求極限的多種方法

1、求極限的多種方法一，根據(jù)迫斂性求極限1，求數(shù)列極限定理2.6：設(shè)收斂數(shù)列，都以a為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù),當(dāng)n>,時(shí)有 ，則數(shù)列收斂，且。例 （）1= =1所以（）=12，求函數(shù)極限定理3.6：設(shè)且在某內(nèi)有則例 求當(dāng)x.>0時(shí)，1-x1而（1-x）=1故由迫斂性可知，=1另一方面，當(dāng)x<0時(shí)，有11-x，故由迫斂性又可得，=1綜上求得=1二，利用四則運(yùn)算求極限定理3.7：若極限f(x)與g(x)都存在，則函數(shù)f+g,f-g,f.g,，當(dāng)x的極限也存在，且1) f(x)±g(x)f(x)±g(x)2) f(x)g(x) f(x).g(x)3) f(x)g(

2、x)例2 (xtanx-1)解 由xtanx=xsinx= cosx按四則運(yùn)算法則有(xtanx-1)= x. 1=三，兩個(gè)重要極限 =e例2 求 = 例3 求=四，運(yùn)用洛比達(dá)法則求極限1，型不定式極限定理6.6若函數(shù)f和g滿足1）f(x)= g(x)=02)在點(diǎn)x0的某空心領(lǐng)域內(nèi)兩者可導(dǎo)且03）=A則=A例2 求解容易檢驗(yàn)f(x)=1+cosx與g(x)=在點(diǎn)x0=的領(lǐng)域內(nèi)滿足的條件1）和2）故洛比達(dá)法則得=2，型不定極限定理6.7若函數(shù)f和g滿足1）f(x)= g(x)=2)在x0的某右領(lǐng)域?yàn)閮烧呖蓪?dǎo)，且03）=A則=A例2 解;由定理6.7有=3，其他類型不定式極限例7 求解：這是一個(gè)0

3、.型不定式極限，用恒等變形xlnx=將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極限，并應(yīng)用洛比達(dá)則=(-x)=0例8 求解;這是一個(gè)型不定式極限，做恒等變換其指數(shù)部分的極限是型不定式極限，可先求的=-1/2從而得到=例10 求這是一個(gè)型不定式極限，類似先求對(duì)數(shù)極限=1于是有=e五，利用泰勒公式求極限例3 求極限首先考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限分子（取n=4）Cosx=1-+=1-+Cosx-=-因而求得例4 = -六，利用定義求極限例5根據(jù)定義的 語(yǔ)言，數(shù)列 收斂,有。例1、用語(yǔ)言證明 證明：要使不等式成立，解得，取，于是，有。即七，利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限例 3 、 求解：原式=八，利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限關(guān)于無(wú)窮小量的性質(zhì)有三個(gè)，但應(yīng)用最多的是性質(zhì)：若是無(wú)窮小，函數(shù)在 的某去心鄰域有界，則函數(shù)是無(wú)窮小例8、求解: 而，而 故 所以九，利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限一些常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng) x 0 時(shí)， ， ，等等。例 9、求 解：，由于當(dāng)時(shí)，, ， ,上式用等價(jià)無(wú)窮小代換得十，利用中值定理求極限例 12、解：對(duì) 在區(qū)間上用拉格朗日中值定理，得，。因?yàn)椋允?，利用一些常用結(jié)論求極限 例如，等等 極限不存在的證明一、左右極限法原理：判斷當(dāng)時(shí)的極限，只要考察左、右