在經(jīng)濟學(xué)中當(dāng)一個數(shù)值含有極限的意義即趨向無窮大或0時，利用微積分中的極限的思想去解題可以步驟簡化，思路清晰的解決很多經(jīng)濟學(xué)的這些問題。2、

4、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用是十分廣泛的，因為在經(jīng)濟學(xué)中很多函數(shù)里面都有導(dǎo)數(shù)的存在才能去進行一些定量分析進而得出最優(yōu)化的結(jié)果。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)可以為大家解釋一些經(jīng)濟學(xué)函數(shù)圖像的走向問題，為何會出現(xiàn)此種走向等等。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中最通常的應(yīng)用是邊際和彈性。（1）邊際分析在經(jīng)濟學(xué)中，經(jīng)常會遇到邊際這一概念，如邊際成本、邊際收益、邊際利潤等等，從文獻經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）微積分1看，經(jīng)濟學(xué)中的邊際問題，就是相應(yīng)的經(jīng)濟函數(shù)的變化率問題，即把一個經(jīng)濟函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)，邊際函數(shù)在某一點的值稱為邊際值，總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本，其經(jīng)濟含義是：當(dāng)產(chǎn)量為時，再生產(chǎn)一個單位（即

5、）所增加的總成本；邊際收益是指總收益函數(shù)關(guān)于銷售量的導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟含義是：當(dāng)銷售量為時，再銷售一個單位（即）所增加的總收益；邊際利潤是指總利潤函數(shù)關(guān)于銷售量的導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟含義是：當(dāng)銷售量為時，再銷售一個單位（即）所增加的總利潤。 例 已知某企業(yè)某種產(chǎn)品的收益（元）是銷售量（噸）的函數(shù)求銷售噸該產(chǎn)品時的邊際收益，并說明其經(jīng)濟含義。解：依題意得，銷售噸產(chǎn)品的總收益函數(shù)為因此，銷售噸該產(chǎn)品的邊際收益為其經(jīng)濟含義是：當(dāng)銷售量為噸時，再增加一噸（即）所增加的總收益是元。（2）彈性分析在文獻財會數(shù)學(xué)2中，某個變量對另一個變量變化的反映程度稱為彈性或彈性系數(shù)。在經(jīng)濟工作中有多種多樣的彈性，這決定于所考察和研究

6、的內(nèi)容，如果是價格的變化與需求反映之間有關(guān)系，那么這個反映就稱為需求彈性。由于具體商品本身屬性的不同以及消費需求的差異，同樣的價格變化給不同商品的需求帶來的影響是不同的。有的商品反應(yīng)靈敏，彈性大，漲價降價會造成劇烈的銷售變動；有的商品則反應(yīng)呆滯，彈性小，價格變化對其沒什么影響。需求彈性：對于需求函數(shù),由于價格上漲時，商品的需求函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，與異號，所以特殊定義需求對價格的彈性函數(shù)為。例 設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求需求彈性函數(shù)；的需求彈性。解： ，說明當(dāng)時，價格上漲，需求減少，需求變動的幅度小于價格變動的幅度；，說明當(dāng)時，價格上漲，需求也減少，需求變動的幅度與價格變動的幅度是一樣的；，說明當(dāng)時

7、，價格上漲，需求減少，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。收益彈性：收益是商品價格與銷售量的乘積，所以，在任何價格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于。若時，價格上漲（或下降），收益增加（或減少）；若時，價格變動，收益不變；若時，價格上漲（或下降），收益減少（或增加）。3、積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用積分學(xué)是微分學(xué)的逆問題，利用積分學(xué)來研究經(jīng)濟變量的變化問題是經(jīng)濟學(xué)中的一個重要方法，不定積分是求全體原函數(shù)，定積分是求和式的極限。由邊際函數(shù)求原函數(shù)，或求一個變上限的定積分，一般都采用不定積分來解決；如果求原函數(shù)在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。對企業(yè)經(jīng)營者來說，對其經(jīng)濟環(huán)節(jié)進行定量分析是非常必要的，不

8、但可以給企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角。下面可以利用積分來解決最優(yōu)化問題。例 設(shè)生產(chǎn)個產(chǎn)品的邊際成本，其固定成本為元,產(chǎn)品的單價規(guī)定為元。假設(shè)產(chǎn)銷平衡，問生產(chǎn)量為多少時利潤最大，并求出最大利潤。解：總成本函數(shù)為 總收益函數(shù)為 總利潤 ，令，得 當(dāng)生產(chǎn)量為個時，利潤最大 最大利潤為（元）在這里，應(yīng)用了定積分，分析出利潤最大，并不是意味著多增加產(chǎn)量就必定增加利潤，只有合理安排生產(chǎn)量，才能取得最大的利潤。因此，作為一個合格的企業(yè)經(jīng)營者應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為科學(xué)的經(jīng)營決策提供可靠的依據(jù)。三、 微積分的經(jīng)濟學(xué)意義在當(dāng)今國內(nèi)外, 社會經(jīng)濟越來越多地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識, 使經(jīng)濟學(xué)走向了定量化、精密化和準(zhǔn)確化。對企業(yè)經(jīng)營者來說，對其經(jīng)濟環(huán)節(jié)進行定量分析是非常必要的。將數(shù)學(xué)作為分析工具，不但可以為企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過程中，還可以提供新的思路和視角，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。作為一個合格的企業(yè)經(jīng)營者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為科學(xué)的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)。對高職數(shù)學(xué)教育工作者來說，在教學(xué)實踐中引導(dǎo)學(xué)生將高等數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)相結(jié)合，不僅對學(xué)生的綜合素質(zhì)發(fā)展有很大的幫助,而且有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。當(dāng)代學(xué)生只