三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題

1、淺談三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題動(dòng)點(diǎn)問題是一類靈活、有難度的數(shù)學(xué)問題，也是近些年來各市中考中常出現(xiàn)的考點(diǎn)。本文將以湘教版八年級(jí)全等三角形中一道習(xí)題為例，對(duì)變化出來的一系列動(dòng)點(diǎn)問題從如下幾個(gè)方面進(jìn)行探討和闡述。一本文選題背景1、知識(shí)背景：本題用到的知識(shí)點(diǎn)是：全等三角形；2、思維方法背景：轉(zhuǎn)化思想；二選擇母題的目的：動(dòng)點(diǎn)問題歷來是中考的壓軸考點(diǎn)；要讓學(xué)生解決復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)問題，必須讓學(xué)生在初二就形成動(dòng)態(tài)問題的思考方式，遵循由易到難的原則，故選擇這道題作為母題；三、原題已知：如圖，ABC是等邊三角形、點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為邊作ADE，ADE是等邊三角形，連接CE；求證：BD=CE題目分析

2、：從數(shù)量上來看，BE與CE是應(yīng)該相等的；證明邊相等，可以考慮全等三角形的判定定理來證明BADEAC，然后利用全等三角形的性質(zhì)來說明邊相等.證明： ABC、ADE是等邊三角形 AB=AC，AD=AE ，BAC=DAE=60°； 又DAC=DAC BAC-DAC=DAE-DAC 即BAD=EAC BADEAC BD=CE 四、拓展與變式 變式1：“正三角形”改為等腰三角形，是否BADEAC成立那么BD與CE的結(jié)論成立嗎？探究BC=DC+CE是否成立.題目：在ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），AD為一邊作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，連接CE.求證：BD

3、=CE，并直接判斷結(jié)論BC=DC+CE是否成立； 證明： DAE=BAC 即 又AB=AC，AD=AE BADEAC CE=BD BC=DC+BD BC=DC+CE變式2：將變式1的條件“點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)（不與B、C重合）”修改為“點(diǎn)D在邊CB的延長線上或者在邊BC的延長線上”，是否BADEAC成立？并探究“BC、DC、CE”的數(shù)量關(guān)系。題目：在ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），AD為一邊作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，連接CE.(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時(shí)，請(qǐng)寫出BC、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊C

4、B的延長線上時(shí)，且點(diǎn)、點(diǎn)分別在直線BC的異側(cè)，其他條件不變，直接寫出BC、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系.。證明（1）BC=DC+CE （2）證明思路與（1）相似 DAE=BAC 即又AB=AC，AD=AEBADEACCE=BDBC=DC+BD BC=DC+CE變式3：變式1探究的是邊的數(shù)量關(guān)系，那能否根據(jù)BADEAC成立，探究某些角的數(shù)量關(guān)系呢？題目：如圖：在ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，連接CE。點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，如果BAC=90°，則BCE=_.證明：DAE=BAC 即又AB=AC

5、，AD=AEBADEAC BAC=90°， 又 變式4：變式3是利用BADEAC，探究特殊情況下角的關(guān)系；那對(duì)于一般情況呢？當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上移動(dòng)時(shí)，是否根據(jù)BADEAC全等，某些角的數(shù)量關(guān)系還存在呢？題目：如圖在ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，連接CE.設(shè)BAC=，BCE=，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上移動(dòng)，則、之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由;證明：DAE=BAC 即又AB=AC，AD=AEBADEAC BAC=， 又 即變式5：將變式1條件的“點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)（不與B、C重合）”修改為“點(diǎn)

6、D在邊CB的延長線上或者在邊BC的延長線上” ，能否利用BADEAC，判斷變式4的結(jié)論仍否成立.題目：如圖：在ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，連接CE.設(shè)BAC=，BCE=當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論結(jié)論：變式6：在變式4和變式5的基礎(chǔ)上，附加平行條件利用CADEAB探究角的關(guān)系；題目：在ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），AD為一邊在AD的左側(cè)作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，過點(diǎn)E作BC的平行線，交直線AB于點(diǎn)F，連接BE.(

7、1)如圖1，若DAE=BAC=60°,則BEF是等邊三角形；(2)若DAE=BAC60°（i）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，判斷BEF的形狀并證明； (ii) 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動(dòng)，BEF是什么三角形? 請(qǐng)直接寫出結(jié)論并畫出向?qū)?yīng)的圖形。分析：變式6與以上的思路相似，在此故不做詳細(xì)說明。五、解題反思：1、幾何動(dòng)點(diǎn)問題含有豐富轉(zhuǎn)化、分類等數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生能夠利用所學(xué)過的三角形全等、三角形相似等知識(shí)來分析問題和解決問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住動(dòng)中含靜的解題思想，動(dòng)時(shí)則存在兩個(gè)三角形全等的函數(shù)關(guān)系，靜時(shí)則存在邊與角的數(shù)量關(guān)系；2、通過一系列變式訓(xùn)練，建立數(shù)學(xué)模型解決問題，即“特殊一般”的思維方法；3、讓學(xué)生練習(xí)任何一道題，絕不是單純的知識(shí)的重述，而應(yīng)是知識(shí)點(diǎn)的重新整合、深化、升華。我們應(yīng)該努力讓學(xué)生逐步走出“以題論題”的困境，達(dá)到“以題論法”的境界，從而實(shí)現(xiàn)“以題論道”學(xué)習(xí)模式；4、以上變式針對(duì)的是點(diǎn)在直線上不同位